Курс дифференциального и интегрального исчисления - В 3-х томах - том 2 - Фихтенгольц Г.М.

Название: Курс дифференциального и интегрального исчисления - В 3-х томах - том 2.
Автор: Фихтенгольц Г.М.
    Фундаментальный учебник по математическому анализу, выдержавший множество изданий и переведенный на ряд иностранных языков, отличается, с одной стороны, систематичностью и строгостью изложения, а с другой - простым языком, подробными пояснениями и многочисленными примерами, иллюстрирующими теорию. "Курс..." предназначен для студентов университетов, педагогических и технических ВУЗов и уже в течение длительного времени используется в различных учебных заведениях в качестве одного из основных учебных пособий. Он позволяет учащемуся не только овладеть теоретическим материалом, но и получить наиболее важные практические навыки. "Курс..." высоко ценится математиками как уникальная коллекция различных фактов анализа, часть которых невозможно найти в других книгах на русском языке. Первое издание вышло в 1948 г.
    Неопределенный интеграл и простейшие приемы его вычисления
Понятие первообразной функции (и неопределенного интеграла).
Во многих вопросах науки и техники приходится не по заданной функции искать ее производную, а наоборот - восстанавливать функцию по известной ее производной.
СОДЕРЖАНИЕ
ГЛАВА ВОСЬМАЯ. ПЕРВООБРАЗНАЯ ФУНКЦИЯ (НЕОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ)
§ 1. Неопределенный интеграл и простейшие приемы его вычисления 11
263. Понятие первообразной функции (и неопределенного интеграла) 11
264. Интеграл и задача об определении площади 14
265. Таблица основных интегралов 17
266. Простейшие правила интегрирования 18
267. Примеры 19
268. Интегрирование путем замены переменной 23
269. Примеры 27
270. Интегрирование по частям 31
271. Примеры 32
§ 2. Интегрирование рациональных выражений 36
272. Постановка задачи интегрирования в конечном виде 36
273. Простые дроби и их интегрирование 37
274. Разложение правильных дробей на простые 38
275. Определение коэффициентов. Интегрирование правильных дробей 42
276. Выделение рациональной части интеграла 43
277. Примеры 47
§ 3. Интегрирование некоторых выражений, содержащих радикалы 50
278. Интегрирование выражений вида R .ух + 8
279. Интегрирование биномиальных дифференциалов. Примеры 51
280. Формулы приведения 54
281. Интегрирование выражений вида К\х,л1ах2 + Ьх + с). Подстановки -^ Эйлера
282. Геометрическая трактовка эйлеровых подстановок 59
283. Примеры 60
284. Другие приемы вычисления 66
285. Примеры 72
§ 4. Интегрирование выражений, содержащих тригонометрические и показательную функции 74
286. Интегрирование дифференциалов i?(sin x, cos x) дх 74
287. Интегрирование выражений sinv xcosto 76
288. Примеры 78
289. Обзор других случаев 83 § 5. Эллиптические интегралы 84
290. Общие замечания и определения 84
291. Вспомогательные преобразования 86
292. Приведение к канонической форме 88
293. Эллиптические интегралы 1-го, 2-го и 3-го рода 90
ГЛАВА ДЕВЯТАЯ. ОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ
§ 1. Определение и условия существования определенного интеграла 94
294. Другой подход к задаче о площади 94
295. Определение 96
296. Суммы Дарбу 97
297. Условие существования интеграла 100
298. Классы интегрируемых функций 101
299. Свойства интегрируемых функций 103
300. Примеры и дополнения 105
301. Нижний и верхний интегралы как пределы 106
§ 2. Свойства определенных интегралов 108
302. Интеграл по ориентированному промежутку 108
303. Свойства, выражаемые равенствами 109
304. Свойства, выражаемые неравенствами 110
305. Определенный интеграл как функция верхнего предела 115
306. Вторая теорема о среднем значении 117
§ 3. Вычисление и преобразование определенных интегралов 120
307. Вычисление с помощью интегральных сумм 120
308. Основная формула интегрального исчисления 123
309. Примеры 125
310. Другой вывод основной формулы 128
311. Формулы приведения 130
312. Примеры 131
313. Формула замены переменной в определенном интеграле 134
314. Примеры 135
315. Формула Гаусса. Преобразование Ландена 141
316. Другой вывод формулы замены переменной 143
§ 4. Некоторые приложения определенных интегралов 145
317. Формула Валлиса 145
318. Формула Тейлора с дополнительным членом 146
319. Трансцендентность числа е 146
320. Многочлены Лежандра 148
321. Интегральные неравенства 151
§ 5. Приближенное вычисление интегралов 153
322. Постановка задачи. Формулы прямоугольников и трапеций 153
323. Параболическое интерполирование 156
324. Дробление промежутка интегрирования 158
325. Дополнительный член формулы прямоугольников 159
326. Дополнительный член формулы трапеций 161
327. Дополнительный член формулы Симпсона 162
328. Примеры 164
ГЛАВА ДЕСЯТАЯ. ПРИЛОЖЕНИЯ ИНТЕГРАЛЬНОГО ИСЧИСЛЕНИЯ К ГЕОМЕТРИИ, МЕХАНИКЕ И ФИЗИКЕ
§ 1. Длина кривой 169
329. Вычисление длины кривой 169
330. Другой подход к определению понятия длины кривой и ее вычислению
331. Примеры 174
332. Натуральное уравнение плоской кривой 180
333. Примеры 183
334. Длина дуги пространственной кривой 185
§ 2. Площади и объемы 186
335. Определение понятия площади. Свойство аддитивности 186
336. Площадь как предел 188
337. Классы квадрируемых областей 190
338. Выражение площади интегралом 192
339. Примеры 195
340. Определение понятия объема. Его свойства 202
341. Классы тел, имеющих объемы 204
342. Выражение объема интегралом 205
343. Примеры 208
344. Площадь поверхности вращения 214
345. Примеры 217
346. Площадь цилиндрической поверхности 220
347. Примеры 222
§ 3. Вычисление механических и физических величин 225
348. Схема применения определенного интеграла 225
349. Нахождение статических моментов и центра тяжести кривой 228
350. Примеры 229
351. Нахождение статических моментов и центра тяжести плоской фигуры
352. Примеры 232
353. Механическая работа 233
354. Примеры 235
355. Работа силы трения в плоской пяте 237
356. Задачи на суммирование бесконечно малых элементов 239
§ 4. Простейшие дифференциальные уравнения 244
357. Основные понятия. Уравнения первого порядка 244
358. Уравнения первой степени относительно производной. Отделение переменных
359. Задачи 247
360. Замечания о составлении дифференциальных уравнений 253
361. Задачи 254
ГЛАВА ОДИННАДЦАТАЯ. БЕСКОНЕЧНЫЕ РЯДЫ С ПОСТОЯННЫМИ ЧЛЕНАМИ
§ 1. Введение 257
362. Основные понятия 257
363. Примеры 258
364. Основные теоремы 260
§ 2. Сходимость положительных рядов 262
365. Условие сходимости положительного ряда 262
366. Теоремы сравнения рядов 264
367. Примеры 266
368. Признаки Коши и Даламбера 270
369. Признак Раабе 272
370. Примеры 274
371. Признак Куммера 277
372. Признак Гаусса 279
373. Интегральный признак Маклорена—Коши 281
374. Признак Ермакова 285
375. Дополнения 287
§ 3. Сходимость произвольных рядов 293
376. Общее условие сходимости ряда 293
377. Абсолютная сходимость 294
378. Примеры 296
379. Степенной ряд, его промежуток сходимости 298
380. Выражение радиуса сходимости через коэффициенты 300
381. Знакопеременные ряды 3 02
382. Примеры 303
383. Преобразование Абеля 305
384. Признаки Абеля и Дирихле 307
385. Примеры 308
§ 4. Свойства сходящихся рядов 313
386. Сочетательное свойство 313
387. Переместительное свойство абсолютно сходящихся рядов 315
388. Случай неабсолютно сходящихся рядов 316
389. Умножение рядов 320
390. Примеры 323
391. Общая теорема из теории пределов 325
392. Дальнейшие теоремы об умножении рядов 327
§ 5. Повторные и двойные ряды 329
393. Повторные ряды 329
394. Двойные ряды 333
395. Примеры 338
396. Степенной ряд с двумя переменными; область сходимости 346
397. Примеры 348
398. Кратные ряды 350
§ 6. Бесконечные произведения 350
399. Основные понятия 350
400. Примеры 351
401. Основные теоремы. Связь с рядами 353
402. Примеры 356
§ 7. Разложения элементарных функций 364
403. Разложение функции в степенной ряд; ряд Тейлора 364
404. Разложение в ряд показательной, основных тригонометрических функций и др.
405. Логарифмический ряд 368
406. Формула Стерлинга 369
407. Биномиальный ряд 371
408. Разложение синуса и косинуса в бесконечные произведения 374
§ 8. Приближенные вычисления с помощью рядов. Преобразование рядов 378
409. Общие замечания 378
410. Вычисление числа к 379
411. Вычисление логарифмов 381
412. Вычисление корней 383
413. Преобразование рядов по Эйлеру 3 84
414. Примеры 386
415. Преобразование Куммера 388
416. Преобразование Маркова 392
§ 9. Суммирование расходящихся рядов 394
417. Введение 394
418. Метод степенных рядов 396
419.Теорема Тау бера 398
420. Метод средних арифметических 401
421. Взаимоотношение между методами Пуассона—Абеля и Чезаро 403
422. Теорема Харди—Ландау 405
423. Применение обобщенного суммирования к умножению рядов 407
424. Другие методы обобщенного суммирования рядов 408
425. Примеры 413
426. Общий класс линейных регулярных методов суммирования 416
ГЛАВА ДВЕНАДЦАТАЯ. ФУНКЦИОНАЛЬНЫЕ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТИ И РЯДЫ
§ 1. Равномерная сходимость 419
427. Вводные замечания 419
428. Равномерная и неравномерная сходимости 421
429. Условие равномерной сходимости 425
430. Признаки равномерной сходимости рядов 427
§ 2. Функциональные свойства суммы ряда 430
431. Непрерывность суммы ряда 430
432. Замечание о квази-равномерной сходимости 432
433. Почленный переход к пределу 434
434. Почленное интегрирование рядов 436
435. Почленное дифференцирование рядов 438
436. Точка зрения последовательности 441
437. Непрерывность суммы степенного ряда 444
438. Интегрирование и дифференцирование степенных рядов 447
§ 3. Приложения 450
439. Примеры на непрерывность суммы ряда и на почленный переход к пределу
440. Примеры на почленное интегрирование рядов 457
441. Примеры на почленное дифференцирование рядов 468
442. Метод последовательных приближений в теории неявных функций 474
443. Аналитическое определение тригонометрических функций 477
444. Пример непрерывной функции без производной 479
§ 4. Дополнительные сведения о степенных рядах 481
445. Действия над степенными рядами 481
446. Подстановка ряда в ряд 485
447. Примеры 487
448. Деление степенных рядов 492
449. Числа Бернулли и разложения, в которых они встречаются 494
450. Решение уравнений рядами 498
451. Обращение степенного ряда 502
452. Ряд Лагранжа 505
§ 5. Элементарные функции комплексной переменной 508
453. Комплексные числа 508
454. Комплексная варианта и ее предел 511
455. Функции комплексной переменной 513
456. Степенные ряды 515
457. Показательная функция 518
458. Логарифмическая функция 520
459. Тригонометрические функции и им обратные 522
460. Степенная функция 526
461. Примеры 527
§ 6. Обвертывающие и асимптотические ряды. Формула Эйлера—Маклорена 531
462. Примеры 531
463. Определения 533
464. Основные свойства асимптотических разложений 536
465. Вывод формулы Эйлера—Маклорена 540
466. Исследование дополнительного члена 542
467. Примеры вычислений с помощью формулы Эйлера—Маклорена 544
468. Другой вид формулы Эйлера—Маклорена 547
469. Формула и ряд Стерлинга 550
ГЛАВА ТРИНАДЦАТАЯ. НЕСОБСТВЕННЫЕ ИНТЕГРАЛЫ
§ 1. Несобственные интегралы с бесконечными пределами 552
470. Определение интегралов с бесконечными пределами 552
471. Применение основной формулы интегрального исчисления 554
472. Примеры 555
473. Аналогия с рядами. Простейшие теоремы 558
474. Сходимость интеграла в случае положительной функции 559
475. Сходимость интеграла в общем случае 561
476. Признаки Абеля и Дирихле 563
477. Приведение несобственного интеграла к бесконечному ряду 566
478. Примеры 569
§ 2. Несобственные интегралы от неограниченных функций 577
479. Определение интегралов от неограниченных функций 577
480. Замечание относительно особых точек 581
481. Применение основной формулы интегрального исчисления. Примеры
482. Условия и признаки существования интеграла 584
483. Примеры 587
484. Главные значения несобственных интегралов 590
485. Замечание об обобщенных значениях расходящихся интегралов 595
§ 3. Свойства и преобразование несобственных интегралов 597
486. Простейшие свойства 597
487. Теоремы о среднем значении 600
488. Интегрирование по частям в случае несобственных интегралов 602
489. Примеры 602
490. Замена переменных в несобственных интегралах 604
491. Примеры 605
§ 4. Особые приемы вычисления несобственных интегралов 611
492. Некоторые замечательные интегралы 611
493. Вычисление несобственных интегралов с помощью интегральных сумм. Случай интегралов с конечными пределами
494. Случай интегралов с бесконечным пределом 617
495. Интегралы Фруллани 621
496. Интегралы от рациональных функций между бесконечными пределами
497. Смешанные примеры и упражнения 629
§ 5. Приближенное вычисление несобственных интегралов 641
498. Интегралы с конечными пределами; выделение особенностей 641
499. Примеры 642
500. Замечание по поводу приближенного вычисления собственных интегралов
501. Приближенное вычисление несобственных интегралов с бесконечным пределом
502. Использование асимптотических разложений 650
ГЛАВА ЧЕТЫРНАДЦАТАЯ. ИНТЕГРАЛЫ, ЗАВИСЯЩИЕ ОТ ПАРАМЕТРА
§ 1. Элементарная теория 654
503. Постановка задачи 654
504. Равномерное стремление к предельной функции 654
505. Перестановка двух предельных переходов 657
506. Предельный переход под знаком интеграла 659
507. Дифференцирование под знаком интеграла 661
508. Интегрирование под знаком интеграла 663
509. Случай, когда и пределы интеграла зависят от параметра 665
510. Введение множителя, зависящего лишь от х 668
511. Примеры 669
512. Гауссово доказательство основной теоремы алгебры 680
§ 2. Равномерная сходимость интегралов 682
513. Определение равномерной сходимости интегралов 682
514. Условие равномерной сходимости. Связь с рядами 684
515. Достаточные признаки равномерной сходимости 684
516. Другой случай равномерной сходимости 687
517. Примеры 689
§ 3. Использование равномерной сходимости интегралов 694
518. Предельный переход под знаком интеграла 694
519. Примеры 697
520. Непрерывность и дифференцируемость интеграла по параметру 710
521. Интегрирование интеграла по параметру 714
522. Применение к вычислению некоторых интегралов 717
523. Примеры на дифференцирование под знаком интеграла 723
524. Примеры на интегрирование под знаком интеграла 733
§ 4. Дополнения 743
525. Лемма Арцела 743
526. Предельный переход под знаком интеграла 745
527. Дифференцирование под знаком интеграла 748
528. Интегрирование под знаком интеграла 749
§ 5. Эйлеровы интегралы 750
529. Эйлеров интеграл первого рода 750
530. Эйлеров интеграл второго рода 753
531. Простейшие свойства функции Г 754
532. Однозначное определение функции Г ее свойствами 760
533. Другая функциональная характеристика функции Г 762
534. Примеры 764
535. Логарифмическая производная функции Г 770
536. Теорема умножения для функции Г 772
537. Некоторые разложения в ряды и произведения 774
538. Примеры и дополнения 775
539. Вычисление некоторых определенных интегралов 782
540. Формула Стерлинга 789
541. Вычисление эйлеровой постоянной 792
542. Составление таблицы десятичных логарифмов функции Г 793
Алфавитный указатель 795
Алфавитный указатель