Краткий курс высшей математики - Демидович Б.П., Кудрявцев В.А.

Название: Краткий курс высшей математики. 2001.
Автор: Демидович Б.П., Кудрявцев В.А.
Книга содержит четкое и ясное изложение курса высшей математики в относительно небольшом объеме. В ней имеется большое количество примеров и задач, решение которых помогает усвоению теоретического материала.
Это известное учебное пособие, завоевавшее заслуженную популярность широтой своего материала и доступностью изложения, принесет несомненную пользу для нового поколения читателей.
Пособие предназначено для студентов естественных (геологического, географического, биологического, химического и др.) факультетов университетов.
Пособие состоит из двадцати шести глав. Первые пять глав посвящены аналитической геометрии на плоскости и включают такие темы, как прямоугольные и полярные координаты, координатный метод описания кривых, прямые линии и кривые второго порядка. В следующих десяти главах излагаются основы классического математического анализа: функция, теория пределов, непрерывность функции, производная, дифференциал, неопределенный интеграл, определенный интеграл, приложения производной и определенного интеграла. Затем следуют главы, посвященные комплексным числам, определителям, векторной алгебре, главы с изложением основ аналитической геометрии в пространстве, теории функций от нескольких переменных, числовых и функциональных рядов, дифференциальных уравнений, а также главы, в которых рассматриваются криволинейные и кратные интегралы. Книга завершается главами, в которых приводятся сведения по теории вероятностей и линейному программированию, необходимые студентам ряда новых современных специальностей.
ОГЛАВЛЕНИЕ
Предисловие 3
Глава I. Прямоугольная система координат на плоскости и ее применение к простейшим задачам 4
§ 1. Прямоугольные координаты точки на плоскости 4
§ 2. Преобразование прямоугольной системы координат 6
§ 3. Расстояние между двумя точками на плоскости 8
§ 4. Деление отрезка в данном отношении 9
§ 5. Площадь треугольника 11
Упражнения 13
Глава II. Уравнение линии 15
§ 1. Множества 15
§ 2. Метод координат на плоскости 17
§ 3. Линия как множество точек 17
§ 4. Уравнение линии на плоскости 18
§ 5. Построение линии по ее уравнению 21
§ 6. Некоторые элементарные задачи 22
§ 7. Две основные задачи аналитической геометрии на плоскости 24
§ 8. Алгебраические линии 24
Упражнения 26
Глава III. Прямая линия 27
§ 1. Уравнение прямой 27
§ 2. Угол между двумя прямыми 29
§ 3. Уравнение прямой, проходящей через данную точку в данном направлении 32
§ 4. Уравнение прямой, проходящей через две данные точки 33
§ 5. Уравнение прямой в «отрезках» 34
§ 6. Точка пересечения двух прямых 35
§ 7. Расстояние от точки до прямой 37
Упражнения 38
Глава IV. Линии второго порядка 41
§ 1. Окружность 41
§ 2. Центральные кривые второго порядка 42
§ 3. Фокальные свойства центральных кривых второго порядка 46
§ 4. Эллипс как равномерная деформация окружности 48
§ 5. Асимптоты гиперболы 49
§ 6. График обратной пропорциональности 50
§ 7. Нецентральные кривые второго порядка 51
§ 8. Фокальное свойство параболы 52
§ 9. График квадратного трехчлена 53
Упражнения 55
Глава V. Полярные координаты. Параметрические уравнения линии 57
§ 1. Полярные координаты 57
§ 2. Связь между прямоугольными и полярными координатами 58
§ 3. Параметрические уравнения линии 59
§ 4. Параметрические уравнения циклоиды 61
Упражнения 62
Глава VI. Функция 04
§ 1. Величины постоянные и переменные 64
§ 2. Понятие функции 64
§ 3. Простейшие функциональные зависимости 68
§ 4. Способы задания функции 71
§ 5. Понятие функции от нескольких переменных 74
§ 6. Понятие неявной функции 75
§ 7. Понятие обратной функции 76
§ 8. Классификация функций одного аргумента 78
§ 9. Графики основных элементарных функций 79
§ 10. Интерполирование функций 88
Упражнения 93
Глава VII. Теория пределов 95
§ 1. Действительные числа 95
§ 2. Погрешности приближенных чисел 98
§ 3. Предел функции 103
§ 4. Односторонние пределы функции 109
§ 5. Предел последовательности 1 111
§ 6. Бесконечно малые 112
§ 7. Бесконечно большие 113
§ 8. Основные теоремы о бесконечно малых 114
§ 9. Основные теоремы о пределах 117
§ 10. Некоторые признаки существования предела функции 121
§ 11. Предел отношения синуса бесконечно малой дуги к самой дуге 123
§ 12. Число е 125
§ 13. Понятие о натуральных логарифмах 129
§ 14. Понятие об асимптотических формулах 130
Упражнения 132
Глава VIII. Непрерывность функции 133
§ 1. Приращения аргумента и функции. Непрерывность функции 133
§ 2. Другое определение непрерывности функции 137
§ 3. Непрерывность основных элементарных функций 138
§ 4. Основные теоремы о непрерывных функциях 139
§ 5. Раскрытие неопределенностей 141
§ 6. Классификация точек разрыва функции 142
Упражнения 143
Глава IX. Производная 144
§ 1. Задача о касательной 144
§ 2. Задача о скорости движения точки 146
§ 3. Общее определение производной 148
§ 4. Другие применения производной 151
§ 5. Зависимость между непрерывностью и дифференцируемостью функции 152
§ 6. Понятие о бесконечной производной 154
Упражнения 154
Глава X. Основные теоремы о производных 155
§ 1. Вводные замечания 155
§ 2. Производные от некоторых простейших функций 155
§ 3. Основные правила дифференцирования функций 159
§ 4. Производная сложной функции 165
§ 5. Производная обратной функции 167
§ 6. Производная неявной функции 168
§ 7. Производная логарифмической функции 170
§ 8. Понятие о логарифмической производной 172
§ 9. Производная показательной функции 172
§ 10. Производная степенной функции 174
§ 11. Производные обратных тригонометрических функций 174
§ 12. Производная функции, заданной параметрически 177
§ 13. Сводка формул дифференцирования 178
§ 14. Понятие о производных высших порядков 179
§ 15. Физическое значение производной второго порядка 179
Упражнения 180
Глава XI. Приложения производной 182
§ 1. Теорема о конечном приращении функции и ее следствия 182
§ 2. Возрастание и убывание функции одной переменной 184
§ 3. Понятие о правиле Лопиталя 187
§ 4. Формула Тейлора для многочлена 191
§ 5. Бином Ньютона 193
§ 6. Формула Тейлора для функции 194
§ 7. Экстремум функции одной переменной 195
§ 8. Вогнутость и выпуклость графика функции. Точки перегиба 203
§ 9. Приближенное решение уравнений 206
§ 10. Построение графиков функций 209
Упражнения 212
Глава XII. Дифференциал 214
§ 1. Понятие о дифференциале функции 214
§ 2. Связь дифференциала функции с производной. Дифференциал независимой переменной 216
§ 3. Геометрический смысл дифференциала 218
§ 4. Физическое значение дифференциала 219
§ 5. Приближенное вычисление малых приращений функции 220
§ 6. Эквивалентность приращения функции и дифференциала функции 221
§ 7. Свойства дифференциала 223
§ 8. Дифференциалы высших порядков 226
Упражнения 228
Глава XIII. Неопределенный интеграл 229
§ 1. Первообразная функция. Неопределенный интеграл 229
§ 2. Основные свойства неопределенного интеграла 232
§ 3. Таблица простейших неопределенных интегралов 234
§ 4. Независимость вида неопределенного интеграла от выбора аргумента 236
§ 5. Понятие об основных методах интегрирования 238
§ 6. Интегрирование рациональных дробей с квадратичным знаменателем 243
§ 7. Интегрирование простейших иррациональностей 246
§ 8. Интегрирование тригонометрических функций 248
§ 9. Интегрирование некоторых трансцендентных функций 250
§ 10. Теорема Коши. Понятие о «неберущихся» интегралах 250
Упражнения 251
Глава XIV. Определенный интеграл 253
§ 1. Понятие об определенном интеграле 253
§ 2. Определенный интеграл с переменным верхним пределом 255
§ 3. Геометрический смысл определенного интеграла 257
§ 4. Физический смысл определенного интеграла 259
§ 5. Основные свойства определенного интеграла 260
§ 6. Теорема о среднем 264
§ 7. Интегрирование по частям в определенном интеграле 266
§ 8. Замена переменной в определенном интеграле 266
§ 9. Определенный интеграл как предел интегральной суммы 268
§ 10. Понятие о приближенном вычислении определенных интегралов 271
§ 11. Формула Симпсона 273
§ 12. Несобственные интегралы. 275
Упражнения 277
Глава XV. Приложения определенного интеграла 278
§ 1. Площадь в прямоугольных координатах 278
§ 2. Площадь в полярных координатах 281
§ 3. Длина дуги в прямоугольных координатах 283
§ 4. Длина дуги в полярных координатах 288
§ 5. Вычисление объема тела по известным поперечным сечениям 289
§ 6. Объем тела вращения 291
§ 7. Работа переменной силы 293
§ 8. Другие физические приложения определенного интеграла 294
Упражнения 296
Глава XVL Комплексные числа 299
§ 1. Арифметические операции над комплексными числами 299
§ 2. Комплексная плоскость 300
§ 3. Теоремы о модуле и аргументе 302
§ 4. Извлечение корня из комплексного числа 303
§ 5. Понятие функции комплексной переменной 305
Упражнения 306
Глава XVII. Определители второго и третьего порядков 307
§ 1. Определители второго порядка 307
§ 2. Система двух однородных уравнений с тремя неизвестными 309
§ 3. Определители третьего порядка 311
§ 4. Основные свойства определителей 313
§ 5. Система трех линейных уравнений 316
§ 6. Однородная система трех линейных уравнений 318
§ 7. Система линейных уравнений с многими неизвестными. Метод Гаусса 319
Упражнения 322
Глава XVIII. Элементы векторной алгебры 324
§ 1. Скаляры и векторы 324
§ 2. Сумма векторов 325
§ 3. Разность векторов 326
§ 4. Умножение вектора на скаляр 326
§ 5. Коллинеарные векторы 327
§ 6. Компланарные векторы 328
§ 7. Проекция вектора на ось 329
§ 8. Прямоугольные декартовы координаты в пространстве 331
§ 9. Длина и направление вектора 333
§ 10. Расстояние между двумя точками пространства 334
§ 11. Действия над векторами, заданными в координатной форме 335
§ 12. Скалярное произведение векторов 336
§ 13. Скалярное произведение векторов в координатной форме 338
§ 14. Векторное произведение векторов 339
§ 15. Векторное произведение в координатной форме 341
§ 16. Смешанное произведение векторов 342
Упражнения 344
Глава XIX. Некоторые сведения из аналитической геометрии в пространстве 345
§ 1. Уравнения поверхности и линии в пространстве 345
§ 2. Общее уравнение плоскости 350
§ 3. Угол между плоскостями 353
§ 4. Уравнения прямой линии в пространстве 353
§ 5. Понятие о производной вектор-функции 357
§ 6. Уравнение сферы 359
§ 7. Уравнение эллипсоида 360
§ 8. Уравнение параболоида вращения 361
Упражнения 362
Глава XX. Функции нескольких переменных 364
§ 1. Понятие функции от нескольких переменных 364
§ 2. Непрерывность 367
§ 3. Частные производные первого порядка 369
§ 4. Полный дифференциал функции 371
§ 5. Применение дифференциала функции к приближенным вычислениям 377
§ 6. Понятие о производной функции по данному направлению 378
§ 7. Градиент 380
§ 8. Частные производные высших порядков 384
§ 9. Признак полного дифференциала 385
§ 10. Максимум и минимум функции нескольких переменных 387
§ 11. Абсолютный экстремум функции 389
§ 12. Построение эмпирических формул по способу наименьших квадратов 391
Упражнения 394
Глава XXI. Ряды 397
§ 1. Примеры бесконечных рядов 397
§ 2. Сходимость ряда 398
§ 3. Необходимый признак сходимости ряда 402
§ 4. Признак сравнения рядов 404
§ 5. Признак сходимости Даламбера 407
§ 6. Абсолютная сходимость 410
§ 7. Знакочередующиеся ряды. Признак сходимости Лейбница 412
§ 8. Степенные ряды 414
§ 9. Дифференцирование и интегрирование степенных рядов 416
§ 10. Разложение данной функции в степенной ряд 416
§ 11. Ряд Маклорена 418
§ 12. Применение ряда Маклорена к разложению в степенные ряды некоторых функций 419
§ 13. Применение степенных рядов к приближенным вычислениям 422
§ 14. Ряд Тейлора 425
§ 15. Ряды в комплексной области 427
§ 16. Формулы Эйлера 428
§ 17. Тригонометрические ряды Фурье 430
§ 18. Ряды Фурье четных и нечетных функций 438
§ 19. Понятие о рядах Фурье непериодических функций 440
Упражнения 444
Глава XXII. Дифференциальные уравнения 446
§ 1. Основные понятия 446
§ 2. Дифференциальные уравнения первого порядка 449
§ 3. Уравнения первого порядка с разделяющимися переменными 450
§ 4. Однородные дифференциальные уравнения первого порядка 456
§ 5. Линейные дифференциальные уравнения первого порядка 458
§ 6. Понятие о методе Эйлера 463
§ 7. Дифференциальные уравнения второго порядка 465
§ 8. Интегрируемые типы дифференциальных уравнений второго порядка 467
§ 9. Случаи понижения порядка дифференциальных уравнений 472
§ 10. Понятие об интегрировании дифференциальных уравнений с помощью степенных рядов дифференциальных уравнений 474
§ 11. Общие свойства решений линейных однородных дифференциальных уравнений второго порядка 475
§ 12. Линейные однородные дифференциальные уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами 478
§ 13. Линейные неоднородные дифференциальные уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами 482
§ 14. Понятие о дифференциальных уравнениях, содержащих частные производные 490
§ 15. Линейные дифференциальные уравнения с частными производными 494
§ 16. Вывод уравнения теплопроводности 495
§ 17. Задача о распределении температуры в ограниченном стержне 497
Упражнения 500
Глава XXIII. Криволинейные интегралы 502
§ 1. Криволинейный интеграл первого рода 502
§ 2. Криволинейный интеграл второго рода 504
§ 3. Физический смысл криволинейного интеграла второго рода 508
§ 4. Условие независимости криволинейного интеграла второго рода от вида пути интегрирования 509
§ 5. Работа потенциальной силы 511
Упражнения 513
Глава XXIV. Двойные и тройные интегралы 515
§ 1. Понятие двойного интеграла 515
§ 2. Двойной интеграл в прямоугольных декартовых координатах 519
§ 3. Двойной интеграл в полярных координатах 525
§ 4. Интеграл Эйлера—Пауссона 528
§ 5. Теорема о среднем 529
§ 6. Геометрические приложения двойного интеграла 531
§ 7. Физические приложения двойного интеграла 532
§ 8. Понятие о тройном интеграле 536
Упражнения 540
Глава XXV. Основы теории вероятностей 543
A. Основные определения и теоремы 543
§ 1. Случайные события 543
§ 2. Алгебра событий 545
§ 3. Классическое определение вероятности 546
§ 4. Статистическое определение вероятности 549
§ 5. Теорема сложения вероятностей 550
§ 6. Полная группа событий 552
§ 7. Теорема умножения вероятностей 552
§ 8. Формула полной вероятности 555
§ 9. Формула Бейеса 556
Б. Повторные независимые испытания 557
§ 10. Элементы комбинаторики 557
§ 11. Биномиальный закон распределения вероятностей 559
§ 12. Локальная теорема Лапласа 561
§ 13. Интегральная теорема Лапласа 562
§ 14. Теорема Пуассона - 566
B. Случайная величина и ее численные характеристики 567
§ 15. Случайная дискретная величина и ее закон распределения 567
§ 16. Математическое ожидание 569
§ 17. Основные свойства математического ожидания 570
§ 18. Дисперсия 573
§ 19. Непрерывные случайные величины. Функция распределения 578
§ 20. Числовые характеристики непрерывной случайной величины 581
§ 21. Равномерное распределение 583
§ 22. Нормальное распределение 584
Упражнения 588
Глава XXVI. Понятие о линейном программировании 590
§ 1. Векторное пространство п измерений 590
§ 2. Множество в /i-мерном пространстве 592
§ 3. Задача линейного программирования 596
Приложения 602
Важнейшие постоянные 602
Сводка формул 602
Ответы 628
Предметный указатель 639