Курс теории вероятностей - Гнеденко Б.В.

Название: Курс теории вероятностей. 2005.
Автор: Гнеденко Б.В.
    Дается систематическое изложение основ теории вероятностей, проиллюстрированное большим числом подробно рассмотренных примеров, в том числе и прикладного содержания. Серьезное внимание уделено рассмотрению вопросов методологического характера. В настоящее издание возвращен очерк по истории теории вероятностей.
Для студентов математических специальностей университетов и педагогических институтов.
    Цель настоящей книги состоит в изложении основ теории вероятностей — математической науки, изучающей закономерности случайных явлений.
Возникновение теории вероятностей относится к середине XVII века и связано с именами Гюйгенса (1629-1695), Паскаля (1623-1662), Ферма (1601-1665) и Якоба Бернулли (1654-1705). В переписке Паскаля и Ферма, вызванной задачами, поставленными азартными игроками и не укладывающимися в рамки математики того времени, выкристаллизовывались постепенно такие важные понятия, как вероятность и математическое ожидание. При этом, конечно, нужно отдавать себе ясный отчет, что выдающиеся ученые, занимаясь задачами азартных игроков, предвидели и фундаментальную натурфилософскую роль науки, изучающей случайные явления. Они были убеждены в том, что на базе массовых случайных событий могут возникать четкие закономерности. И только состояние естествознания привело к тому, что азартные игры еще долго продолжали оставаться тем почти единственным конкретным материалом, на базе которого создавались понятия и методы теории вероятностей. Это обстоятельство накладывало отпечаток и на формально-математический аппарат, посредством которого решались возникавшие в теории вероятностей задачи: он сводился исключительно к элементарно арифметическим и комбинаторным методам. Последующее развитие теории вероятностей, а также широкое привлечение ее результатов и методов исследования в естествознание, и в первую очередь в физику, показали, что классические понятия и классические методы не потеряли своего значения и в настоящее время.
ОГЛАВЛЕНИЕ
Предисловие к седьмому изданию 11
Предисловие к шестому изданию 11
Из предисловия ко второму изданию 13
Из предисловия к первому изданию 13
Введение 15
Глава 1. Случайные события и их вероятности 20
§ 1. Интуитивные представления о случайных событиях 20
§ 2. Поле событий. Классическое определение вероятности 24
§ 3. Примеры 32
§ 4. Геометрические вероятности 40
§ 5. 0 статистической оценке неизвестной вероятности 46
§ 6. Аксиоматическое построение теории вероятностей 49
§ 7. Условная вероятность и простейшие основные формулы 55
§ 8. Примеры 62
Глава 2. Последовательность независимых испытаний 71
§ 9. Вводные замечания 71
§ 10. Локальная предельная теорема 75
§ 11. Интегральная предельная теорема 82
§ 12. Применения интегральной теоремы Муавра—Лапласа 89
§ 13. Теорема Пуассона 93
§ 14. Иллюстрация схемы независимых испытаний 98
Глава 3. Цепи Маркова 104
§ 15. Определение цепи Маркова 104
§ 16. Матрица перехода 105
§ 17. Теорема о предельных вероятностях 106
Глава 4. Случайные величины и функции распределения 111
§ 18. Основные свойства функций распределения 111
§ 19. Непрерывные и дискретные распределения 117
§ 20. Многомерные функции распределения 121
§ 21. Функции от случайных величин 129
§ 22. Интеграл Стилтьеса 140
Глава 5. Числовые характеристики случайных величин 149
§ 23. Математическое ожидание 149
§ 24. Дисперсия 154
§ 25. Теоремы о математическом ожидании и дисперсии 160
§ 26. Моменты 165
Глава 6. Закон больших чисел 174
§ 27. Массовые явления и закон больших чисел 174
§ 28. Закон больших чисел в форме Чебышева 177
§ 29. Необходимое и достаточное условие для закона больших чисел 181
§ 30. Усиленный закон больших чисел 184
§ 31. Теорема В. И.Вшвенко 190
Глава 7. Характеристические функции 198
§ 32. Определение и простейшие свойства характеристических функций 198
§ 33. Формула обращения и теорема единственности 203
§ 34. Теоремы Хелли 208
§ 35. Предельные теоремы для характеристических функций 212
§ 36. Положительно определенные функции 216
§ 37. Характеристические функции многомерных случайных величин 222
§ 38. Преобразование Лапласа—Стилтьеса 226
Глава 8. Классическая предельная теорема 234
§ 39. Постановка задачи 234
§ 40. Теорема Линдеберга 237
§ 41. Локальная предельная теорема 242
Глава 9. Теория безгранично делимых законов распределения 249
§ 42. Безгранично делимые законы и их основные свойства 249
§ 43. Каноническое представление безгранично делимых законов 252
§ 44. Предельная теорема для безгранично делимых законов 257
§ 45. Постановка задачи о предельных теоремах для сумм 260
§ 46. Предельные теоремы для сумм 261
§ 47. Условия сходимости к законам нормальному и Пуассона 264
§ 48. Суммирование независимых случайных величин в случайном числе 267
Глава 10. Теория стохастических процессов 273
§ 49. Вводные замечания 273
§ 50. Процесс Пуассона 277
§ 51. Процессы гибели и размножения 282
§ 52. Условные функции распределения и формула Байеса 293
§ 53. Обобщенное уравнение Маркова 297
§ 54. Непрерывный случайный процесс. Уравнения Колмогорова 298
§ 55. Чисто разрывный процесс. Уравнения Колмогорова—Феллера 306
§ 56. Однородные случайные процессы с независимыми приращениями 313
§ 57. Понятие стационарного случайного процесса. Теорема Хинчина о корреляционной функции 318
§ 58. Понятие стохастического интеграла. Спектральное разложение стационарных процессов 323
§ 59. Эргодическая теорема Биркгофа—Хинчина 326
Глава 11. Элементы статистики 331
§ 60. Основные задачи математической статистики 331
§ 61. Классический метод определения параметров распределения 334
§ 62. Исчерпывающие статистики 344
§ 63. Доверительные границы и доверительные вероятности 345
§ 64. Проверка статистических гипотез 352
Дополнение 1. Определение математического ожидания в аксиоматике Колмогорова 360
Дополнение 2. Лемма Бореля—Кантелли и ее применение 363
Дополнение 3. Очерк по истории теории вероятностей 366
Глава 1. Предыстория понятия вероятности и случайного события 366
§ 1. Первые данные 366
§ 2. Исследования Дж. Кардано и Н.Тарталья 368
§ 3. Исследования Галилео Галилея 371
§ 4. Вклад Б. Паскаля и П. Ферма в развитие теории вероятностей 374
§ 5. Работа X. Гюйгенса 379
§ 6. О первых исследованиях по демографии 383
Глава 2. Период формирования основ теории вероятностей 386
§ 7. Возникновение классического определения вероятности 386
§ 8. О формировании понятия геометрической вероятности 390
§ 9. Основные теоремы теории вероятностей 394
§ 10. Задача о разорении игрока 399
§11. Возникновение предельных теорем теории вероятностей 400
§ 12. Статистический контроль качества продукции 403
§ 13. Дальнейшее развитие понятий случайного события и его вероятности 406
Глава 3. К истории формирования понятия случайной величины 408
§ 14. Развитие теории ошибок наблюдений 408
§ 15. Формирование понятия случайной величины 411
§ 16. Закон больших чисел 414
§ 17. Центральная предельная теорема 416
§ 18. Общие предельные распределения для сумм 422
§ 19. Закон повторного логарифма 425
§ 20. Формирование понятий математического ожидания и дисперсии 427
Глава 4. К истории теории случайных процессов 430
§ 21. Общие представления 430
§ 22. Дальнейшее развитие 434
Таблица значений функции <р(х) 436
Таблица значений функции Ф(х) 437
Таблица значений функции f(а) 438
Таблица значений функции 440
Список литературы 441
Список изданий книги Б. В. Гнеденко «Курс теории вероятностей» 442
О Борисе Владимировиче Гнеденко 443
Алфавитный указатель 444