Линейная алгебра и функции многих переменных, Булдырев В.С., Павлов Б.С., 1985

Линейная алгебра и функции многих переменных, Булдырев В.С., Павлов Б.С., 1985.
  В пособии, состоящем из двух тесно связанных частей: «Линейная алгебра» и «Функции многих переменных», единым образом излагается теория конечномерных линейных пространств, интегральное и дифференциальное исчисление на областях и многообразиях, лежащих в этих пространствах. Для пособия характерен преимущественно бескоординатный - геометрический - способ изложения, наглядность и замкнутость, а также большая широта охвата материала. Так, с учетом современных потребностей физика-теоретика в книге изложены: внешняя алгебра, интеграл Лебега, дифференциальные формы, первоначальные понятия теории многообразий, диаграммная техника в теории возмущений для конечномерных операторов.

ЛИНЕЙНЫЕ ОПЕРАТОРЫ.
Наряду с линейными пространствами линейная алгебра изучает отображения их друг в друга, сохраняющие линейную структуру, т. е. такие, которые сумме векторов сопоставляют сумму их образов, а произведению вектора на скаляр — произведение его образа на тот же скаляр. Такие отображения называют, вообще, линейными операторами, а в случае, когда речь идет об отображении заданного линейного пространства в одномерное пространство соответствующих скаляров, — линейными формами или линейными функционалами. Эти новые понятия оказываются, между прочим, чрезвычайно удобными для дальнейшего изучения условий разрешимости систем линейных уравнений. В то же время и сами по себе алгебраические структуры — сопряженное пространство, алгебра операторов, — возникающие на линейных формах и множестве операторов, отображающих линейное пространство в себя, играют фундаментальную роль в наших дальнейших построениях.
Введем новую алгебраическую операцию над операторами — умножение. Проследив за тем, что происходит с матрицами операторов при их умножении, мы определим операцию умножения и над матрицами. Это приведет к новым алгебраическим структурам: алгебре линейных операторов в пространстве Е и алгебре квадратных матриц.
ОГЛАВЛЕНИЕ
Предисловие, обращенное к неискушенному читателю
Предисловие, обращенное к искушенному читателю
Основные термины и обозначения
ЧАСТЬ I. ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА
Глава 1. Линейное пространство
§1. Алгебраические структуры
§2. Линейное пространство
§3. Линейная зависимость и независимость набора векторов. Базис, размерность, изоморфизм линейных пространств
Глава 2. Подпространства
§1. Определения и примеры
§2. Геометрия подпространств
§3. Линейная зависимость над подпространством и коразмерность
Глава 3. Системы линейных алгебраических уравнений
§1. Основные теоремы
§2. Решение систем уравнений методом исключения неизвестных (Метод Гаусса)
§3. Фундаментальное семейство решений. Общее решение однородной и неоднородной систем
Глава 4. Линейные операторы
§1. Линейные формы и сопряженное пространство
§2. Линейные операторы и их матричная запись
§3. Линейное пространство операторов
§4. Умножение операторов и матриц
§5. Сопряженный оператор. Теорема Фредгольма
Глава 5. Полилинейные формы
§1. Полилинейные формы. Линейная структура
§2. Подстановки
§3. Антисимметризация и симметризация
Глава 6. Антисимметрнческие полилинейные формы
§1. Базис и размерность пространства антисимметрических полилинейных форм
§2. Внешняя алгебра антисимметрических форм. Ориентация
§3. Определители и их свойства
§4. Применение аппарата антисимметрических форм к решению систем линейных алгебраических уравнений
Глава 7. Линейные операторы и преобразование координат
§1. Алгебра операторов и алгебра матриц
§2. Обратный оператор
§3. Простейшие функции операторов и матриц
§4. Преобразование координат при замене базиса
§5. Преобразование компонент тензора при замене базиса. Свертка тензоров
Глава 8. Спектральный анализ оператора в линейном пространстве
§1. Инварианты линейного оператора
§2. Собственные числа и собственные векторы
§3. Спектральный анализ операторов скалярного типа
§4 Спектральная теорема и полиномиальное исчисление
Глава 9. Спектральный анализ оператора в линейном пространстве
§1. Предварительные сведения и определения
§2. Некоторые факты из алгебры полиномов
§3. Алгебра операторных полиномов
§4. Минимальный полином и инвариантные подпространства. Основная теорема
§5. Структура нильпотентного оператора
Глава 10. Вещественные псевдоевклидовы и евклидовы пространства
§1. Метрическая форма
§2. Ковариантные и контравариантные координаты вектора
§3. Геометрия вещественного евклидова пространства
Глава 11. Комплексное евклидово пространство
§1. Основные неравенства
§2. Ортогональность и ортонормированный базис
§3. Операторы
§4. Инвариантные подпространства эрмитовых операторов и спектральное разложение
§5. Унитарные операторы. Спектральное представление
§6. Квадратичные формы в вещественном линейном пространстве
ЧАСТЬ II. ФУНКЦИИ МНОГИХ ПЕРЕМЕННЫХ
Глава 1. Функции па нормированном пространстве
§1. Нормированное пространство. Множества в нормированном пространстве
§2. Непрерывные скалярные (числовые) функции на нормированных пространствах
§3. Вектор-функции и оператор-функции
§4. Естественная нормировка пространств линейных форм и операторов
§5. Непрерывные функции на нормированных пространствах
§6. Линейное нормированное пространство непрерывных вектор-функций на компакте
Глава 2. Дифференцирование функций многих переменных
§1. Дифференцируемые функции
§2. Старшие производные и дифференциалы
§3. Формула Тейлора для функции нескольких переменных. Экстремум функции нескольких переменных
§4. Условный экстремум
Глава 3. Методы решения нелинейных уравнений. Теоремы существования
§1. Принцип сжатых отображений
§2. Метод Ньютона
§3. Существование обратной функции
§4. Теорема о неявной функции
Глава 4. Интегрирование
§1. Объем и мера Лебега
§2. Интеграл Лебега
§3. Свойства интеграла Лебега
§4. Общее понятие меры. Произведение мер. Сведение кратного интеграла к повторному
§5. Замена переменных в кратном интеграле
Глава 5. Дифференциальные формы в области
§1. Тензорные поля. Формы. Внешнее дифференцирование
§2. Замена переменных в полилинейных переменных формах (тензорных полях)
§3. Ориентация вещественного линейного пространства и форма объема, в ориентированном вещественном евклидовом пространстве
§4. Ориентация псевдоевклидова пространства и операция дополнения антисимметрической формы
§5. Теория поля в евклидовом пространстве
§6. Интегрирование дифференциальных форм по области
§7. Цепи, границы и формулы интегрирования по частям
§8. Точные и замкнутые формы в области. Лемма Пуанкаре
§9. Уравнения Максвелла
Глава 6. Дифференцируемые многообразия
§1. Элементарное многообразие (клетка) и тензорные поля на нем
§2. Ориентация клетки и риманова метрика
§3. Интегрирование формы по клетке. Граница клетки и формула Стокса — Пуанкаре
§4. Гладкие многообразия и многообразия с краем
§5. Циклы и границы. Независимость интеграла от пути
Глава 7. Приложения дифференциальных форм к теории функций комплексной переменной. Интеграл Коши и теорема о вычетах
Глава 8. Теория возмущений конечномерных операторов
§1. Вычисление обратного оператора и резольвенты. Интегрирование резольвенты по циклам
§2. Спектральная теория возмущений
§3. Поправки к собственным числам и собственным векторам.