Линейная алгебра и функции нескольких переменных. Конспект лекций

Название: Линейная алгебра и функции нескольких переменных. Конспект лекций
Автор: Канатников А.Н., Крищенко А.П.
Издательство: М.: МГТУ им. Н.Э.Баумана
Страниц: 203
Формат: PDF
Размер: 4 Mb
Качество: Отличное
Язык: Русский
Год издания: 2011
Лекции читаются на 2-ом семестре 1-го курса студентам большинства специальностей в МГТУ имени Н.Э. Баумана.
В прилагаемый к конспекту лекций архив входят также файлы с домашними заданиями и задачами для подготовки к рубежным контролям по курсу.
Конспект содержит 16 лекций.
Содержание.
Линейные пространства. Аксиомы и примеры линейных пространств. Линейно зависимые и линейно независимые векторы. Критерий линейной зависимости, его следствия. Определение базиса и размерности линейного пространства. Теоремы о базисе и размерности. Теорема о единственности разложения по базису. Координаты вектора. Линейные операции над векторами в базисе. Матрица перехода к новому базису. Преобразование координат вектора при переходе к новому базису.
Линейные подпространства. Евклидовы пространства. Подпространства линейного пространства. Ранг системы векторов, связь с рангом матрицы. Линейная оболочка. Примеры. Евклидово пространство, аксиомы и примеры. Норма вектора. Неравенство Коши — Буняковского и неравенство треугольника. Ортогональность векторов. Линейная независимость ортогональной системы ненулевых векторов. Ортонормированный базис евклидова пространства Выражение координат вектора в ортонормированном базисе. Вычисление скалярного произведения и нормы вектора в ортонормированном базисе.
Процесс ортогонализации. Линейные операторы и их матрицы. Теорема о его существовании ортонормированного базиса и процесс ортогонализации Грама — Шмидта. Линейные операторы и их матрицы. Преобразование матрицы линейного оператора при переходе к новому базису, инвариантность ее определителя. Подобные матрицы. Действия над линейными операторами и соответствующие действия с их матрицами. Собственные векторы и собственные значения линейного оператора.
Характеристический многочлен и собственные значения. Характеристический многочлен линейного оператора, его независимость от базиса. След матрицы линейного оператора и его инвариантность. Характеристический многочлен и собственные значения матрицы. Свойство множества собственных векторов, отвечающих одному и тому же собственному значению. Алгебраическая и геометрическая кратности собственного значения, связь между ними. Теорема о линейной независимости собственных векторов, отвечающих различным собственным значениям. Матрица линейного оператора в базисе, состоящем из его собственных векторов. Критерий существования такого базиса. Существование базиса из собственных векторов в случае действительных и некратных корней характеристического уравнения.
Линейные операторы в евклидовых пространствах. Линейные операторы в евклидовых пространствах. Сопряженный и самосопряженный операторы, их матрицы в ортонормированном базисе. Свойства корней характеристического многочлена самосопряженного оператора: вещественность и равенство алгебраических и геометрических кратностей. Ортогональность собственных векторов самосопряженного оператора, отвечающих различным собственным значениям. Существование ортонормированного базиса из собственных векторов самосопряженного оператора. Ортогональные преобразования, ортогональные матрицы и их свойства. Диагонализация симметрической матрицы ортогональным преобразованием.
Квадратичные формы и их свойства. Квадратичные формы. Координатная и матричная формы записи. Преобразование матрицы квадратичной формы при переходе к новому базису. Ранг квадратичной формы, его независимость от выбора базиса. Знакоопределенные квадратичные формы. Критерий Сильвестра. Квадратичные формы канонического вида. Метод Лагранжа. Закон инерции квадратичных форм.
Канонический вид кривых и поверхностей второго порядка. Приведение квадратичной формы к каноническому виду ортогональным преобразованием. Приведение уравнений кривых и поверхностей второго порядка к каноническому виду.
Функции нескольких переменных как отображения. Метрика и окрестности в Rn. Открытые, замкнутые, ограниченные и связные множества в Rn. Граница множества. Понятие области в Rn. Скалярная функция нескольких переменных (ФНП). Линии и поверхности уровня. Предел ФНП. Бесконечно малые и бесконечно большие ФНП. Непрерывность ФНП в точке, на множестве. Свойства ФНП, непрерывных на множестве.
Дифференцируемые функции нескольких переменных. Частные производные ФНП, геометрическая интерпретация. Частные производные высших порядков. Теорема о независимости смешанных частных производных от порядка дифференцирования. Матрица Гессе. Дифференцируемость ФНП. Необходимые условия и достаточное условие дифференцируемости.
Дифференциал. Полный дифференциал ФНП. Производная сложной функции. Частная и полная производные ФНП. Инвариантность формы первого дифференциала. Дифференциалы высших порядков. Формула Тейлора для ФНП. Применение дифференциала ФНП к приближенным вычислениям.
Неявные функции. Градиент. Неявные функции. Теорема о существовании и дифференцируемости неявной ФНП. Производная ФНП по направлению и градиент, их свойства.
Геометрические приложения. Касательная плоскость и нормаль к поверхности, условия их существования и вывод уравнений. Геометрический смысл дифференциала функции двух переменных.
Экстремум функции нескольких переменных. Экстремум ФНП. Необходимое условие экстремума. Достаточные условия экстремума.
Условный экстремум. Условный экстремум ФНП, его геометрическая интерпретация, функция Лагранжа. Необходимое условие условного экстремума. Достаточные условия. Нахождение наибольшего и наименьшего значений дифференцируемой ФНП на замкнутом ограниченном множестве.
Векторные функции нескольких переменных. Векторная ФНП (ВФНП). Координатные функции ВФНП. Геометрическая интерпретация. Предел ВФНП. Непрерывность ВФНП.
Дифференцируемость векторных функций нескольких переменных. Матрица Якоби ВФНП, якобиан. Дифференцируемость ВФНП, ее дифференциал. Производная сложной ВФНП в матричной форме. Теорема о неявной функции в общем случае. Теорема об обратной функции.