Лекции по математическому анализу, Архипов Г.И., Садовничий В.А., Чубариков В.Н., 2004

Лекции по математическому анализу, Архипов Г.И., Садовничий В.А., Чубариков В.Н., 2004.
    Книга является учебником по курсу математического анализа и посвящена дифференциальному и интегральному исчислениям функций одной и нескольких переменных. В ее основу положены лекции, прочитанные авторами на механико-математическом факультете МГУ им. М. В. Ломоносова.


СОДЕРЖАНИЕ
Предисловие. 3
ЧАСТЬ I. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ ФУНКЦИЙ ОДНОЙ ПЕРЕМЕННОЙ
Глава I. ВВЕДЕНИЕ. 7
Лекция 1
§ 1. Множества. Операции над множествами. Декартово произведение. Отображения. Функции. 7
Лекция 2
§ 2. Эквивалентные множества. Счетные и несчетные множества. Мощность континуума. 14
Лекция 3
§ 3. Вещественные числа. 19
Лекция 4.
§ 4. Полнота множества вещественных чисел. 23
§ 5. Леммы об- отделимости множеств, о системе вложенных отрезков и последовательности стягивающихся отрезков. 27
Глава II. ПРЕДЕЛ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТИ. 29
Лекция 5
§ 1. Метод математической индукции. Бином Ньютона и неравенство Бернулли. 29
§ 2. Числовые последовательности. Бесконечно малые и бесконечно большие последовательности и их свойства. 33
Лекция б
§ 3. Предел последовательности. 38
§ 4. Предельный переход в неравенствах. 41
Лекция 7
§ 5. Монотонные последовательности. Теорема Вейерштрасса. Число "е" и постоянная Эйлера. 45
Лекция 8
§ 6. Теорема Больцано - Вейерштрасса о существовании частичного предела у ограниченной последовательности. 52
§ 7. Критерий Коши для сходимости последовательности 53
Глава III. ПРЕДЕЛ ФУНКЦИИ В ТОЧКЕ. 55
Лекция 9
§ 1. Понятие предела числовой функции. 55
§ 2. База множеств. Предел функции по базе. 57
Лекция 10
§ 3. Свойство монотонности предела функции. 63
§ 4. Критерий Коши существования предела функции по базе. 64
Лекция 11
§ 5. Эквивалентность определений сходимости по Коши и по Гейне. 67
§ 6. Теоремы о пределе сложной функции. 68
§ 7. Порядок бесконечно малой функции. 72
Глава IV. НЕПРЕРЫВНОСТЬ ФУНКЦИИ В ТОЧКЕ. 74
Лекция 12
§ 1. Свойства функций, непрерывных в точке. 74
§ 2. Непрерывность элементарных функций. 76
Лекция 13
§ 3. Замечательные пределы. 79
§ 4. Непрерывность функции на множестве. 82
Лекция 14
§ 5. Общие свойства функций, непрерывных на отрезке 90
Лекция 15
§ 6. Понятие равномерной непрерывности. 93
§ 7. Свойства замкнутых и открытых множеств. Компакт. Функции, непрерывные на компакте. 94
Глава V. ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЕ ФУНКЦИЙ ОДНОЙ ПЕРЕМЕННОЙ.. 98
Лекция 16
§ 1. Приращение функции. Дифференциал и производная функции. 98
Лекция 17
§ 2. Дифференцирование сложной функции. 103
§ 3. Правила дифференцирования. 107
Лекция 18
§4. Производные и дифференциалы высших порядков. 109
§ 5. Возрастание и убывание функции в точке. 115
Лекция 19
§ 6. Теоремы Ролля, Коши и Лагранжа. 117
Лекция 20
§ 7. Следствия из теоремы Лагранжа. 122
§ 8. Некоторые неравенства. 123
§9. Производная функции, заданной параметрически. 125
Лекция 21
§ 10. Раскрытие неопределенностей. 126
Лекция 22
§11. Локальная формула Тейлора. 132
§ 12. Формула Тейлора с остаточным членом в общей форме. 137
Лекция 23
§ 13. Применение формулы Тейлора к некоторым функциям. 141
Лекция 24
§ 14. Исследование функций с помощью производных.
Экстремальные точки. Выпуклость. 144
Лекция 25
§ 15. Точки перегиба. 151
Лекция 26
§ 16. Интерполирование. 157
Лекция 27
§ 17.Метрд хорд и метод касательных (метод Ньютона).
Быстрые вычисления. 160
Глава VI. НЕОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ. 166
Лекция 28
§ 1. Точная первообразная. Интегрируемые функции. 166
Лекция 29.
§ 2. Свойства неопределенного интеграла. 169
Лекция 30
Дополнение. Обобщение понятия предела по Гейне на функции, сходящиеся по базе множеств. 174
ЧАСТЬ II. ИНТЕГРАЛ РИМАНА. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ ФУНКЦИЙ МНОГИХ ПЕРЕМЕННЫХ
Глава VII. ОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ 183
Лекция 1
§ 1. Введение. 183
§ 2. Определение интеграла Римана. 184
Лекция 2
§ 3. Критерий интегрируемости функции по Риману. 190
Лекция 3
§ 4. Эквивалентность трех условий интегрируемости функции по Риману. 195
§ 5. Специальный критерий интегрируемости функции по Риману. 196
§ 6. Метод интегральных сумм. 200
Лекция 4
§ 7. Свойства интеграла Римана как предела по базе. 204
§ 8. Классы функций, интегрируемых по Риману. 209
Лекция 5
§ 9. Свойства определенного интеграла. 212
§ 10. Аддитивность интеграла. 217
Глава VIII. ОСНОВНЫЕ ТЕОРЕМЫ ТЕОРИИ ИНТЕ­ГРАЛА РИМАНА. 219
Лекция 6
§ 1. Интеграл как функция верхнего (нижнего) предела интегрирования. Производная интеграла. 219
§ 2. Теорема Ньютона - Лейбница. Формулы суммирования Эйлера и Абеля. 220
Лекция 7
§ 3. Формулы замены переменной и интегрирования по частям в определенном интеграле. 225
§ 4. Первая и вторая теоремы о среднем значении. 226
Лекция 8
§ 5. Формула Тейлора с остаточным членом в интегральной форме. 233
§ 6. Неравенства, содержащие интегралы. 239
Лекция 9
§ 7. Критерий Лебега интегрируемости функции по Риману. 241
§ 8. Доказательство критерия Лебега. 242
Глава IX. НЕСОБСТВЕННЫЕ ИНТЕГРАЛЫ. 246
Лекция 10
§ 1. Определение несобственных интегралов первого и второго рода. 246
§ 2. Критерий Коши и достаточные условия сходимости несобственных интегралов. 248
§ 3. Абсолютная и условная сходимость несобственных интегралов. Признаки Абеля и Дирихле. 249
Лекция 11
§ 4. Несобственные интегралы второго рода. 253
§ 5. Формулы замены переменной и интегрирования по частям в несобственном интеграле. 255
Глава X. ДЛИНА ДУГИ КРИВОЙ. 257
Лекция 12
§ 1. Кривые в многомерном пространстве. 257
§ 2. Теорема о длине дуги кривой. 259
Глава XI. МЕРА ЖОРДАНА. 262
Лекция 13
§ 1. Площадь плоской фигуры и объем пространственного тела. Определение меры Жордана. 262
§ 2. Критерий измеримости множества по Жордану. 264
Лекция 14
§ 3. Свойства меры Жордана. 267
§ 4. Измеримость спрямляемой кривой. 269
§ 5. Связь между интегрируемостью функции по Риману и измеримостью по Жордану ее криволинейной трапеции. 271
Глава XII. ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ МЕРЫ И ИНТЕГРАЛА ЛЕБЕГА. ИНТЕГРАЛ СТИЛЬТЬЕСА. 275
Лекция 15
§ 1. Определение и свойства меры Лебега. 275
Лекция 16
§ 2. Интеграл Лебега. 282
Лекция 17
§ 3. Интеграл Стильтьеса. 288
Глава XIII. НЕКОТОРЫЕ ПОНЯТИЯ ОБЩЕЙ ТОПОЛОГИИ. МЕТРИЧЕСКИЕ ПРОСТРАНСТВА. 296
Лекция 18
§ 1. Определения. 296
Лекция 19
§ 2. Хаусдорфовость метрического пространства в естественной топологии. 302
§ 3. Внутренние, внешние и граничные точки множества в метрическом пространстве. 303
§ 4. Лемма о последовательности стягивающихся шаров.
Принцип сжимающих отображений. 306
Лекция 20
§ 5. Непрерывные отображения метрических пространств. 308
§ 6. Понятие компакта. Компакты в Жп и полнота пространства Rn. Свойства непрерывных функций на компакте. 309
§ 7. Связные множества и непрерывность. 312
Глава XIV. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ ФУНКЦИЙ МНОГИХ ПЕРЕМЕННЫХ. 314
Лекция 21
§ 1. Непрерывные функции в Шп. 314
§ 2. Дифференцируемые функции в Мп. 317
Лекция 22
§ 3. Дифференцирование сложной функции. 320
§ 4. Производная по направлению. Градиент. 321
§ 5. Геометрический смысл дифференциала. 323
Лекция 23
§ 6. Частные производные высших порядков. 324
§ 7. Дифференциалы высших порядков. Формула Тейлора. 326
Лекция 24
§ 8. Приложение формулы Тейлора. Локальный экстремум функции многих переменных. 330
§ 9. Неявные функции. 332
Лекция 25
§ 10. Система неявных функций. 337
§ 11. Условный экстремум функции многих переменных. 341
§ 12.Дифференцируемые отображения. Матрица Якоби. 344
ЧАСТЬ III. ФУНКЦИОНАЛЬНЫЕ РЯДЫ И ПАРАМЕТРИЧЕСКИЕ ИНТЕГРАЛЫ
Глава XV. ЧИСЛОВЫЕ РЯДЫ. 347
Лекция 1
§ 1. Основные свойства сходящихся рядов. Критерий Коши. 347
Лекция 2
§ 2. Ряды с неотрицательными членами. 355
Лекция 3
§ 3. Основные признаки сходимости для рядов с неотрицательными членами. 360
Лекция 4
§ 4. Абсолютная и условная сходимость рядов. Ряды Лейбница. 368
§ 5. Признаки Абеля и Дирихле. 370
Лекция 5
§ 6. Перестановки членов ряда. 373
Лекция 6
§ 7. Арифметические операции над сходящимися рядами 376
Лекция 7
§ 8. Двойные и повторные ряды. 381
Глава XVI. ФУНКЦИОНАЛЬНЫЕ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТИ И РЯДЫ. 388
Лекция 8
§ 1. Сходимость функционального ряда. 388
§ 2. Равномерная сходимость. 391
Лекция 9
§ 3. Критерий равномерной сходимости функциональной последовательности. 394
§ 4. Признаки равномерной сходимости. 396
Лекция 10
§ 5. Теорема Дини. 401
§ 6. Почленное дифференцирование и интегрирование ряда. 402
Лекция 11
§ 7. Двойные и повторные пределы по базе множеств. 407
Лекция 12
§ 8. Степенные ряды. 411
Лекция 13
§ 9. Бесконечные произведения. 416
Лекция 14
§ 10. Бесконечные определители. 422
§ 11. Равностепенная непрерывность и теорема Арцела. 425
Глава XVII. ИНТЕГРАЛЫ, ЗАВИСЯЩИЕ ОТ ПАРАМЕТРА. 428
Лекция 15
§ 1. Собственные параметрические интегралы и их непрерывность. 428
§ 2. Дифференцирование и интегрирование собственных параметрических интегралов. 431
Лекция 16
§ 3. Теорема Лагранжа. 436
Лекция 17
§ 4. Равномерная сходимость по Гейне. 439
§ 5. Эквивалентность двух определений «равномерной сходимости. 440
Лекция 18
§ 6. Равномерная сходимость несобственных параметрических интегралов. 444
Лекция 19
§ 7. Непрерывность, дифференцируемость и интегрируемость по параметру несобственных интегралов. 449
Лекция 20
§ 8. Несобственные интегралы второго рода. 456
§ 9. Применение теории параметрических интегралов. 458
Лекция 21
§ 10. Интегралы Эйлера первого и второго рода. 461
Лекция 22
§11. Формула Стирлинга. 467
Глава XVIII. РЯДЫ И ИНТЕГРАЛЫ ФУРЬЕ. 471
Лекция 23
§ 1. Представление дробной доли вещественного числа тригонометрическим рядом. Формула суммирования
Пуассона. Суммы Гаусса. 471
Лекция 24
§ 2. Неравенство Бесселя. Замкнутость и полнота ортонормированной системы функций. 482
Лекция 25
§ 3. Замкнутость тригонометрической системы функций 488
§ 4. Простейшие свойства тригонометрических рядов Фурье. :. 493
Лекция 26
§ 5. Интегральное представление для частичной суммы ряда Фурье. Принцип локализации Римана. 497
§ 6. Признаки поточечной сходимости рядов Фурье. 501
Лекция 27
§ 7. Поведение коэффициентов Фурье. 506
§ 8. Разложение котангенса на простейшие дроби и представление синуса в виде бесконечного произведения 509
§9. Задача Кеплера и ряды Бесселя. 511
Лекция 28
§ 10. Ядро Фейера и аппроксимационная теорема Вейерштрасса. 514
§ 11. Интеграл Дирихле и разложение на простейшие дроби. 517
Лекция 29
§ 12. Преобразование Фурье и интеграл Фурье. 522
Лекция 30
§ 13. Метод Лапласа и метод стационарной фазы. 534
ЧАСТЬ IV КРАТНЫЙ ИНТЕГРАЛ РИМАНА. ПОВЕРХНОСТНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ
Глава XIX. КРАТНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ. 544
Лекция 1
§ 1. Двойной интеграл Римана как предел по базе. 544
§ 2. Суммы Дарбу и их свойства. 547
Лекция 2
§ 3. Критерий Римана интегрируемости функции на прямоугольнике. 550
§ 4. Специальный критерий интегрируемости функции на прямоугольнике. 553
Лекция 3
§ 5. Измеримость по Жордану цилиндрической криволинейной фигуры. 556
§ 6. Понятие двойного интеграла Римана по ограниченной области, измеримой по Жордану. 558
Лекция 4
§ 7. Основные свойства двойного интеграла. 562
§ 8. Переход от двойного интеграла к повторному. 564
§ 9. Интегрируемость непрерывной функции на измеримом множестве. 566
Лекция 5
§ 10. Многократные интегралы. 568
§ 11. Свойства гладкого отображения на выпуклом множестве. 572
Лекция 6
§ 12. Объем области в криволинейных координатах.
Теорема о замене переменных в кратном интеграле 575
Лекция 7
§ 13. Критерий Лебега. 584
Лекция &
§ 14. Несобственные кратные интегралы. 588
Лекция 9
§ 15. Площадь поверхности. 595
§ 16. Площадь m-мерной поверхности в евклидовом пространстве п измерений. 600
Глава XX. КРИВОЛИНЕЙНЫЕ И ПОВЕРХНОСТНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ. 603
Лекция 10
§ 1. Криволинейные интегралы. 603
§ 2. Свойства криволинейных интегралов. 604
Лекция 11
§ 3. Криволинейные интегралы второго рода по замкнутому контуру. Формула Грина. 609
Лекция 12
§ 4. Поверхностные интегралы. 614
§ 5. Согласование ориентации поверхности, и ее границы 618
Лекция 13
§ 6. Формула Стокса. 622
§ 7. Формула Гаусса - Остроградского. 624
Лекция 14
§ 8. Криволинейные интегралы, зависящие только от пределов интегрирования. 630
§ 9. Элементы векторного анализа. 633
Лекция 15
§ 10. Потенциальное и соленоидальное векторные поля. 639
Глава XXI. ОБЩАЯ ФОРМУЛА СТОКСА. 645
Лекция 16
§ 1. Понятие ориентированной многомерной поверхности 645
§ 2. Согласование ориентации поверхности и ее границы в общем случае. 647
§ 3. Дифференциальные формы. 649
§ 4. Замена переменных в дифференциальной форме. 649
Лекция 17
§ 5. Интеграл от дифференциальной формы. 651
§ 6. Операция внешнего дифференцирования. 654
§ 7. Доказательство общей формулы Стокса. 656
Лекция 18
Дополнение. Равномерное распределение значений числовых последовательностей на отрезке. 660
§ 1. Понятие равномерного распределения. Лемма об оценке коэффициентов Фурье. 660
§ 2. Критерий Г.Вейля. 664
Примерные вопросы и задачи к коллоквиумам и экзаменам. 674
Литература. 684
МНОЖЕСТВА. ОПЕРАЦИИ НАД МНОЖЕСТВАМИ. ДЕКАРТОВО ПРОИЗВЕДЕНИЕ МНОЖЕСТВ. ОТОБРАЖЕНИЯ И ФУНКЦИИ
    Под термином «математический анализ» подразумевается прежде всего дифференциальное и интегральное исчисление, созданное Ньютоном и Лейбницем в XVII в., хотя некоторые основные понятия анализа сформировались гораздо раньше. Сейчас его в значительной степени рассматривают как устоявшуюся учебную дисциплину. Однако из сказанного не следует делать вывод, что в математическом анализе не осталось тем для научных исследований и глубоких открытий. Дело в том, что составные части математического анализа настолько разрослись, что давно превратились в отдельные математические дисциплины, такие, как теория функций действительного переменного (ТФДП), теория функций комплексного переменного (ТФКП), теория вероятностей, дифференциальные уравнения, математическая статистика, уравнения в частных производных, уравнения математической физики, вычислительная математика и т. д. В широком смысле математический анализ включает в себя все эти области, т. е. почти всю математику.
    В узком же смысле, как учебная дисциплина, математический анализ представляет собой составную и, пожалуй, большую долю той части математического знания, которая в настоящее время является общей для всех современных математических дисциплин. Поэтому приятна совершенно исключительная роль, которую играет математический анализ в математическом образовании. Он, по существу, является фундаментом математических знаний.