Курс чистой математики - Харди Г.Х.

Название: Курс чистой математики. 1949.
Автор: Харди Г.Х.
    Книга выдающегося английского математика, профессора Кембриджского университета Годфри Гарольда Харди (1877--1947) содержит основные положения математического анализа, разобранные с исчерпывающей полнотой и всей необходимой математической строгостью. В нее также включено большое количество интересных задач и примеров, представляющих собой хороший материал для самостоятельной проработки важнейших положений анализа.
Рекомендуется математикам - преподавателям математического анализа и студентам первых курсов естественных ВУЗов.
    „Курс чистой математики" профессора Кэмбриджского университета Г. Харди) представляет интерес в первую очередь для лиц, ведущих преподавание математического анализа в высшей школе. Книга эта написана понятным и ясным языком и не содержит большого и сложного теоретического материала. В ней разобраны лишь, но зато с исчерпывающей полнотой и тщательностью, основные положения математического анализа, не выходящие за рамки довольно элементарных понятий.
Автор не ставил своей задачей систематическое изложение всего университетского курса математического анализа. Поэтому он умышленно обходит такие понятия как равномерная сходимость, кратные ряды, интегрирование и дифференцирование рядов и т. п. Однако те вопросы, которые включены в книгу, рассматриваются со всей необходимой математической строгостью.
СОДЕРЖАНИЕ
Из предисловия автора к первому изданию
Предисловие автора к седьмому изданию
Предисловие автора к девятому изданию
ГЛАВА I. ДЕЙСТВИТЕЛЬНЫЕ ПЕРЕМЕННЫЕ
1-2 Рациональные числа
3-7 Иррациональные числа
8 Действительные числа
9 Соотношения величины между действительными числами
10-11 Алгебраические действия над действительными числами
12 Число sqrt(2)
13-14 Квадратичные иррациональности
15 Континуум
16 Непрерывное действительное переменное
17 Сечения в области действительных чисел. Теорема Дедекинда
18 Точки накопления
19 Теорема Вейерштрасса
Разные примеры
ГЛАВА II. ФУНКЦИИ ДЕЙСТВИТЕЛЬНОГО ПЕРЕМЕННОГО
20 Понятие функции
21 Графическое представление функций. Координаты
22 Полярные координаты
23 Полиномы
24-25 Дробно-рациональные функции
26-27 Алгебраические функции
28-29 Трансцендентные функции
30 Графическое решение уравнений
31 Функции от двух переменных и их графическое представление
32 Кривые на плоскости
33 Геометрические места в пространстве
Разные примеры
ГЛАВА III. КОМПЛЕКСНЫЕ ЧИСЛА
34-38 Смещения
39-42 Комплексные числа
43 Квадратное уравнение с действительными коэффициентами
44 Диаграмма Аргана
45 Теорема Муавра
46 Рациональные функции комплексного переменного
47-49 Корни из комплексных чисел
Разные примеры
ГЛАВА IV. ПРЕДЕЛЫ ФУНКЦИЙ ПОЛОЖИТЕЛЬНОГО ЦЕЛОЧИСЛЕННОГО АРГУМЕНТА
50 Функции целочисленного положительного аргумента
51 Интерполяция
52 Конечные и бесконечные классы
53-57 Свойства, которыми обладают функции от n для больших значений n
58-61 Определение предела и другие определения
62 Колеблющиеся функции
63-68 Общие теоремы о пределах
69-70 Монотонно возрастающие или убывающие функции
71 Другое доказательство теоремы Вейерштрасса
72 Предел xn
73 Предел (1 + 1/n)n
74 Некоторые алгебраические леммы
75 Предел n(sqrtnx - 1)
76-77 Бесконечные ряды
78 Бесконечная геометрическая прогрессия
79 Представление функций от непрерывного действительного переменного с помощью пределов
80 Грани ограниченной совокупности
81 Грани ограниченной функции
82 Верхний и нижний пределы ограниченной функции
83-84 Общий признак сходимости
85-86 Пределы комплексно-значных функций и ряды с комплексными членами
87-88 Приложения к zn и к геометрической прогрессии
89 Символы О, о, tilde
Разные примеры
ГЛАВА V. ПРЕДЕЛЫ ФУНКЦИЙ НЕПРЕРЫВНЭГО ПЕРЕМЕННОГО. НЕПРЕРЫВНЫЕ И РАЗРЫВНЫЕ ФУНКЦИИ
90-92 Пределы при x --> oo или x --> --oo
93-97 Пределы при x --> a
98 Символы О и о, tilde: порядки малости и роста
99-100 Непрерывные функции действительного переменного
101-105 Свойства непрерывных функций. Ограниченные функции. Колебание функции в интервале
106-107 Системы интервалов на прямой. Теорема Гейне -- Бореля
108 Непрерывные функции нескольких переменных
109-110 Неявные и обратные функции
Разные примеры
ГЛАВА VI. ПРОИЗВОДНЫЕ И ИНТЕГРАЛЫ
111-113 Производные
114 Общие правила дифференцирования
115 Производные комплексно-значных функций
116 Обозначения дифференциального исчисления
117 Дифференцирование многочленов
118 Дифференцирование дробно-рациональных функций
119 Дифференцирование алгебраических функций
120 Дифференцирование трансцендентных функций
121 Повторное дифференцирование
122 Общие теоремы о производных. Теорема Ролля
123-125 Максимумы и минимумы
126-127 Теорема о среднем значении
128 Теорема Коши о среднем значении
129 Теорема Дарбу
130-131 Интегрирование. Логарифмическая функция
132 Интегрирование многочленов
133-134 Интегрирование дробно-рациональных функций
135-142 Интегрирование алгебраических функций. Интегрирование рационализацией. Интегрирование по частям
143-147 Интегрирование трансцендентных функций v
148 Площади фигур, ограниченных плоскими кривыми
149 Длины плоских кривых
Разные примеры
ГЛАВА VII. ДОПОЛНИТЕЛЬНЫЕ ТЕОРЕМЫ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОГО И ИНТЕГРАЛЬНОГО ИСЧИСЛЕНИЯ
150-151 Теорема Тейлора
152 Ряд Тейлора
153 Приложения теоремы Тейлора к теории максимумов и минимумов
154 Вычисление некоторых пределов
155 Касание плоских кривых
156-158 Дифференцирование функций нескольких переменных
159 Теорема о среднем для функций двух переменных
160 Дифференциалы
161-162 Определенные интегралы
163 Тригонометрические функции
164 Вычисление определенного интеграла как предела суммы
165 Общие свойства определенного интеграла
166 Интегрирование по частям и подстановкой
167 Другое доказательство теоремы Тейлора
168 Приложение к биномиальному ряду
169 Приближенные формулы для определенных интегралов. Правило Симпсона
170 Интегралы от комплексно-значных функций
Разные примеры
ГЛАВА VIII. СХОДИМОСТЬ БЕСКОНЕЧНЫХ РЯДОВ И НЕСОБСТВЕННЫХ ИНТЕГРАЛОВ
171-174 Ряды с положительными членами. Признаки сходимости Коши и Даламбера
175 Признаки, основанные на отношениях следующих друг за другом членов
176 Теорема Дирихле
177 Умножение рядов с положительными членами
178-180 Дальнейшие признаки сходимости. Теорема Абеля. Интегральный признак Маклорена
181 Ряды sum n--s
182 Признак сгущения Коши
183 Дальнейшие признаки, основанные на отношениях
184-189 Несобственные интегралы
190 Ряды, содержащие положительные и отрицательные члены.
191-192 Абсолютно сходящиеся ряды
193-194 Условно сходящиеся ряды
195 Знакочередующиеся ряды
196 Признаки сходимости Абеля и Дирихле
197 Ряды с комплексными членами
198-201 Степенные ряды
202 Умножение рядов
203 Абсолютно и условно сходящиеся несобственные интегралы
Разные примеры
ГЛАВА IX. ЛОГАРИФМИЧЕСКАЯ, ПОКАЗАТЕЛЬНАЯ И ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ ДЕЙСТВИТЕЛЬНОГО ПЕРЕМЕННОГО
204-205 Логарифмическая функция
206 Функциональное уравнение для ln x
207-209 Поведение ln x при x стремящемся к бесконечности или к нулю
210 Логарифмическая шкала порядков роста
211 Число e
212-213 Показательная функция
214 Общая показательная функция ax
215 Представление ex в виде предела
216 Представление ln x в виде предела
217 Обыкновенные логарифмы
218 Логарифмические признаки сходимости
219 Экспоненциальный ряд
220 Логарифмический ряд
221 Ряд для arc tg x
222 Биномиальный ряд
223 Другой способ развития теории показательной и логарифмической функций
224-226 Аналитическая теория тригонометрических функций
Разные примеры
ГЛАВА X. ОБЩАЯ ТЕОРИЯ ЛОГАРИФМИЧЕСКОЙ, ПОКАЗАТЕЛЬНОЙ И ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИХ ФУНКЦИЙ
227-228 Функции комплексного переменного
229 Криволинейные интегралы
230 Определение логарифмической функции
231 Значения логарифмической функции
232-234 Показательная функция
235-236 Общая показательная функция а
237-240 Тригонометрические и гиперболические функции
241 Связь между логарифмической и обратными тригонометрическими функциями
242 Экспоненциальный ряд
243 Ряды для cos z и sin z
244-245 Логарифмический ряд
246 Представление показательной функции в виде предела
247 Биномиальный ряд
Разные примеры
Приложение I. Неравенства Гельдера и Минковского
Приложение II. Доказательство того, что каждое алгебраическое уравнение имеет по крайней мере один корень
Приложение III. Замечание о двойных предельных переходах
Приложение IV. Бесконечное в анализе и в геометрии