Курс математического анализа - Никольский С.М.

Название: Курс математического анализа. 2001.
Автор: Никольский С.М.
   Учебник для студентов физических и механико-математических специальностей вузов написан на основе курса лекций, читаемого автором в Московском физико-техническом институте. Фактически принят как учебное пособие в некоторых втузах с повышенной программой по математике.
   Книга содержит дифференциальное и интегральное исчисления функций одной и многих переменных, теорию поля, ряды и интегралы Фурье, начала теории банаховых пространств и обобщенные функции.
   Учебник исчерпывает соответствующую часть программы по математике на получение звания бакалавра.


   Данная книга представляет собой улучшенное сокращение четвертого издания книги "Курс математического анализа", вышедшей в 1990г. в издательстве "Наука" в двух томах. Изменению подверглись главы 2 и б, а также § 7.22 о локальном относительном экстремуме. Добавлено рассмотрение вопросов линеаризации решений нелинейных уравнений и нелинейных систем уравнений. Этот учебник соответствует, если не считать некоторых добавлений, программе курса математического анализа, читанного мною на протяжении 50 лет в Московском физико-техническом институте (МФТИ).
ОГЛАВЛЕНИЕ
Предисловие     9
Глава   1.   Введение     11
§ 1.1.   Вступление  11
§ 1.2.   Множество. Интервал, отрезок.        11
§ 1.3.   Функция.  14
§ 1.4.   Понятие непрерывности функции  24
§ 1.5.   Производная        27
§ 1.6.   Первообразная. Неопределенный интеграл        33
§ 1.7.   Понятие определенного интеграла.   Площадь криволинейной фигуры  36
Глава   2.   Действительное число  41
§ 2.1.   Рациональные и иррациональные числа  41
§ 2.2.   Определение неравенства        46
§ 2.3.   Основная лемма. Определение арифметических действий  46
§ 2.4.   Основные свойства действительных чисел.        49
§2.5.   Изоморфизм различных представлений действительных чисел. Физические величины   52
§ 2.6.   Неравенства для абсолютных величин  54
§ 2.7.   Точные верхняя и нижняя грани множества.  55
§ 2.8.   Символика математической логики.  56
Глава  3.   Предел последовательности  58
§ 3.1.   Понятие предела последовательности .        58
§ 3.2.   Арифметические действия с пределами        62
§ 3.3.   Бесконечно малая и бесконечно большая величины        64
§ 3.4.   Существование предела у монотонной ограниченной последовательности .  66
§ 3.5.   Число е  68
§ 3.6.   Леммы о вложенных отрезках, существовании точных граней множества и сечения во множестве действительных чисел .              69
§3.7.   Теорема Больцано-Вейерштрасса. Верхний и нижний пределы           71
§ 3.8.   Критерий Коши существования предела.        76
§ 3.9.   Счетное множество.   Счетность множества рациональных чисел. Несчетность множества действительных чисел.  77
Глава  4.   Предел функции  80
§4.1.   Понятие предела функции         80
§ 4.2.   Непрерывность функции в точке         88
§ 4.3.   Пределы функции справа и слева. Монотонная функция  94
§ 4.4.       Функции, непрерывные на отрезке.       98
§ 4.5.       Обратная функция.      101
§ 4.6.       Показательная и логарифмическая функции      104
§ 4.7.       Степенная функция х          109
§ 4.8.       Еще о числе е      ПО
§ 4.9.        lim ^      111
§ 4.10.     Порядок переменной, эквивалентность (асимптотика)      112
Глава   5.    Дифференциальное исчисление для функций одной переменной.      117
§ 5.1.       Производная      117
§ 5.2.      Дифференциал функции . 121
§ 5.3.       Производная функции от функции . 124
§ 5.4.       Производная обратной функции      125
§ 5.5.       Таблица производных простейших элементарных функций .    128
§ 5.6.       Производные и дифференциалы высшего порядка . 129
§ 5.7 Возрастание и убывание функции на интервале и в точке. Локальный экстремум  133
§ 5.8.      Теоремы о среднем значении. Критерии возрастания и убывания функции на интервале. Достаточные критерии локальных экстремумов . 135
§ 5.9.       Формула Тейлора . 139
§ 5.10.           Формула Тейлора для важнейших элементарных функций .    146
§ 5.11.    Ряд Тейлора.      151
§ 5.12.     Выпуклость кривой в точке. Точка перегиба. . 155
§ 5.13.     Выпуклость кривой на отрезке.      157
§ 5.14.     Раскрытие неопределенностей . 159
§ 5.15.    Асимптота      163
§ 5.16.     Схема построения графика функции      166
§ 5.17.     Кусочно непрерывные и кусочно гладкие функции .      170
Глава  6.   n-мерное пространство. Геометрия кривой      172
§ 6.1.       гг-мерное пространство. Линейное множество . 172
§ 6.2 Евклидово гг-мерное пространство.   Пространство со скалярным произведением. 173
§ 6.3.       Линейное нормированное пространство  . 176
§ 6.4.       Вектор-функция в гг-мерном евклидовом пространстве  . 177
§ 6.5.       Непрерывная кривая. Гладкая кривая. . 179
§ 6.6.       Геометрический смысл производной вектор-функции.      183
§ 6.7.      Длина дуги кривой      184
§ 6.8.       Касательная. . 187
§ 6.9.       Основной триэдр кривой       188
§ 6.10.     Соприкасающаяся плоскость  . 191
§ 6.11.     Кривизна и радиус кривизны кривой      192
§ 6.12.   Эволюта  194
§ 6.13.   Формулы Френе. Свойства эволюты     196
Глава   7.   Дифференциальное исчисление функций многих переменных .     200
§ 7.1.     Открытое множество . 200
§ 7.2.     Предел функции.  202
§ 7.3.     Непрерывная функция . 206
§ 7.4.     Частные производные и производная по направлению .      210
§ 7.5.     Дифференцируемая функция. Касательная плоскость . . 211
§ 7.6.     Производная сложной функции. Производная по направлению.
Градиент.      215
§ 7.7.     Независимость от порядка дифференцирования      220
§ 7.8.     Дифференциал функции. Дифференциал высшего порядка .          222
§ 7.9.     Теорема Больцано-Вейерштрасса       226
§ 7.10.   Замкнутые и открытые множества     227
§ 7.11.   Функции на множестве.      Свойства непрерывных  функций на замкнутом ограниченном множестве . 229
§ 7.12.   Лемма о вложенных прямоугольниках и лемма Бореля. . 233
§7.13.    Формула Тейлора.      234
§ 7.14.   Локальный (абсолютный) экстремум функции  237
§ 7.15.   Теоремы существования неявной функции . 241
§ 7.16.   Теорема существования решения системы уравнений  247
§ 7.17.   Отображения . 251
§7.18.    Гладкая поверхность       255
§ 7.19.   Дифференциалы неявных функций. Линеаризация .     257
§ 7.20.   Локальный относительный экстремум     259
§ 7.21.   Замена переменных в частных производных  267
§ 7.22.   Система зависимых функций.     270
Глава  8.  Неопределенные интегралы. Алгебра многочленов                     272
§ 8.1.     Введение.   Методы замены переменной и интегрирования по частям  272
§ 8.2.     Комплексные числа . 278
§ 8.3.     Комплексные функции     283
§ 8.4.     Многочлены. . 285
§ 8.5.     Разложение рациональной функции на простейшие дроби .            288
§ 8.6.     Интегрирование рациональных дробей. . 293
§ 8.7.     Интегрирование алгебраических иррациональностей. . 294
§ 8.8.     Подстановки Эйлера . 295
§ 8.9.     Биномиальные дифференциалы. Теорема Чебышева     297
§ 8.10.   Интегрирование тригонометрических выражений.     298
§ 8.11.   Тригонометрические подстановки.  301
§ 8.12.   Несколько важных интералов, не выражаемых в элементарных
функциях      302
Глава  9.   Определенный интеграл Римана    303
§ 9.1.       Вступление    303
§ 9.2.       Ограниченность интегрируемой функции.  304
§ 9.3.      Суммы Дарбу . 305
§ 9.4.       Основная теорема  306
§ 9.5.       Теоремы о существовании интеграла от непрерывной и монотонной функции на [а, Ь]  .    309
§ 9.6.      Аддитивные и однородные свойства интеграла  310
§ 9.7.       Неравенства и теорема о среднем. . 312
§ 9.8.       Интеграл как функция верхнего предела.   Теорема Ньютона-Лейбница    314
§ 9.9.      Вторая теорема о среднем.    318
§ 9.10.     Видоизменение функции.  318
§ 9.11.     Несобственные интегралы    319
§ 9.12.     Несобственные интегралы от неотрицательных функций   323
§ 9.13.     Интегрирование по частям .    325
§ 9.14.     Несобственный интеграл и ряд   327
§9.15.     Несобственные интегралы с особенностями в нескольких точках   330
§ 9.16.     Формула Тейлора с отстатком в интегральной форме.  331
§ 9.17.     Формулы Валлиса и Стирлинга    332
Глава   10.   Некоторые приложения интегралов.  Приближенные методы   333
§ 10.1.     Площадь в полярных координатах   333
§ 10.2.     Объем тела вращения  334
§ 10.3.    Длина дуги гладкой кривой   335
§ 10.4.     Площадь поверхности тела вращения   337
§ 10.5.     Интерполяционный многочлен Лагранжа . 339
§ 10.6.     Квадратурные формулы прямоугольников.  340
§ 10.7.     Формула Симпсона.   341
Глава   11.   Ряды    343
§ 11.1.     Понятие ряда.    343
§ 11.2.    Действия с рядами    345
§ 11.3.     Ряды с неотрицательными членами. . 346
§ 11.4.     Ряд Лейбница . 350
§ 11.5.    Абсолютно сходящиеся ряды . 350
§ 11.6.    Условно и безусловно сходящиеся ряды с действительными членами  354
§ 11.7. Последовательности и ряды функций. Равномерная сходимость       356
§ 11.8.     Интегрирование и дифференцирование равномерно сходящихся рядов на отрезке .  362
§ 11.9. Кратные ряды. Перемножение абсолютно сходящихся рядов          368
§ 11.10.   Суммирование рядов и последовательностей методом средних
арифметических     371
§ 11.11.   Степенные ряды      372
§ 11.12.  Дифференцирование и интегрирование степенных рядов     377
§ 11.13.   Степенные ряды функций ez,   cosz,   smz комплексной переменной        380
Глава   12.   Кратные интегралы       383
§ 12.1.    Введение        383
§ 12.2.    Мера Жордана  385
§ 12.3.     Важные примеры квадрируемых по Жордану множеств  390
§ 12.4.     Еще один критерий измеримости множеств. Полярные координаты  . 392
§ 12.5.    Другие случаи измеримости.  393
§ 12.6.     Понятие кратного интеграла     394
§ 12.7.     Верхняя и нижняя интегральные суммы. Основная теорема  397
§ 12.8.     Интегрируемость непрерывной функции на замкнутом измеримом множестве. Другие критерии         403
§ 12.9.     Свойства кратных интегралов  . 404
§ 12.10.   Сведение кратного интеграла к интегрированию по отдельным
переменным     406
§ 12.11.   Непрерывность интеграла по параметру     412
§ 12.12.   Геометрическая интерпретация знака определителя     414
§12.13.   Замена переменных в кратном интеграле. Простейший случай         415
§ 12.14.   Замена переменных в кратном интеграле       417
§ 12.15.  Доказательство леммы 1 § 12.14.  420
§ 12.16.   Полярные координаты в плоскости . 424
§ 12.17.   Полярные и цилиндрические координаты в пространстве.      426
§ 12.18.   Гладкая поверхность       428
§ 12.19.   Площадь поверхности  431
Глава   13.   Теория поля. Дифференцирование и интегрирование по параметру. Несобственные интегралы     438
§ 13.1.     Криволинейный интеграл первого рода     438
§ 13.2.     Криволинейный интеграл второго рода     439
§ 13.3.     Поле потенциала . 442
§ 13.4.     Ориентация плоской области       450
§ 13.5.     Формула Грина.   Выражение площади через криволинейный
интеграл . 451
§ 13.6.     Интеграл по поверхности первого рода . 454
§ 13.7.     Ориентация поверхностей       457
§ 13.8.     Интеграл по ориентированной плоской области  461
§ 13.9.     Поток вектора через ориентированную поверхность     463
§ 13.10.  Дивергенция. Теорема Гаусса-Остроградского.     466
§ 13.11.   Ротор вектора. Формула Стокса. . 472
§ 13.12.  Дифференцирование интеграла по параметру. . 476
§ 13.13.   Несобственный интеграл .      478
§ 13.14.   Равномерная сходимость несобственного интеграла      485
§ 13.15.   Равномерно сходящийся интеграл для неограниченной области 491
Глава   14.   Линейные нормированные пространства.   Ортогональные системы.      498
§ 14.1.     Пространство С непрерывных функций.     498
§ 14.2.     Пространства l! (L)        500
§ 14.3.     Пространство L2 (L2). . 504
§ 14.4.    Пространство Ь'р(П) (ЬР(П)) . 507
§ 14.5.     Полнота системы элементов в банаховом пространстве      507
§ 14.6.     Ортогональная система в пространстве со скалярным произведением .  507
§ 14.7.     Ортогонализация системы  515
§ 14.8.     Полнота системы функций в С, L2 (L2) и L   (L)  . 517
Глава   15.   Ряды Фурье. Приближение функций полиномами                    519
§ 15.1.     Предварительные сведения        519
§ 15.2.     Сумма Дирихле.      525
§ 15.3.     Формулы для остатка ряда Фурье.      527
§ 15.4.     Теоремы об осцилляции.  530
§ 15.5.     Критерий сходимости рядов Фурье. Полнота тригонометрической системы функций.       534
§ 15.6.     Комплексная форма записи ряда Фурье      541
§ 15.7.    Дифференцирование и интегрирование рядов Фурье . 544
§ 15.8.     Оценка остатка ряда Фурье.      546
§ 15.9.    Алгебраические многочлены. Многочлены Чебышева  548
§ 15.10.  Теорема Вейерштрасса      549
§ 15.11.  Многочлены Лежандра.      550
Глава   16.   Интеграл Фурье. Обобщенные функции. . 553
§ 16.1.     Понятие интеграла Фурье        553
§ 16.2.     Сходимость простого интеграла Фурье к порождающей его
функции.       556
§ 16.3.     Преобразование Фурье. Повторный интеграл Фурье. Косинус-и синус-преобразования Фурье.      558
§ 16.4.     Производная преобразования Фурье . 562
§ 16.5.     Обобщенные функции в смысле D       563
§ 16.6.     Пространство S.      570
§ 16.7.     Пространство Sf обобщенных функций       574
Предметный указатель  583