Квантовая механика для математиков, Тахтаджян Л.А., 2011

Квантовая механика для математиков, Тахтаджян Л.А., 2011.
  Книга посвящена математически строгому изложению квантовой механики, в особенности вопросов, связанных с методом континуального интегрирования и суперсимметрий. Она будет полезна аспирантам и научным сотрудникам-математикам, в сфере научных интересов которых находятся математические аспекты квантовой механики, а также её приложения и связи с различными подходами современной математики.

Наблюдаемые, состояния и динамика.
Квантовая механика изучает микромир — физические законы в атомных масштабах, которые нельзя адекватно описать с помощью классической механики. Свойства микромира очень сильно отличаются от нашего повседневного опыта, поэтому неудивительно, что его законы кажутся противоречащими здравому смыслу. Так, классические механика и электродинамика не могут объяснить устойчивость атомов и молекул. Точно также не могут эти теории согласовать разные свойства света — волнового характера в явлениях дифракции и интерференции и корпускулярного — в фотоэлектрической эмиссии и рассеянии свободными фотонами. Фундаментальное различие между микромиром и наблюдаемым миром вокруг нас в том, что в микромире любой эксперимент приводит к взаимодействию с системой и тем самым нарушает ее свойства, тогда как в классической физике всегда предполагается, что можно пренебречь возмущениями, вносимыми в систему измерением. Это налагает ограничения на возможности наблюдения и приводит к выводу, что существуют наблюдаемые, которые нельзя измерить одновременно.
Содержание     
Предисловие к русскому изданию
Предисловие редактора перевода
Предисловие
ЧАСТЬ I. ОСНОВЫ
ГЛАВА 1. Классическая механика
1.1. Лагранжева механика
1.1.1. Обобщенные координаты
1.1.2. Принцип наименьшего действия
1.1.3. Примеры лагранжевых систем
1.1.4. Симметрии и теорема Нётер
1.1.5. Одномерное движение
1.1.6. Движение в центральном поле и задача Кеплера
1.1.7. Преобразование Лежандра
1.2. Гамильтонова механика
1.2.1. Уравнения Гамильтона
1.2.2. Функционал действия в фазовом пространстве
1.2.3. Действие как функция координат
1.2.4. Классические наблюдаемые и скобка Пуассона
1.2.5. Канонические преобразования и производящие функции
1.2.6. Симплектические многообразия
1.2.7. Пуассоновы многообразия
1.2.8. Представления Гамильтона и Лиувилля
1.3. Замечания и ссылки
ГЛАВА 2. Основные принципы квантовой механики
2.1. Наблюдаемые, состояния и динамика
2.1.1. Математическая формулировка
2.1.2. Соотношения неопределенности Гейзенберга
2.1.3. Динамика
2.2. Квантование
2.2.1. Коммутационные соотношения Гейзенберга
2.2.2. Координатное и импульсное представления
2.2.3. Свободная квантовая частица
2.2.4. Примеры квантовых систем
2.2.5. Старая квантовая механика
2.2.6. Гармонический осциллятор
2.2.7. Голоморфное представление и виковские символы
2.3. Соотношения Вейля
2.3.1. Теорема Стоуна-фон Неймана
2.3.2. Инвариантная формулировка
2.3.3. Квантование Вейля
2.3.4. ?-произведение
2.3.5. Деформационное квантование
2.4. Замечания и ссылки
ГЛАВА 3. Уравнение Шредингера
3.1. Общие свойства
3.1.1. Самосопряженность
3.1.2. Характеризация спектра
3.1.3. Теорема о вириале
3.2. Одномерное уравнение Шредингера
3.2.1. Функции Йоста и коэффициенты перехода
3.2.2. Разложение по собственным функциям
3.2.3. S-матрица и теория рассеяния
3.2.4. Другие граничные условия
3.3. Угловой момент и SO(3)
3.3.1. Операторы углового момента
3.3.2. Теория представлений SO(3)
3.4. Задача двух тел
3.4.1. Отделение центра масс
3.4.2. Трехмерная теория рассеяния
3.4.3. Частица в центрально-симметричном потенциале
3.5. Атом водорода и SO(4)
3.5.1. Дискретный спектр
3.5.2. Непрерывный спектр
3.5.3. Скрытая SO(4) симметрия
3.6. Квазиклассическая асимптотика - I
3.6.1. Асимптотика, зависящая от времени
3.6.2. Асимптотика, не зависящая от времени
3.6.3. Правила квантования Бора-Вильсона-Зоммерфельда
3.7. Замечания и ссылки
ГЛАВА 4. Спин и тождественные частицы
4.1. Спин
4.1.1. Операторы спина
4.1.2. Спин и теория представлений SU(2)
4.2. Заряженная спиновая частица в магнитном поле
4.2.1. Гамильтониан Паули
4.2.2. Частица в однородном магнитном поле
4.3. Система тождественных частиц
4.3.1. Постулат симметризации
4.3.2. Диаграммы Юнга и теория представлений SymN
4.3.3. Двойственность Шура-Вейля и симметрия волновых функций
4.4. Замечания и ссылки
ЧАСТЬ II. ФУНКЦИОНАЛЬНЫЕ МЕТОДЫ И СУПЕРСИММЕТРИЯ
ГЛАВА 5. Фейнмановская формулировка квантовой механики
5.1. Фейнмановский интеграл по путям
5.1.1. Фундаментальное решение уравнения Шредингера
5.1.2. Фейнмановский интеграл по путям в фазовом пространстве
5.1.3. Фейнмановский интеграл по путям в конфигурационном пространстве
5.1.4. Несколько степеней свободы
5.2. Символы оператора эволюции и интегралы по путям
5.2.1. pq-символ
5.2.2. qp-символ
5.2.3. Вейлевский символ
5.2.4. Виковский символ
5.3. Фейнмановский интеграл для гармонического осциллятора
5.3.1. Гауссово интегрирование
5.3.2. Пропагатор гармонического осциллятора
5.3.3. Тождество Мелера
5.4. Гауссовы интегралы по путям
5.4.1. Гауссов интеграл по путям для свободной частицы
5.4.2. Гауссов интеграл по путям для гармонического осциллятора
5.5. Регуляризованные детерминанты дифференциальных операторов
5.5.1. Граничные условия Дирихле
5.5.2. Периодические граничные условия
5.5.3. Дифференциальные операторы первого порядка
5.6. Квазиклассическая асимптотика - II
5.6.1. Использование фейнмановского интеграла по путям
5.6.2. Строгий вывод
5.7. Замечания и ссылки
ГЛАВА 6. Интегрирование в функциональных пространствах
6.1. Гауссовы меры
6.1.1. Конечномерный случай
6.1.2. Бесконечномерный случай
6.2. Мера Винера и интеграл Винера
6.2.1. Определение меры Винера
6.2.2. Условная мера Винера и формула Фейнмана-Каца
6.2.3. Соотношение между интегралами Винера и Фейнмана
6.3. Гауссовы интегралы Винера
6.3.1. Граничные условия Дирихле
6.3.2. Периодические граничные условия
6.4. Замечания и ссылки
ГЛАВА 7. Фермионные системы
7.1. Канонические антикоммутационные соотношения
7.1.1. Мотивировка
7.1.2. Алгебры Клиффорда
7.2. Алгебры Грассмана
7.2.1. Реализация канонических антикоммутационных соотношений
7.2.2. Дифференциальные формы
7.2.3. Интеграл Березина
7.3. Градуированная линейная алгебра
7.3.1. Градуированные векторные пространства и супералгебры
7.3.2. Примеры супералгебр
7.3.3. Суперслед и березиниан
7.4. Интегралы по путям для антикоммутирующих переменных
7.4.1. Виковские и матричные символы
7.4.2. Интеграл по путям для оператора эволюции
7.4.3. Гауссовы интегралы по путям в грассмановых переменных
7.5. Замечания и ссылки
ГЛАВА 8. Суперсимметрия
8.1. Супермногообразия
8.2. Эквивариантные когомологии и локализация
8.2.1. Конечномерный случай
8.2.2. Бесконечномерный случай
8.3. Классическая механика на супермногообразиях
8.3.1. Функции с антикоммутирующими значениями
8.3.2. Классические системы
8.4. Суперсимметрия
8.4.1. Полный угловой момент
8.4.2. Преобразование суперсимметрии
8.4.3. Суперсимметричная частица на римановом многообразии
8.5. Квантовая механика на супермногообразиях
8.6. Формула Атьи-Зингера для индекса
8.7. Замечания и ссылки
Литература.