Курс дифференциального и интегрального исчисления - В 3-х томах - том 3 - Фихтенгольц Г.М.

Название: Курс дифференциального и интегрального исчисления - В 3-х томах - том 3.
Автор: Фихтенгольц Г.М.
    Фундаментальный учебник по математическому анализу, выдержавший множество изданий и переведенный на ряд иностранных языков, отличается, с одной стороны, систематичностью и строгостью изложения, а с другой - простым языком, подробными пояснениями и многочисленными примерами, иллюстрирующими теорию. "Курс..." предназначен для студентов университетов, педагогических и технических ВУЗов и уже в течение длительного времени используется в различных учебных заведениях в качестве одного из основных учебных пособий. Он позволяет учащемуся не только овладеть теоретическим материалом, но и получить наиболее важные практические навыки. "Курс..." высоко ценится математиками как уникальная коллекция различных фактов анализа, часть которых невозможно найти в других книгах на русском языке. Первое издание вышло в 1948 г.
    Криволинейные интегралы первого типа
Определение  криволинейного   интеграла   первого   типа.
Для того чтобы естественным путем прийти к этому новому понятию, рассмотрим одну механическую задачу, которая к нему приводит.
Пусть на плоскости дана непрерывная простая спрямляемая кривая (К) (рис. 1), вдоль которой расположены массы, причем известна их линейная плотность р(М) во всех точках М кривой. Требуется определить массу m всей кривой (К).
СОДЕРЖАНИЕ
ГЛАВА ПЯТНАДЦАТАЯ. КРИВОЛИНЕЙНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ. ИНТЕГРАЛ СТИЛТЬЕСА
§ 1. Криволинейные интегралы первого типа 11
543. Определение криволинейного интеграла первого типа 11
544. Сведение к обыкновенному определенному интегралу 13
545. Примеры 15
§ 2. Криволинейные интегралы второго типа 20
546. Определение криволинейных интегралов второго типа 20
547. Существование и вычисление криволинейного интеграла второго типа
548. Случай замкнутого контура. Ориентация плоскости 25
549. Примеры 27
550. Приближение с помощью интеграла, взятого по ломаной 30
551. Вычисление площадей с помощью криволинейных интегралов 32
552. Примеры 35
553. Связь между криволинейными интегралами обоих типов 38
554. Физические задачи 40 § 3. Условия независимости криволинейного интеграла от пути 45
555. Постановка задачи, связь с вопросом о точном дифференциале 45
556. Дифференцирование интеграла, не зависящего от пути 46
557. Вычисление криволинейного интеграла через первообразную 49
558. Признак точного дифференциала и нахождение первообразной в случае прямоугольной области
559. Обобщение на случай произвольной области 52
560. Окончательные результаты 55
561. Интегралы по замкнутому контуру 56
562. Случай неодносвязной области или наличия особых точек 57
563. Интеграл Гаусса 62
564. Трехмерный случай 64
565. Примеры 67
566. Приложение к физическим задачам 71
§ 4. Функции с ограниченным изменением 74
567. Определение функции с ограниченным изменением 74
568. Классы функций с ограниченным изменением 76
569. Свойства функций с ограниченным изменением 79
570. Критерии для функций с ограниченным изменением 82
571. Непрерывные функции с ограниченным изменением 84
572. Спрямляемые кривые 87
§ 5. Интеграл Стилтьеса 89
573. Определение интеграла Стилтьеса 89
574. Общие условия существования интеграла Стилтьеса 91
575. Классы случаев существования интеграла Стилтьеса 92
576. Свойства интеграла Стилтьеса 95
577. Интегрирование по частям 97
578. Приведение интеграла Стилтьеса к интегралу Римана 98
579. Вычисление интегралов Стилтьеса 100
580. Примеры 104
581. Геометрическая иллюстрация интеграла Стилтьеса 111
582. Теорема о среднем, оценки 112
583. Предельный переход под знаком интеграла Стилтьеса 114
584. Примеры и дополнения 115
585. Сведение криволинейного интеграла второго типа к интегралу Стилтьеса
ГЛАВА ШЕСТНАДЦАТАЯ. ДВОЙНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ
§ 1. Определение и простейшие свойства двойного интеграла 122
586. Задача об объеме цилиндрического бруса 122
587. Сведение двойного интеграла к повторному 123
588. Определение двойного интеграла 125
589. Условия существования двойного интеграла 127
590. Классы интегрируемых функций 128
591. Нижний и верхний интегралы как пределы 130
592. Свойства интегрируемых функций и двойных интегралов 131
593. Интеграл, как аддитивная функция области; дифференцирование по области
§ 2. Вычисление двойного интеграла 137
594. Приведение двойного интеграла к повторному в случае прямоугольной области
595. Примеры 141
596. Приведение двойного интеграла к повторному в случае криволинейной области
597. Примеры 152
598. Механические приложения 165
599. Примеры 167
§ 3. Формула Грина 174
600. Вывод формулы Грина 174
601. Приложение формулы Грина к исследованию криволинейных интегралов
602. Примеры и дополнения 179
§ 4. Замена переменных в двойном интеграле 182
603. Преобразование плоских областей 182
604. Примеры 184
605. Выражение площади в криволинейных координатах 189
606. Дополнительные замечания 192
607. Геометрический вывод 194
608. Примеры 196
609. Замена переменных в двойных интегралах 204
610. Аналогия с простым интегралом. Интеграл по ориентированной области
611. Примеры 207
§ 5. Несобственные двойные интегралы 214
612. Интегралы, распространенные на неограниченную область 214
613. Теорема об абсолютной сходимости несобственного двойного интеграла
614. Приведение двойного интеграла к повторному 219
615. Интегралы от неограниченных функций 221
616. Замена переменных в несобственных интегралах 223
617. Примеры 225
ГЛАВА СЕМНАДЦАТАЯ. ПЛОЩАДЬ ПОВЕРХНОСТИ. ПОВЕРХНОСТНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ
§ 1. Двусторонние поверхности 241
618. Сторона поверхности 241
617. Примеры 243
620. Ориентация поверхностей и пространства 244
621. Выбор знака в формулах для направляющих косинусов нормали 246
622. Случай кусочно-гладкой поверхности 247
§ 2. Площадь кривой поверхности 248
623. Пример Шварца 248
624. Определение площади кривой поверхности 251
625. Замечание 252
626. Существование площади поверхности и ее вычисление 253
627. Подход через вписанные многогранные поверхности 258
628. Особые случаи определения площади 259
629. Примеры 260
§ 3. Поверхностные интегралы первого типа 274
630. Определение поверхностного интеграла первого типа 274
631. Сведение к обыкновенному двойному интегралу 275
632. Механические приложения поверхностных интегралов первого типа 277
633. Примеры 279
§ 4. Поверхностные интегралы второго типа 285
634. Определение поверхностного интеграла второго типа 285
635. Простейшие частные случаи 287
636. Общий случай 290
637. Деталь доказательства 292
638. Выражение объема тела поверхностным интегралом 293
639. Формула Стокса 297
640. Примеры 299
641. Приложение формулы Стокса к исследованию криволинейных интегралов в пространстве
ГЛАВА ВОСЕМНАДЦАТАЯ. ТРОЙНЫЕ И МНОГОКРАТНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ
§ 1. Тройной интеграл и его вычисление 308
642. Задача о вычислении массы тела 308
643. Тройной интеграл и условия его существования 309
644. Свойства интегрируемых функций и тройных интегралов 310
645. Вычисление тройного интеграла, распространенного на параллелепипед
646. Вычисление тройного интеграла по любой области 314
647. Несобственные тройные интегралы 315
648. Примеры 316
649. Механические приложения 323
650. Примеры 325
§ 2. Формула Гаусса—Остроградского 333
651. Формула Остроградского 333
652. Приложение формулы Остроградского к исследованию поверхностных интегралов
653. Интеграл Гаусса 336
654. Примеры 338
§ 3. Замена переменных в тройных интегралах 342
655. Преобразование пространств и криволинейные координаты 342
656. Примеры 343
657. Выражение объема в криволинейных координатах 345
658. Дополнительные замечания 348
659. Геометрический вывод 349
660. Примеры 350
661. Замена переменных в тройных интегралах 358
662. Примеры 359
663. Притяжение со стороны тела и потенциал на внутреннюю точку 364
§ 4. Элементы векторного анализа 366
664. Скаляры и векторы 366
665. Скалярное и векторное поля 367
666. Градиент 368
667. Поток вектора через поверхность 370
668. Формула Остроградского. Дивергенция 371
669. Циркуляция вектора. Формула Стокса. Вихрь 372
670. Специальные поля 374
671. Обратная задача векторного анализа 378
672. Приложения 378
§ 5. Многократные интегралы 384
673. Задача о притяжении и потенциале двух тел 384
674. Объем n-мерного тела, n-кратный интеграл 386
675. Замена переменных в n-кратном интеграле 388
676. Примеры 391
ГЛАВА ДЕВЯТНАДЦАТАЯ. РЯДЫ ФУРЬЕ
§ 1.Введение 414
677. Периодические величины и гармонический анализ 414
678. Определение коэффициентов по методу Эйлера—Фурье 417
679. Ортогональные системы функций 419
680. Тригонометрическое интерполирование 424
§ 2. Разложение функций в ряд Фурье 427
681. Постановка вопроса. Интеграл Дирихле 427
682. Первая основная лемма 429
683. Принцип локализации 432
684. Признаки Дини и Липшица сходимости рядов Фурье 433
685. Вторая основная лемма 436
686. Признак Дирихле—Жордана 438
687. Случай непериодической функции 440
688. Случай произвольного промежутка 441
689. Разложения только по косинусам или только по синусам 442
690. Примеры 446
691. Разложение In Г(х) 461
§ 3. Дополнения 463
692. Ряды с убывающими коэффициентами 463
693. Суммирование тригонометрических рядов с помощью аналитических функций комплексной переменной
694. Примеры 472
695. Комплексная форма рядов Фурье 477
696. Сопряженный ряд 480
697. Кратные ряды Фурье 483
§ 4. Характер сходимости рядов Фурье 484
698. Некоторые дополнения к основным леммам 484
699. Признаки равномерной сходимости рядов Фурье 487
700. Поведение ряда Фурье вблизи точки разрыва; частный случай 490
701. Случай произвольной функции 495
702. Особенности рядов Фурье; предварительные замечания 497
703. Построение особенностей 500
§ 5. Оценка остатка в зависимости от дифференциальных свойств функции 502
704. Связь между коэффициентами Фурье функции и ее производных 502
705. Оценка частичной суммы в случае ограниченной функции 503
706. Оценка остатка в случае функции с ограниченной k-й производной 505
707. Случай функции, имеющей k-ю производную с ограниченным изменением
708. Влияние разрывов функции и ее производных на порядок малости коэффициентов Фурье
709. Случай функции, заданной в промежутке [0, к] 514
710. Метод выделения особенностей 516
§ 6. Интеграл Фурье 524
711. Интеграл Фурье как предельный случай ряда Фурье 524
712. Предварительные замечания 526
713. Достаточные признаки 527
714. Видоизменение основного предположения 529
715. Различные виды формулы Фурье 532
716. Преобразование Фурье 534
717. Некоторые свойства преобразований Фурье 537
718. Примеры и дополнения 538
719. Случай функции двух переменных 545
§ 7. Приложения 547
720. Выражение эксцентрической аномалии планеты через ее среднюю аномалию
721. Задача о колебании струны 549
722. Задача о распространении тепла в конечном стержне 553
723. Случай бесконечного стержня 557
724. Видоизменение предельных условий 559
725. Распространение тепла в круглой пластине 561
726. Практический гармонический анализ. Схема для двенадцати ординат
727. Примеры 565
728. Схема для двадцати четырех ординат 569
729. Примеры 570
730. Сопоставление приближенных и точных значений коэффициентов Фурье
ГЛАВА ДВАДЦАТАЯ. РЯДЫ ФУРЬЕ (продолжение)
§ 1. Операции над рядами Фурье. Полнота и замкнутость 574
731. Почленное интегрирование ряда Фурье 574
732. Почленное дифференцирование ряда Фурье 577
733. Полнота тригонометрической системы 578
734. Равномерная аппроксимация функций. Теоремы Вейерштрасса 580
735. Аппроксимация функций в среднем. Экстремальные свойства отрезков ряда Фурье
736. Замкнутость тригонометрической системы. Теорема Ляпунова 586
737. Обобщенное уравнение замкнутости 589
738. Умножение рядов Фурье 592
739. Некоторые приложения уравнения замкнутости 593
§ 2. Применение методов обобщенного суммирования к рядам Фурье 599
740. Основная лемма 599
741. Суммирование рядов Фурье по методу Пуассона—Абеля 601
742. Решение задачи Дирихле для круга 605
743. Суммирование рядов Фурье по методу Чезаро—Фейера 607
744. Некоторые приложения обобщенного суммирования рядов Фурье 609
745. Почленное дифференцирование рядов Фурье 611
§ 3. Единственность тригонометрического разложения функции 613
746. Вспомогательные предложения об обобщенных производных 613
747. Риманов метод суммирования тригонометрических рядов 616
748. Лемма о коэффициентах сходящегося ряда 620
749. Единственность тригонометричеекого разложения 621
750. Заключительные теоремы о рядах Фурье 623
751. Обобщение 626
ДОПОЛНЕНИЕ. ОБЩАЯ ТОЧКА ЗРЕНИЯ НА ПРЕДЕЛ
752. Различные виды пределов, встречающиеся в анализе 631
753. Упорядоченные множества (в собственном смысле) 632
754. Упорядоченные множества (в обобщенном смысле) 633
755. Упорядоченная переменная и ее предел 636
756. Примеры 637
757. Замечание о пределе функции 639
758. Распространение теории пределов 640
759. Одинаково упорядоченные переменные 643
760. Упорядочение с помощью числового параметра 644
761. Сведение к варианте 645
762. Наибольший и наименьший пределы упорядоченной переменной 647