Линейная алгебра, Овсянников А.Я., 2004

Линейная алгебра, Овсянников А.Я., 2004.
  Настоящее учебное пособие представляет собой курс линейной алгебры (с элементами аналитической геометрии), читавшийся автором в течение ряда лет на коммерческом факультете Гуманитарного университета г. Екатеринбурга. Наряду с традиционным материалом о матрицах, определителях, линейных пространствах над числовыми полями и их линейных отображениях, в пособии рассматриваются неотрицательные матрицы и приближённые методы решения систем линейных уравнений.
Пособие предназначено студентам высших учебных заведений, обучающихся на специальностях экономического профиля.

Понятие о математических моделях.
Применение математики в конкретных науках (таких, как физика. химия, экономика, биология, геология) может быть схематично описано следующим образом. Математика доставляет средства отчасти построения и главным образом исследования математических моделей задач конкретной науки. Такие задачи формулируются в терминах соответствующей науки ее специалистами. Затем строится математическая модель рассматриваемого явления, и изучаемая задача сводится к некоторой математической задаче или комплексу задач. Здесь вместе со специалистами конкретной науки работают профессиональные математики.
Построение математической модели начинается с формулирования законов, связывающих основные объекты модели. Здесь требуется широкое знание фактов, относящихся к изучаемым явлениям, и глубокое проникновение в их взаимосвязи. Эта, стадия завершается записью в математических терминах сформулированных качественных представлений о связях между объектами модели. После этого исследуются математические задачи, к которым приводят математические модели. Основным результатом здесь является получение в процессе анализа, модели выходных данных или теоретических следствий для дальнейшего сопоставления с результатами наблюдений изучаемых явлений.
На этом этапе важную роль приобретает математический аппарат, необходимый для анализа, математической модели, и вычислительная техника. Здесь работают профессиональные математики или применяется соответствующее программное обеспечение. Затем выясняется, удовлетворяет ли принятая гипотетическая модель критерию практики, т.е. выясняется, согласуются ли результаты наблюдений с теоретическими следствиями модели. Производится анализ модели в связи с накоплением дачных об изучаемых явлениях и модернизация модели. Далее результаты исследования математической модели интерпретируются в терминах конкретной науки.
Содержание
Предисловие
Введение
§ 0.1. Понятие о математических моделях
§ 0.2. Некоторые задачи, приводящие к системам линейных уравнений
§ 0.3. Метод Гаусса-Жордана решения систем линейных уравнений
0.3.1. Системы линейных уравнений
0.3.2. Метод Гаусса-Жордана на примерах
0.3.3. Метод Гаусса-Жорда на в общем виде
Глава 1. Матрицы и определители
§ 1.1. Матрицы
1.1.1. Понятие матрицы
1.1.2. Линейные операции с матрицами
1.1.3. Умножение матриц
1.1.4. Транспонирование матриц и переход к сопряженной матрице
1.1.5. Матричные уравнения
1.1.6. Обратная матрица
1.1.7. След квадратной матрицы
1.1.8. Блочные матрицы
1.1.9. Представления некоторых сумм с помощью матриц
§ 1.2. Определители
1.2.1. Понятие определителя
1.2.2. Свойства определителей
1.2.3. Критерий обратимости матрицы
1.2.4. Крамеровские системы линейных уравнений
1.2.5. Примеры вычисления определителей
Глава 2. Элементы аналитической геометрии
§ 2.1. Векторная алгебра
2.1.1. Понятие вектора
2.1.2. Линейные операции с векторами
2.1.3. Компоненты и проекции векторов
2.1.4. Базис. Координаты вектора
2.1.5. Системы координат
2.1.6. Скалярное произведение
§ 2.2. Аналитическая геометрия на плоскости
2.2.1. Уравнение линии на плоскости
2.2.2. Прямая линия на плоскости
2.2.3. Расстояние от точки до прямой на плоскости
2.2.4. Взаимное расположение двух прямых
2.2.5. Примеры решения задач
§ 2.3. Аналитическая геометрия в пространстве
2.3.1. Уравнения поверхностей и линий в пространстве
2.3.2. Уравнения плоскости
2.3.3. Расстояние от точки до плоскости
2.3.4. Взаимное расположение двух плоскостей
2.3.5. Прямая в пространстве
2.3.6. Взаимное расположение плоскости и прямой
2.3.7. Примеры решения задач
Глава 3. Линейные пространства
§ 3.1. Понятие линейного пространства
3.1.1. Аксиомы линейного пространства
3.1.2. Примеры линейных пространств
3.1.3. Линейно зависимые и независимые системы векторов
§ 3.2. Базис и размерность линейного пространства
3.2.1. Элементарные преобразования системы векторов. Максимальные линейно независимые подсистемы
3.2.2. Ранг системы векторов. Ранг матрицы
3.2.3. Базис и размерность линейного пространства. Координаты векторов
3.2.4. Изоморфизмы линейных пространств
3.2.5. Изменение базиса. Матрица перехода
§ 3.3. Линейные подпространства
3.3.1. Понятие линейного подпространства
3.3.2. Сумма и пересечение
3.3.3. Прямая сумма
§ 3.4. Линейные многообразия
3.4.1. Понятие линейного многообразия
3.4.2. Пересечение и композит
3.4.3. Взаимное расположение
§ 3.5. Системы линейных уравнений
3.5.1. Критерий совместности
3.5.2. Общее решение системы линейных уравнений
3.5.3. Однородные системы линейных уравнений
3.5.1. Множество решений совместной системы линейных уравнений
3.5.5. Использование систем линейных уравнений для решения задач о линейных подпространствах
3.5.6. Использование систем линейных уравнений для решения задач о линейных многообразиях
Глава 4. Линейные отображения и линейные операторы
§ 4.1. Линейные отображения
4.1.1. Понятие линейного отображения. Матрица линейного отображения
4.1.2. Образ и ядро линейного отображения
4.1.3. Действия с линейными отображениями
§ 4.2. Линейные операторы
4.2.1. Понятие линейного оператора. Действия с линейными операторами
4.2.2. Характеристический многочлен матрицы или линейного оператора
4.2.3. Инвариантные подпространства относительно линейного оператора
4.2.4. Собственные векторы и собственные значения линейного оператора
4.2.5. Линейные операторы простой структуры
4.2.6. Идемпотентные линейные операторы и матрицы
§ 4.3. Жорданово разложение для линейного оператора
4.3.1. Корневые подпространства
4.3.2. Построение жорданова базиса
4.3.3. Жорданова нормальная форма матрицы
Глава 5. Евклидовы и унитарные линейные пространства и их линейные отображения
§ 5.1. Евклидовы и унитарные пространства
5.1.1. Аксиомы
5.1.2. Примеры
5.1.3. Неравенство Коши-Буняковского
5.1.4. Ортогональность векторов. Процесс ортогонализации
5.1.5. Матрица Грама
5.1.6. Ортогональное дополнение
5.1.7. Расстояния и углы между векторами и линейными многообразиями
5.1.8. Примеры решения задач
§ 5.2. Линейные отображения и операторы евклидовых и унитарных пространств
5.2.1. Сопряженное отображение
5.2.2. Нормальные операторы
5.2.3. Ортогональные и унитарные операторы
5.2.4. Самосопряженные операторы
Глава 6. Приложения и некоторые дополнительные вопросы
§ 6.1. Нормы векторов, линейных операторов и матриц
6.1.1. Нормы векторов
6.1.2. Нормы линейных операторов и матриц
§ 6.2. Неотрицательные матрицы
6.2.1. Положительные матрицы
6.2.2. Матрицы обмена
6.2.3. Продуктивные матрицы
§ 6.3. Квадратичные формы
6.3.1. Понятие квадратичной формы. Матричное представление
6.3.2. Канонический и нормальный вид квадратичной формы
6.3.3. Положительно определенные формы
6.3.4. Закон инерции квадратичных форм
§ 6.4. Дополнительные сведения о матрицах
6.4.1. Симметрические матрицы
6.4.2. Кронекерово произведение матриц
6.4.3. Псевдообратная матрица
§ 6.5. Приближенное решение систем линейных уравнений
6.5.1. Приближенные методы решения систем линейных уравнений
6.5.2. Ошибки при нахождении обратных матриц
6.5.3. Ошибки при решении систем линейных уравнений
Глава 7. Дополнения
§ 7.1. Элементы теории множеств
7.1.1. Множества и операции с ними
7.1.2. Отображения
7.1.3. Метод математической индукции
§ 7.2. Многочлены над полем
7.2.1. Понятие числового ноля
7.2.2. Многочлены и операции с ними
7.2.3. Корни многочленов
Литература
Предметный указатель
Указатель обозначений
Греческий алфавит.