Линейная алгебра и геометрия, Шафаревич И.Р., Ремизов А.О., 2009

Линейная алгебра и геометрия, Шафаревич И.Р., Ремизов А.О., 2009.
  Книга представляет собой курс линейной алгебры и геометрии, основанный на лекциях, которые на протяжении многих лет читались одним из авторов на механико-математическом факультете Московского государственного университета.
Изложение предмета начинается с теории линейных уравнений и матриц и далее ведется на языке векторных пространств. В книге также изложена теория аффинных и проективных пространств. Кроме того, включены некоторые темы, естественно примыкающие к линейной алгебре, но обычно в таких курсах не рассматриваемые: внешние алгебры, геометрия Лобачевского, топологические свойства проективных пространств, теория квадрик в многомерных аффинных и проективных пространствах, разложения конечных абелевых групп и конечнопорожденных периодических модулей (аналогичные теореме о жордановой нормальной форме линейного преобразования).
Книга рассчитана на студентов и преподавателей математических и физико-математических специальностей.

Некоторые топологические понятия.
До сих пор мы говорили о множествах произвольной природы, не предполагая для них существование никаких дополнительных свойств. Обычно этого слишком мало. Например, предположим, что нам нужно сравнить две геометрические фигуры и определить, насколько они «похожи» или «не похожи» друг на друга. Представим себе эти фигуры как множества, элементами которых являются точки плоскости или пространства.
Если пытаться ограничить себя лишь введенными выше понятиями, то естественно считать «похожими» такие множества, между которыми существует взаимно-однозначное отображение. Однако в конце XIX в. Кантор показал, что существует взаимно однозначное соответствие между точками отрезка и квадрата). Тогда же Дедекинд предположил, что наше интуитивное представление о «похожести» фигур связано с возможностью установить между ними непрерывное взаимно однозначное соответствие. Но для этого должно быть определено, что значит, что отображение непрерывно.
Область математики, в которой определяется непрерывность отображений абстрактных множеств и все объекты рассматриваются с точностью до непрерывных взаимно однозначных соответствий, называется топологией. Используя слова Германа Вейля, можно сказать, что «горный хребет топологии будет маячить на горизонте» этой книги. Точнее говоря, мы будем только эпизодически пользоваться некоторыми топологическими понятиями, причем лишь самыми простыми. Мы их сейчас сформулируем, но апеллировать к ним будем редко, только для того, чтобы указать на связь рассматриваемых нами объектов с другими разделами математики, с которыми читатель может более подробно познакомиться в соответствующих курсах или учебниках. Такие места при желании можно пропустить или лишь просмотреть — они не будут использоваться в остальной части книги.
ОГЛАВЛЕНИЕ
Предисловие
Предварительные сведения
§1. Множества и отображения
§2. Некоторые топологические понятия
Глава 1. Линейные уравнения
§1.1. Линейные уравнения и функции
§1.2. Метод Гаусса
§1.3*. Примеры
Глава 2. Матрицы и определители
§2.1. Определители второго и третьего порядков
§2.2. Определители произвольного порядка
§2.3. Характеристика определителя его свойствами
§2.4. Разложение определителя по столбцу
§2.5. Правило Крамера
§2.6. Перестановки, симметрические и антисимметрические функции
§2.7. Полное развертывание определителя
§2.8. Ранг матрицы
§2.9. Операции над матрицами
§2.10. Обратная матрица
Глава 3. Векторные пространства
§3.1. Определение векторного пространства
§3.2. Размерность и базис
§3.3. Линейные преобразования векторных пространств
§3.4. Замена координат
§3.5. Изоморфизм векторных пространств
§3.6. Ранг линейного преобразования
§3.7. Сопряженное пространство
§3.8. Формы и многочлены от векторов
Глава 4. Линейные преобразования пространства в себя
§4.1. Собственные векторы и инвариантные подпространства
§4.2. Комплексные и вещественные пространства
§4.3. Комплексификация
§4.4. Ориентация вещественного пространства
Глава 5. Жорданова нормальная форма
§5.1. Корневые векторы и циклические подпространства
§5.2. Жорданова нормальная форма (разложение)
§5.3. Жорданова нормальная форма (единственность)
§5.4. Вещественные векторные пространства
§5.5*. Приложения
Глава 6. Квадратичные и билинейные формы
§6.1. Основные определения
§6.2. Приведение к каноническому виду
§6.3. Комплексные, вещественные и эрмитовы формы
Глава 7. Евклидовы пространства
§7.1. Определение евклидова пространства
§7.2. Ортогональные преобразования
§7.3*. Ориентация евклидова пространства
§7.4*. Примеры
§7.5. Симметрические преобразования
§7.6*. Приложения к механике и геометрии
§7.7. Псевдоевклидовы пространства
§7.8. Лоренцевы преобразования
Глава 8. Аффинные пространства
§8.1. Определение аффинного пространства
§8.2. Аффинные подпространства
§8.3. Аффинные преобразования
§8.4. Евклидовы аффинные пространства и движения
Глава 9. Проективные пространства
§9.1. Определение проективного пространства
§9.2. Проективные преобразования
§9.3. Двойное отношение
§9.4*. Топологические свойства проективных пространств
Глава 10. Внешнее произведение и внешняя алгебра
§10.1. Плюккеровы координаты подпространства
§10.2. Соотношения Плюккера и грассманианы
§10.3. Внешнее произведение векторов
§10.4*. Внешняя алгебра
§10.5*. Приложения
Глава 11. Квадрики
§11.1. Квадрики в проективном пространстве
§11.2. Квадрики в комплексном проективном пространстве
§11.3. Изотропные подпространства
§11.4. Квадрики в вещественном проективном пространстве
§11.5. Квадрики в вещественном аффинном пространстве
§11.6. Квадрики в аффинном евклидовом пространстве
§11.7*. Квадрики на вещественной плоскости
Глава 12. Геометрия Лобачевского
§12.1*. Пространство Лобачевского
§12.2*. Аксиомы геометрии на плоскости
§12.3*. Некоторые формулы геометрии Лобачевского
Глава 13. Группы, кольца, модули
§13.1. Группы и гомоморфизмы
§13.2. Разложение конечных абелевых групп
§13.3. Единственность разложения
§13.4*. Конечнопорожденные периодические модули над евклидовым кольцом
Глава 14. Элементы теории представлений
§14.1. Основные понятия теории представлений
§14.2. Представления конечных групп
§14.3. Неприводимые представления
§14.4. Представления коммутативных групп
Историческая справка
Список литературы
Предметный указатель.