Курс высшей математики - Шестаков А.А., Малышева И.А., Полозков Д.П.

Название: Курс высшей математики. 1987.
Автор: Шестаков А.А., Малышева И.А., Полозков Д.П.
    Учебник представляет собой второй том курса высшей математики и является продолжением книги Мантурова О В , Матвеева Н. М «Курс высшей математики Линейная алгебра Аналитическая геометрия Дифференциальное исчисление функций одной переменной» (М., 1986) Он предназначен для студентов-заочников инженерно-технических специальностей втузов и написан в соответствии с программой по математике для указанных специальностей Большое внимание уделено разбору примеров и задач. Имеются задачи для самостоятельного решения.


    Настоящая книга представляет собой второй том учебника по высшей математике для студентов-заочников инженерно-технических специальностей вузов, изучающих курс высшей математики по программе на 510 часов, утвержденной Минвузом СССР. Она является продолжением книги Мантурова О. В., Матвеева Н. М. «Курс высшей математики: Линейная алгебра. Аналитическая геометрия. Дифференциальное исчисление функций одной переменной» (М., 1986). Содержание учебника отвечает указанной программе, причем названия глав и параграфов почти дословно повторяют соответствующие пункты программы.
    В книге дано систематическое изложение соответствующих разделов курса высшей математики на достаточном для втуза уровне строгости, разобраны примеры, приведены упражнения для самостоятельного решения.
В настоящем учебнике учтен накопленный авторами опыт преподавания высшей математики во Всесоюзном заочном институте инженеров железнодорожного транспорта, в частности, использован курс лекций, прочитанный проф. А. А. Шестаковым.
ОГЛАВЛЕНИЕ
Предисловие . . . 6
Глава I. Неопределенный интеграл 8
§11. Первообразная. Неопределенный интеграл, его свойства 8
§ 1 2. Таблица основных интегралов. Основные методы интегрирования . 17
§ 1.3. Интегрирование рациональных функций 34
§ 1.4 Метод рационализации. Интегрирование некоторых иррациональных и тригонометрических функций 43
$ 1.5. О таблицах неопределенных интегралов Интегралы, не выражающиеся в элементарных функциях 52
Глава II. Определенный интеграл 54
§2.1. Задачи, приводящие к понятию определенного интеграла. Определенный интеграл как предел интегральных сумм. Геометрический и механический смысл определенного интеграла. Основные свойства определенного интеграла Производная определенного интеграла по переменному верхнему пределу. Формула Ньютона - Лейбница 54
§ 2.2. Площадь как предел. Интегральные суммы Дарбу. Признаки существования определенного интеграла Вычисление площади с помощью интеграла. Классы интегрируемых функций 67
§ 2 3. Вычисление определенного интеграла Интегрирование разложением, подстановкой и по частям Приближенное вычисление определенного интеграла. Формулы прямоугольников, трапеций и Симпсона 72
§ 2.4. Приложение интегралов к вычислению площадей плоских фигур, длин дуг кривых, объемов тел и площадей поверхностей вращения .... 83
§ 2.5 Кривизна плоской линии. Центр и окружность кривизны Эволюта и эвольвента. Кривизна пространственной линии Формулы Френе .... 97
§ 2.6. Несобственное интегралы с бесконечными пределами. Несобственные интегралы от неограниченной подынтегральной функции Основные свойства. Абсолютная и условная сходимость. Признаки сходимости . . 108
§ 2.7. Интегралы, зависящие от параметра Непрерывность Дифференцирование и интегрирование по параметру Несобственные интегралы, зависящие от параметра. Гамма- и бета-функции 118
Глава III Обыкновенные дифференциальные уравнения 125
§3.1. Дифференциальные уравнения первого порядка Задача Коши Теорема существования и единственности решения задачи Коши Понятие об общем, частном и особом решениях дифференциальных уравнений . . 125
§ 3.2. Задачи, приводящие к обыкновенным дифференциальным уравнениям 134
§ 3.3. Основные классы уравнений первого порядка, интегрируемых в квадратурах- уравнения в полных дифференциалах, с разделяющимися переменными, линейные, однородные, уравнение Бернулли 136
§ 3.4. Численные методы решения задачи Коши для обыкновенного дифференциального уравнения первого порядка. Метод Эйлера и его модификации Метод Рунге - Кутта 149
§ 3.5. Дифференциальные уравнения высших порядков Задача Коши Теорема существования и единственности решения задачи Коши. Уравнения, допускающие понижение порядка 153
§ 3.6. Линейные дифференциальные уравнения. Понятие однородного и неоднородного уравнения. Однородное линейное уравнение, его общее решение. Линейное однородное уравнение с постоянными коэффициентами 159
§ 3 7. Линейное однородное дифференциальное уравнение второго порядка (дополнения)  167
§ 3.8. Линейные неоднородные дифференциальные уравнения Метод Лагранжа вариации произвольных постоянных. Линейные неоднородные уравнения с постоянными коэффициентами. Уравнения с правой частью специального вида f 170
§ 3.9. Линейное неоднородное дифференциальное уравнение второго порядка с постоянными коэффициентами и правой частью специального вида (дополнения) 179
§ 3.10. Понятие о краевых задачах для обыкновенных дифференциальных уравнений 181
Глава IV. Системы обыкновенных дифференциальных уравнений .... 185
§ 4.1. Нормальные системы дифференциальных уравнений и векторная форма их записи. Задача Коши. Теорема существования и единственности решения задачи Коши. Понятие об общем, частном, особом и составном решениях. Метод исключения 185
§ 4.2. Нормальные системы линейных однородных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами. Структура общего решения Решение в случае простых корней характеристического уравнения .... 193
§ 4.3. Структура общего решения линейной нормальной однородной системы с постоянными коэффициентами. Линейная независимость собственных векторов квадратной матрицы 203
§ 4.4. Нормальные системы линейных неоднородных дифференциальных уравнении с постоянными коэффициентами. Векторно-матричная форма записи. Структура общего решения , . 206
Глава V. Элементы теории устойчивости 210
§ 5.1. Понятие устойчивости и асимптотической устойчивости по Ляпунову. Устойчивость решения системы линейных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами. Типы точек покоя для системы двух уравнений 210
§ 5.2. Нелинейные автономные системы. Понятие о функции Ляпунова. Формулировка теоремы Ляпунова об устойчивости 226
Глава VI. Кратные интегралы 231
§ 6.1. Двойные и тройные интегралы, их свойства. Геометрический и физический смысл интегралов. Представление об интегралах любой кратности 231
§ 6.2. Вычисление двойных н тройных интегралов в декартовых координатах 240
§ 6.3. Переход от декартовых координат к полярным. Замена переменных в кратных интегралах Переход от декартовых координат к цилиндрическим и сферическим 248
§ 6.4. Применение кратных интегралов для вычисления объемов и площадей, для решения задач механики 262
Глава VII. Криволинейные и поверхностные интегралы 267
§ 7.1. Определение криволинейных интегралов первого и второго рода, их основные свойства и вычисление. Геометрические и физические приложения. Связь между криволинейными интегралами первого и второго рода Формула Грина 267
§ 7.2. Площадь поверхности. Определение поверхностных интегралов первого и второго роДа, их свойства и вычисление. Связь между поверхностными интегралами первого и второго рода 278
Глава VIII. Векторный анализ 288
§ 8.1. Скалярные и векторные ноля. Линии и поверхности уровня скалярного поля. Производная по направлению. Градиент скалярного поля, его координатное и инвариантное определения Векторные линии и их дифференциальные уравнения 288
§ 8.2. Поток векторного поля через поверхность. Физический смысл потока в поле скоростей жидкости. Вычисление потока. Формула Остроградского 293
§ 8.3. Дивергенция векторного поля, ее инвариантное определение и физический смысл. Вычисление дивергенции. Соленоидальные (трубчатые) поля 298
§ 8.4. Линейный интеграл в векторном поле. Работа силового поля. Циркуляция векторного поля. Формула Стокса. Ротор поля, его координатное и инвариантное определения Физический смысл ротора в поле скоростей. Условия независимости линейного интеграла от пути интегрирования . . 300 § 8 5. Потенциальное поле. Условие потенциальности поля. Вычисление линейного интеграла в потенциальном поле . , 306
§ 8.6. Оператор Гамильтона. Операции второго порядка в векторном анализе. Оператор Лапласа, его выражение в декартовых, цилиндрических и сферических координатах 308
Ответы к упражнениям 312
Литература 316
Предметный указатель