Курс дифференциального и интегрального исчисления - Фихтенгольц Г.М. - Том 2

Курс дифференциального и интегрального исчисления - Фихтенгольц Г.М. - Том 2 - 2003.
Фундаментальный учебник по математическому анализу, выдержавший множество изданий и переведенный на ряд иностранных языков, отличается, с одной стороны, систематичностью и строгостью изложения, а с другой - простым языком, подробными пояснениями и многочисленными примерами, иллюстрирующими теорию. "Курс..." предназначен для студентов университетов, педагогических и технических вузов и уже в течение длительного времени используется в различных учебных заведениях в качестве одного из основных учебных пособий. Он позволяет учащемуся не только овладеть теоретическим материалом, но и получить наиболее важные практические навыки. "Курс..." высоко ценится математиками как уникальная коллекция различных фактов анализа, часть которых невозможно найти в других книгах на русском языке. Первое издание вышло в 1948 г.

ОГЛАВЛЕНИЕ
Глава восьмая ПЕРВООБРАЗНАЯ ФУНКЦИЯ (НЕОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ)
§ 1 Неопределенный интеграл и простейшие приемы его вычисления
263 Понятие первообразной функции (и неопределенного интеграла) 11
264 Интеграл и задача об определении площади 15
265 Таблица основных интегралов 18
266 Простейшие правила интегрирования 20
267 Примеры 22
268 Интегрирование путем замены переменной 25
269 Примеры 29
270 Интегрирование по частям 33
271 Примеры 35
§ 2 Интегрирование рациональных выражений
272 Постановка задачи интегрирования в конечном виде 39
273 Простые дроби и их интегрирование 40
274 Разложение правильных дробей на простые 42
275 Определение коэффициентов Интегрирование правильных дробей 46
276 Выделение рациональной части интеграла 48
277 Примеры 52
§ 3 Интегрирование некоторых выражений, содержащих радикалы
278 Интегрирование выражений вида  Примеры 55
279 Интегрирование биномиальных дифференциалов Примеры 57
280 Формулы приведения 59
281 Интегрирование выражений вида  Подстановки Эйлера 62
282 Геометрическая трактовка эйлеровых подстановок 65
283 Примеры 66
284 Другие приемы вычисления 72
285 Примеры 79
§ 4 Интегрирование выражений, содержащих тригонометрические и показательную функции
286 Интегрирование дифференциалов R(sinх, cosх)dx 81
287 Интегрирование выражений sinvx•cos?x 84
288 Примеры 86
289 Обзор других случаев 90
§ 5 Эллиптические интегралы
290 Общие замечания и определения 92
291 Вспомогательные преобразования 94
292 Приведение к канонической форме 97
293 Эллиптические интегралы 1-го, 2-го и 3-го рода 99
Глава девятая ОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ
§ 1 Определение и условия существования определенного интеграла
294 Другой подход к задаче о площади 104
295 Определение 106
296 Суммы Дарбу 108
297 Условия существования интеграла 111
298 Классы интегрируемых функций 112
299 Свойства интегрируемых функций 114
300 Примеры и дополнения 116
301 Нижний и верхний интегралы как пределы 118
§ 2 Свойства определенных интегралов
302 Интеграл по ориентированному промежутку 120
303 Свойства, выражаемые равенствами 121
304 Свойства, выражаемые неравенствами 123
305 Определенный интеграл как функция верхнего предела 127
306 Вторая теорема о среднем значении 130
§ 3 Вычисление и преобразование определенных интегралов
307 Вычисление с помощью интегральных сумм 133
308 Основная формула интегрального исчисления 136
309 Примеры 138
310 Другой вывод основной формулы 142
311 Формулы приведения 143
312 Примеры 144
313 Формула замены переменной в определенном интеграле 148
314 Примеры 149
315 Формула Гаусса Преобразование Ландена 155
316 Другой вывод формулы замены переменной 157
§ 4 Некоторые приложения определенных интегралов
317 Формула Валлиса 159
318 Формула Тейлора с дополнительным членом 160
319 Трансцендентность числа е 161
320 Многочлены Лежандра 163
321 Интегральные неравенства 166
§ 5 Приближенное вычисление интегралов
322 Постановка задачи Формулы прямоугольников и трапеций 169
323 Параболическое интерполирование 172
324 Дробление промежутка интегрирования 174
325 Дополнительный член формулы прямоугольников 175
326 Дополнительный член формулы трапеций 178
327 Дополнительный член формулы Симпсона 178
328 Примеры 181
Глава десятая
ПРИЛОЖЕНИЯ ИНТЕГРАЛЬНОГО ИСЧИСЛЕНИЯ К ГЕОМЕТРИИ,
МЕХАНИКЕ И ФИЗИКЕ
§ 1 Длина кривой
329 Вычисление длины кривой 186
330 Другой подход к определению понятия длины кривой и ее вычислению 188
331 Примеры 192
332 Натуральное уравнение плоской кривой 198
333 Примеры 202
334 Длина дуги пространственной кривой 204
§ 2 Площади и объемы
335 Определение понятия площади Свойство аддитивности 205
336 Площадь как предел 209
337 Классы квадрируемых областей 211
338 Выражение площади интегралом 213
339 Примеры 216
340 Определение понятия объема Его свойства 223
341 Классы тел, имеющих объемы 225
342 Выражение объема интегралом 227
343 Примеры 230
344 Площадь поверхности вращения 237
345 Примеры 240
346 Площадь цилиндрической поверхности 243
347 Примеры 245
§ 3 Вычисление механических и физических величин
348 Схема применения определенного интеграла 248
349 Нахождение статических моментов и центра тяжести кривой 251
350 Примеры 253
351 Нахождение статических моментов и центра тяжести
плоской фигуры 255
352 Примеры 256
353 Механическая работа 258
354 Примеры 260
355 Работа силы трения в плоской пяте 262
356 Задачи на суммирование бесконечно малых элементов 264
§ 4 Простейшие дифференциальные уравнения
357 Основные понятия Уравнения первого порядка 270
358 Уравнения первой степени относительно производной
Отделение переменных 271
359 Задачи 273
360 Замечания о составлении дифференциальных уравнений 279
361 Задачи 280
Глава одиннадцатая БЕСКОНЕЧНЫЕ РЯДЫ С ПОСТОЯННЫМИ ЧЛЕНАМИ
§ 1 Введение
362 Основные понятия 284
363 Примеры 285
364 Основные теоремы 287
§ 2 Сходимость положительных рядов
365 Условие сходимости положительного ряда 289
366 Теоремы сравнения рядов 292
367 Примеры 294
368 Признаки Коши и Даламбера 298
369 Признак Раабе 300
370 Примеры 302
371 Признак Куммера 305
372 Признак Гаусса 307
373 Интегральный признак Маклорена-Коши 309
374 Признак Ермакова 313
375 Дополнения 316
§ 3 Сходимость произвольных рядов
376 Общее условие сходимости ряда 322
377 Абсолютная сходимость 323
378 Примеры 325
379 Степенной ряд, его промежуток сходимости 327
380 Выражение радиуса сходимости через коэффициенты 329
381 Знакопеременные ряды 330
382 Примеры 332
383 Преобразование Абеля 334
384 Признаки Абеля и Дирихле 336
385 Примеры 337
§ 4 Свойства сходящихся рядов
386 Сочетательное свойство 342
387 Переместительное свойство абсолютно сходящихся рядов 344
388 Случай неабсолютно сходящихся рядов 346
389 Умножение рядов 349
390 Примеры 352
391 Общая теорема из теории пределов 355
392 Дальнейшие теоремы об умножении рядов 357
§ 5 Повторные и двойные ряды
393 Повторные ряды 359
394 Двойные ряды 363
395 Примеры 369
396 Степенной ряд с двумя переменными; область сходимости 377
397 Примеры 380
398 Кратные ряды 382
§ 6 Бесконечные произведения
399 Основные понятия 382
400 Примеры 383
401 Основные теоремы Связь с рядами 385
402 Примеры 389
§ 7 Разложения элементарных функций
403 Разложение функции в степенной ряд; ряд Тейлора 396
404 Разложение в ряд показательной, основных тригонометрических функций и др 399
405 Логарифмический ряд 401
406 Формула Стирлинга 403
407 Биномиальный ряд 405
408 Разложение синуса и косинуса в бесконечные произведения 407
§ 8 Приближенные вычисления с помощью рядов Преобразование рядов
409 Общие замечания 411
410 Вычисление числа ? 412
411 Вычисление логарифмов 414
412 Вычисление корней 416
413 Преобразование рядов по Эйлеру 417
414 Примеры 419
415 Преобразование Куммера 422
416 Преобразование Маркова 425
§ 9 Суммирование расходящихся рядов
417 Введение 427
418 Метод степенных рядов 429
419 Теорема Таубера 432
420 Метод средних арифметических 435
421 Взаимоотношение между методами Пуассона-Абеля и Чезаро 436
422 Теорема Харди-Ландау 438
423 Применение обобщенного суммирования к умножению рядов 441
424 Другие методы обобщенного суммирования рядов 442
425 Примеры 447
426 Общий класс линейных регулярных методов суммирования 450
Глава двенадцатая ФУНКЦИОНАЛЬНЫЕ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТИ И РЯДЫ
§ 1 Равномерная сходимость
427 Вводные замечания 454
428 Равномерная и неравномерная сходимости 456
429 Условие равномерной сходимости 461
430 Признаки равномерной сходимости рядов 463
§ 2 Функциональные свойства суммы ряда
431 Непрерывность суммы ряда 466
432 Замечание о квазиравномерной сходимости 469
433 Почленный переход к пределу 471
434 Почленное интегрирование рядов 473
435 Почленное дифференцирование рядов 476
436 Точка зрения последовательности 479
437 Непрерывность суммы степенного ряда 482
438 Интегрирование и дифференцирование степенных рядов 486
§ 3 Приложения
439 Примеры на непрерывность суммы ряда и на почленный переход
к пределу 489
440 Примеры на почленное интегрирование рядов 496
441 Примеры на почленное дифференцирование рядов 507
442 Метод последовательных приближений в теории неявных функций 513
443 Аналитическое определение тригонометрических функций 515
444 Пример непрерывной функции без производной 518
§ 4 Дополнительные сведения о степенных рядах
445 Действия над степенными рядами 520
446 Подстановка ряда в ряд 524
447 Примеры 527
448 Деление степенных рядов 531
449 Числа Бернулли и разложения, в которых они встречаются 534
450 Решение уравнений рядами 539
451 Обращение степенного ряда 543
452 Ряд Лагранжа 545
§ 5 Элементарные функции комплексной переменной
453 Комплексные числа 549
454 Комплексная варианта и ее предел 552
455 Функции комплексной переменной 554
456 Степенные ряды 557
457 Показательная функция 560
458 Логарифмическая функция 562
459 Тригонометрические функции и им обратные 564
460 Степенная функция 568
461 Примеры 569
§ 6 Обвертывающие и асимптотические ряды Формула Эйлера-Маклорена
462 Примеры 574
463 Определения 577
464 Основные свойства асимптотических разложений 579
465 Вывод формулы Эйлера-Маклорена 583
466 Исследование дополнительного члена 586
467 Примеры вычислений с помощью формулы Эйлера-Маклорена 588
468 Другой вид формулы Эйлера-Маклорена 592
469 Формула и ряд Стирлинга 594
Глава тринадцатая НЕСОБСТВЕННЫЕ ИНТЕГРАЛЫ
§ 1 Несобственные интегралы с бесконечными пределами
470 Определение интегралов с бесконечными пределами 597
471 Применение основной формулы интегрального исчисления 599
472 Примеры 600
473 Аналогия с рядами Простейшие теоремы 603
474 Сходимость интеграла в случае положительной функции 605
475 Сходимость интеграла в общем случае 607
476 Признаки Абеля и Дирихле 609
477 Приведение несобственного интеграла к бесконечному ряду 612
478 Примеры 615
§ 2 Несобственные интегралы от неограниченных функций
479 Определение интегралов от неограниченных функций 623
480 Замечание относительно особых точек 627
481 Применение основной формулы интегрального исчисления Примеры 628
482 Условия и признаки существования интеграла 630
483 Примеры 634
484 Главные значения несобственных интегралов 637
485 Замечание об обобщенных значениях расходящихся интегралов 642
§ 3 Свойства и преобразование несобственных интегралов
486 Простейшие свойства 645
487 Теоремы о среднем значении 647
488 Интегрирование по частям в случае несобственных интегралов 649
489 Примеры 650
490 Замена переменных в несобственных интегралах 653
491 Примеры 654
§ 4 Особые приемы вычисления несобственных интегралов
492 Некоторые замечательные интегралы 659
493 Вычисление несобственных интегралов с помощью интегральных сумм Случай интегралов с конечными пределами 663
494 Случай интегралов с бесконечным пределом 666
495 Интегралы Фруллани 670
496 Интегралы от рациональных функций между бесконечными пределами 672
497 Смешанные примеры и упражнения 678
§ 5 Приближенное вычисление несобственных интегралов
498 Интегралы с конечными пределами; выделение особенностей 691
499 Примеры 692
500 Замечание по поводу приближенного вычисления собственных интегралов 696
501 Приближенное вычисление несобственных интегралов
с бесконечным пределом 697
502 Использование асимптотических разложений 700
Глава четырнадцатая ИНТЕГРАЛЫ, ЗАВИСЯЩИЕ ОТ ПАРАМЕТРА
§ 1 Элементарная теория
503 Постановка задачи 704
504 Равномерное стремление к предельной функции 705
505 Перестановка двух предельных переходов 708
506 Предельный переход под знаком интеграла 710
507 Дифференцирование под знаком интеграла 712
508 Интегрирование под знаком интеграла 715
509 Случай, когда и пределы интеграла зависят от параметра 717
510 Введение множителя, зависящего лишь от х 720
511 Примеры 722
512 Гауссово доказательство основной теоремы алгебры 733
§ 2 Равномерная сходимость интегралов
513 Определение равномерной сходимости интегралов 735
514 Условие равномерной сходимости Связь с рядами 736
515 Достаточные признаки равномерной сходимости 737
516 Другой случай равномерной сходимости 740
517 Примеры 742
§ 3 Использование равномерной сходимости интегралов
518 Предельный переход под знаком интеграла 747
519 Примеры 751
520 Непрерывность и дифференцируемость интеграла по параметру 765
521 Интегрирование интеграла по параметру 769
522 Применение к вычислению некоторых интегралов 772
523 Примеры на дифференцирование под знаком интеграла 779
524 Примеры на интегрирование под знаком интеграла 789
§ 4 Дополнения
525 Лемма Арцела 800
526 Предельный переход под знаком интеграла 802
527 Дифференцирование под знаком интеграла 806
528 Интегрирование под знаком интеграла 806
§ 5 Эйлеровы интегралы
529 Эйлеров интеграл первого рода 808
530 Эйлеров интеграл второго рода 811
531 Простейшие свойства функции Г 812
532 Однозначное определение функции Г ее свойствами 819
533 Другая функциональная характеристика функции Г 821
534 Примеры 823
535 Логарифмическая производная функции Г 830
536 Теорема умножения для функции Г 832
537 Некоторые разложения в ряды и произведения 834
538 Примеры и дополнения 835
539 Вычисление некоторых определенных интегралов 842
540 Формула Стирлинга 850
541 Вычисление эйлеровой постоянной 853
542 Составление таблицы десятичных логарифмов функции Г 854
Алфавитный указатель 856