Курс высшей математики, Том 4, Часть 1, Смирнов В.И., 1974

Курс высшей математики, Том 4, Часть 1, Смирнов В.И., 1974.
   Настоящее шестое издание четвертого тома существенно отличается от пятого издания. Это связано с тем, что четвертый том впервые печатается после изменения второго тома, в котором изложена теория интеграла Лебега и класс L2 функций, интегрируемых с квадратом по Лебегу. Это повлекло изменение изложения первой главы IV тома - теории интегральных уравнений. Кроме того, добавлена третья глава, содержащая изложение новых точек зрения на некоторые основные понятия математического анализа. Вторая глава (вариационное исчисление) несколько расширена. В третьей главе уже с новых точек зрения рассмотрена задача о минимуме квадратичного функционала.
В предыдущем издании четвертый том содержал более 800 страниц. В настоящем издании его пришлось разбить на две части, и настоящая книга является первой его частью.
   Примеры составления интегральных уравнений. Интегральным уравнением называется всякое уравнение, содержащее искомую функцию под знаком интеграла. Пусть ищется решение дифференциального уравнения y=f(x,у), удовлетворяющее начальному условию у(х0)=у0. Мы видели раньше [11:51], что эта задача сводится к решению интегрального уравнения:
Совершенно так же задача интегрирования дифференциального уравнения порядка y=f(x,у) с начальными данными y(x)=y; у'(х)=у приводится к интегральному уравнению.
ОГЛАВЛЕНИЕ
Предисловие к шестому изданию
ГЛАВА I
ИНТЕГРАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ
1. Примеры составления интегральных уравнений (7). 2. Классификация интегральных уравнений (11). 3. Ортогональные системы функций (14). 4. Уравнения Фредгольма второго рода (16). 5. Итерированные ядра (18). 6. Интегральные соотношения для резольвенты. Теоремы существования и единственности (22). 7. Знаменатель Фредгольма (24). 8. Уравнение Фредгольма при любом (32). 9. Союзное интегральное уравнение (34). 10. Случай характеристического значения (35). 11. Миноры Фредгольма (42). 12. Вырожденные уравнения (43). 13. Примеры (45). 14. Обобщение полученных результатов (46). 15. Компактные множества непрерывных функций (49). 16. Неограниченные ядра (54). 17. Интегральные уравнения с полярным ядром (56). 18. Случай характеристического значения (59). 19. Многомерный случай (61). 20. Интегральные уравнения с регулярным повторным ядром (61). 21. Аппарат Фредгольма для полярных ядер (64). 22. Интеграл Лебега (66). 23. Ортонормированные в L2 системы (69). 24. Линейные ограниченные операторы в L2 (73). 25. Интегральное уравнение с ядром из L2 (75). 26. Сопряженное уравнение (76). 27. Вырожденное ядро (78). 28. Решение уравнения с ядром из L3 при любом (80). 29. Вполне непрерывные в L2 операторы (83). 30. Симметричное ядро (86). 31. Разложение ядра по собственным функциям (89). 32. Функции, представимые через ядро (92). 33. Пространство СL2 (94). 34. Теоремы о норме линейных операторов (95). 35. Существование собственного значения (97). 36. Последовательность собственных чисел и теорема разложения (99). 37. Формулировка полученных результатов в терминах интегральных операторов (104). 38. Теорема Дини (106). 39. Разложение повторных ядер (107). 40. Решение интегрального уравнения через характеристические значения к собственные функции (112). 41. Аппарат Фредгольма в случае симметричного ядра (113). 42. Классификация симметричных ядер (116). 43. Теорема Мерсера (118). 44. Кососимметричное ядро и интегральные уравнения, приводимые к уравнениям с симметричным ядром (120). 45. Уравнения первого рода (122). 46. Симметризация ядра (124). 47. Примеры (127). 48. Ядра, зависящие от параметра (130). 49. Случай функций нескольких переменных (132). 50. Уравнения Вольтерра (133). 51. Преобразование Лапласа (138). 52. Свертывание функций (144). 53. Уравнения Вольтерра специального вида (146). 54. Уравнения Вольтерра первого рода (149). 55. Примеры (152). 56. Нагруженные интегральные уравнения (156). 57. Интегральные уравнения первого рода с ядром Коши (160). 58. Предельные задачи для аналитических функций (161). 59. Интегральные уравнения второго рода с ядром Коши (165). 60. Предельные задачи для случая отрезка (168). 61. Обращение интеграла типа Коши (172). 62. Преобразование Фурье в L1 (173). 63. Преобразование Фурье в L2. Полиномы Эрмита (178). 64. Интегральное уравнение Фурье (182). 65. Уравнения в случае бесконечного промежутка (182). 66. Примеры (184). 67. Случай полубесконечного промежутка (185). 68. Примеры (188). 69. Случай полу бесконечного промежутка (продолжение) (191).
ГЛАВА II
ВАРИАЦИОННОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ
70. Постановка задач (198). 71. Основные леммы (200). 72. Уравнение Эйлера в простейшем случае (203). 73. Случай нескольких функций и производных высших порядков (207). 74. Случай кратных интегралов (210). 75. Замечания по поводу уравнений Эйлера и Остроградского (212). 76. Примеры (214). 77. Изопериметрические задачи (221). 78. Условный экстремум (225). 79. Примеры (227). 80. Инвариантность уравнений Эйлера и Остроградского (234). 81. Параметрическая форма (236). 82. Геодезические линии в n-мерном пространстве (240). 83. Естественные граничные условия (243). 84. Функционалы более общего типа (244). 85. Общая форма первой вариации (247). 86. Условие трансверсальности (250). 87. Канонические переменные (252). 88. Поле экстремалей в трехмерном пространстве (255). 89. Теория поля в общем случае (260). 90. Особый случай (263). 91. Теорема Якоби (265). 92. Разрывные решения (267). 93. Односторонний экстремум (270). 94. Вторая вариация (271). 95. Условие Якоби (273). 96. Слабый и сильный экстремум (277). 97. Случай нескольких функций (279). 98. Функция Вейерштрасса (281). 99. Примеры (283). 100. Принцип Остроградского - Гамильтона (285). 101. Принцип наименьшего действия (287). 102. Струна и мембрана (290). 103. Стержень и пластинка (292). 104. Основные уравнения теории упругости (293). 105. Абсолютный экстремум (297). 106. Интеграл Дирихле (300). 107. Общий случай функционалов при нескольких независимых переменных (305). 108. Прямые методы вариационного исчисления (307). 109. Пример (308).
ГЛАВА III
ДОПОЛНИТЕЛЬНЫЕ СВЕДЕНИЯ ПО ТЕОРИИ ФУНКЦИОНАЛЬНЫХ ПРОСТРАНСТВ L1 И L2. ОБОБЩЕННЫЕ ПРОИЗВОДНЫЕ. ПРОБЛЕМА МИНИМУМА КВАДРАТИЧНОГО ФУНКЦИОНАЛА
110. Усреднение функций из L1 и L2 (311). 111. Свойства средних (313). 112. Финитные бесконечно дифференцируемые функции (315). 113. Обобщенные производные (317). 114. Свойства обобщенных производных (320). 115. Классы
функций W(D), W(D) и W(D) С.Л. Соболева (322). 116. Неравенство Пуанкаре. Теорема Реллиха (327). 117. Постановка задачи о минимуме квадратичного функционала (330). 118. Решение вариационной задачи (332). 119. Связь с краевой задачей (333).
Алфавитный указатель