Краткий курс высшей математики - Демидович Б.П, Кудрявцев В.А - Учебное пособие - 2001

Краткий курс высшей математики - Демидович Б.П, Кудрявцев В.А - Учебное пособие - 2001
   Книга содержит четкое и ясное изложение курса высшей математики в относительно небольшом объеме. В ней имеется большое количество примеров и задач, решение которых помогает усвоению теоретического материала.
   Это известное учебное пособие, завоевавшее заслуженную популярность широтой своего материала и доступностью изложения, принесет несомненную пользу для нового поколения читателей.
   Пособие предназначено для студентов естественных (геологического, географического, биологического, химического и др.) факультетов университетов.

ОГЛАВЛЕНИЕ
Предисловие
Глава I. Прямоугольная система координат на плоскости и ее применение к простейшим задачам
§ 1. Прямоугольные координаты точки на плоскости
§ 2. Преобразование прямоугольной системы координат
§ 3. Расстояние между двумя точками на плоскости
§ 4. Деление отрезка в данном отношении
§ 5. Площадь треугольника
Упражнения
Глава II. Уравнение линии
§ 1. Множества
§ 2. Метод координат на плоскости
§ 3. Линия как множество точек
§ 4. Уравнение линии на плоскости
§ 5. Построение линии по ее уравнению
§ 6. Некоторые элементарные задачи
§ 7. Две основные задачи аналитической геометрии на плоскости
§ 8. Алгебраические линии
Упражнения
Глава III. Прямая линия
§ 1. Уравнение прямой
§ 2. Угол между двумя прямыми
§ 3. Уравнение прямой, проходящей через данную точку в данном направлении
§ 4. Уравнение прямой, проходящей через две данные точки
§ 5. Уравнение прямой в «отрезках»
§ 6. Точка пересечения двух прямых
§ 7. Расстояние от точки до прямой
Упражнения
Глава IV. Линии второго порядка
§ 1. Окружность
§ 2. Центральные кривые второго порядка
§ 3. Фокальные свойства центральных кривых второго порядка
§ 4. Эллипс как равномерная деформация окружности
§ 5. Асимптоты гиперболы
§ 6. График обратной пропорциональности
§ 7. Нецентральные кривые второго порядка
§ 8. Фокальное свойство параболы
§ 9. График квадратного трехчлена
Упражнения
Глава V. Полярные координаты. Параметрические уравнения линии
§ 1. Полярные координаты
§ 2. Связь между прямоугольными и полярными координатами
§ 3. Параметрические уравнения линии
§ 4. Параметрические уравнения циклоиды
Упражнения
Глава VI. Функция
§ 1. Величины постоянные и переменные
§ 2. Понятие функции
§ 3. Простейшие функциональные зависимости
§ 4. Способы задания функции
§ 5. Понятие функции от нескольких переменных
§ 6. Понятие неявной функции
§ 7. Понятие обратной функции
§ 8. Классификация функций одного аргумента
§ 9. Графики основных элементарных функций
§ 10. Интерполирование функций
Упражнения
Глава VII. Теория пределов
§ 1. Действительные числа
§ 2. Погрешности приближенных чисел
§ 3. Предел функции
§ 4. Односторонние пределы функции
§ 5. Предел последовательности
§ 6. Бесконечно малые
§ 7. Бесконечно большие
§ 8. Основные теоремы о бесконечно малых
§ 9. Основные теоремы о пределах
§ 10. Некоторые признаки существования предела функции
§ 11. Предел отношения синуса бесконечно малой дуги к самой дуге
§ 12. Число е
§ 13. Понятие о натуральных логарифмах
§ 14. Понятие об асимптотических формулах
Упражнения
Глава VIII. Непрерывность функции
§ 1. Приращения аргумента и функции. Непрерывность функции
§ 2. Другое определение непрерывности функции
§ 3. Непрерывность основных элементарных функций
§ 4. Основные теоремы о непрерывных функциях
§ 5. Раскрытие неопределенностей
§ 6. Классификация точек разрыва функции
Упражнения
Глава IX. Производная
§ 1. Задача о касательной
§ 2. Задача о скорости движения точки
§ 3. Общее определение производной
§ 4. Другие применения производной
§ 5. Зависимость между непрерывностью и дифференцируемостью функции
§ 6. Понятие о бесконечной производной
Упражнения
Глава X. Основные теоремы о производных
§ 1. Вводные замечания
§ 2. Производные от некоторых простейших функций
§ 3. Основные правила дифференцирования функций
§ 4. Производная сложной функции
§ 5. Производная обратной функции
§ 6. Производная неявной функции
§ 7. Производная логарифмической функции
§ 8. Понятие о логарифмической производной
§ 9. Производная показательной функции
§ 10. Производная степенной функции
§ 11. Производные обратных тригонометрических функций
§ 12. Производная функции, заданной параметрически
§ 13. Сводка формул дифференцирования
§ 14. Понятие о производных высших порядков
§ 15. Физическое значение производной второго порядка
Упражнения
Глава XI. Приложения производной
§ 1. Теорема о конечном приращении функции и ее следствия
§ 2. Возрастание и убывание функции одной переменной
§ 3. Понятие о правиле Лопиталя
§ 4. Формула Тейлора для многочлена
§ 5. Бином Ньютона
§ 6. Формула Тейлора для функции
§ 7. Экстремум функции одной переменной
§ 8. Вогнутость и выпуклость графика функции. Точки перегиба
§ 9. Приближенное решение уравнений
§ 10. Построение графиков функций
Упражнения
Глава XII. Дифференциал
§ 1. Понятие о дифференциале функции
§ 2. Связь дифференциала функции с производной. Дифференциал независимой переменной
§ 3. Геометрический смысл дифференциала
§ 4. Физическое значение дифференциала
§ 5. Приближенное вычисление малых приращений функции
§ 6. Эквивалентность приращения функции и дифференциала функции
§ 7. Свойства дифференциала
§ 8. Дифференциалы высших порядков
Упражнения
Глава XIII. Неопределенный интеграл
§ 1. Первообразная функция. Неопределенный интеграл
§ 2. Основные свойства неопределенного интеграла
§ 3. Таблица простейших неопределенных интегралов
§ 4. Независимость вида неопределенного интеграла от выбора аргумента
§ 5. Понятие об основных методах интегрирования
§ 6. Интегрирование рациональных дробей с квадратичным знаменателем
§ 7. Интегрирование простейших иррациональностей
§ 8. Интегрирование тригонометрических функций
§ 9. Интегрирование некоторых трансцендентных функций
§ 10. Теорема Коши. Понятие о «неберущихся» интегралах
Упражнения
Глава XIV. Определенный интеграл
§ 1. Понятие об определенном интеграле
§ 2. Определенный интеграл с переменным верхним пределом
§ 3. Геометрический смысл определенного интеграла
§ 4. Физический смысл определенного интеграла.
§ 5. Основные свойства определенного интеграла
§ 6. Теорема о среднем
§ 7. Интегрирование по частям в определенном интеграле
§ 8. Замена переменной в определенном интеграле
§ 9. Определенный интеграл как предел интегральной суммы
§ 10. Понятие о приближенном вычислении определенных интегралов
§ 11. Формула Симпсона
§ 12. Несобственные интегралы.
Упражнения
Глава XV. Приложения определенного интеграла
§ 1. Площадь в прямоугольных координатах
§ 2. Площадь в полярных координатах
§ 3. Длина дуги в прямоугольных координатах
§ 4. Длина дуги в полярных координатах
§ 5. Вычисление объема тела по известным поперечным сечениям
§ 6. Объем тела вращения
§ 7. Работа переменной силы
§ 8. Другие физические приложения определенного интеграла
Упражнения
Глава XVL Комплексные числа
§ 1. Арифметические операции над комплексными числами
§ 2. Комплексная плоскость
§ 3. Теоремы о модуле и аргументе
§ 4. Извлечение корня из комплексного числа
§ 5. Понятие функции комплексной переменной
Упражнения
Глава XVII. Определители второго и третьего порядков
§ 1. Определители второго порядка
§ 2. Система двух однородных уравнений с тремя неизвестными
§ 3. Определители третьего порядка
§ 4. Основные свойства определителей
§ 5. Система трех линейных уравнений
§ 6. Однородная система трех линейных уравнений
§ 7. Система линейных уравнений с многими неизвестными. Метод Гаусса
Упражнения
Глава XVIII. Элементы векторной алгебры
§ 1. Скаляры и векторы
§ 2. Сумма векторов
§ 3. Разность векторов
§ 4. Умножение вектора на скаляр
§ 5. Коллинеарные векторы
§ 6. Компланарные векторы
§ 7. Проекция вектора на ось
§ 8. Прямоугольные декартовы координаты в пространстве
§ 9. Длина и направление вектора
§ 10. Расстояние между двумя точками пространства
§ 11. Действия над векторами, заданными в координатной форме
§ 12. Скалярное произведение векторов
§ 13. Скалярное произведение векторов в координатной форме
§ 14. Векторное произведение векторов
§ 15. Векторное произведение в координатной форме
§ 16. Смешанное произведение векторов
Упражнения
Глава XIX. Некоторые сведения из аналитической геометрии
в пространстве
§ 1. Уравнения поверхности и линии в пространстве
§ 2. Общее уравнение плоскости
§ 3. Угол между плоскостями
§ 4. Уравнения прямой линии в пространстве
§ 5. Понятие о производной вектор-функции
§ 6. Уравнение сферы
§ 7. Уравнение эллипсоида
§ 8. Уравнение параболоида вращения
Упражнения
Глава XX. Функции нескольких переменных
§ 1. Понятие функции от нескольких переменных
§ 2. Непрерывность
§ 3. Частные производные первого порядка
§ 4. Полный дифференциал функции
§ 5. Применение дифференциала функции к приближенным вычислениям
§ 6. Понятие о производной функции по данному направлению
§ 7. Градиент
§ 8. Частные производные высших порядков
§ 9. Признак полного дифференциала
§ 10. Максимум и минимум функции нескольких переменных
§ 11. Абсолютный экстремум функции
§ 12. Построение эмпирических формул по способу наименьших квадратов
Упражнения
Глава XXI. Ряды
§ 1. Примеры бесконечных рядов
§ 2. Сходимость ряда
§ 3. Необходимый признак сходимости ряда
§ 4. Признак сравнения рядов
§ 5. Признак сходимости Даламбера
§ 6. Абсолютная сходимость
§ 7. Знакочередующиеся ряды. Признак сходимости Лейбница
§ 8. Степенные ряды
§ 9. Дифференцирование и интегрирование степенных рядов
§ 10. Разложение данной функции в степенной ряд
§ 11. Ряд Маклорена
§ 12. Применение ряда Маклорена к разложению в степенные ряды некоторых функций
§ 13. Применение степенных рядов к приближенным вычислениям
§ 14. Ряд Тейлора
§ 15. Ряды в комплексной области
§ 16. Формулы Эйлера
§ 17. Тригонометрические ряды Фурье
§ 18. Ряды Фурье четных и нечетных функций
§ 19. Понятие о рядах Фурье непериодических функций
Упражнения
Глава XXII. Дифференциальные уравнения
§ 1. Основные понятия
§ 2. Дифференциальные уравнения первого порядка
§ 3. Уравнения первого порядка с разделяющимися переменными
§ 4. Однородные дифференциальные уравнения первого порядка
§ 5. Линейные дифференциальные уравнения первого порядка
§ 6. Понятие о методе Эйлера
§ 7. Дифференциальные уравнения второго порядка
§ 8. Интегрируемые типы дифференциальных уравнений второго порядка
§ 9. Случаи понижения порядка дифференциальных уравнений
§ 10. Понятие об интегрировании дифференциальных уравнений с помощью степенных рядов дифференциальных уравнений
§ 11. Общие свойства решений линейных однородных дифференциальных уравнений второго порядка
§ 12. Линейные однородные дифференциальные уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами
§ 13. Линейные неоднородные дифференциальные уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами
§ 14. Понятие о дифференциальных уравнениях, содержащих частные производные
§ 15. Линейные дифференциальные уравнения с частными производными
§ 16. Вывод уравнения теплопроводности
§ 17. Задача о распределении температуры в ограниченном стержне
Упражнения
Глава XXIII. Криволинейные интегралы
§ 1. Криволинейный интеграл первого рода
§ 2. Криволинейный интеграл второго рода
§ 3. Физический смысл криволинейного интеграла второго рода
§ 4. Условие независимости криволинейного интеграла второго рода от вида пути интегрирования
§ 5. Работа потенциальной силы
Упражнения
Глава XXIV. Двойные и тройные интегралы
§ 1. Понятие двойного интеграла
§ 2. Двойной интеграл в прямоугольных декартовых координатах
§ 3. Двойной интеграл в полярных координатах
§ 4. Интеграл Эйлера—Пауссона
§ 5. Теорема о среднем
§ 6. Геометрические приложения двойного интеграла
§ 7. Физические приложения двойного интеграла
§ 8. Понятие о тройном интеграле
Упражнения
Глава XXV. Основы теории вероятностей
A. Основные определения и теоремы
§ 1. Случайные события
§ 2. Алгебра событий
§ 3. Классическое определение вероятности
§ 4. Статистическое определение вероятности
§ 5. Теорема сложения вероятностей
§ 6. Полная группа событий
§ 7. Теорема умножения вероятностей
§ 8. Формула полной вероятности
§ 9. Формула Бейеса
Б. Повторные независимые испытания
§ 10. Элементы комбинаторики
§ 11. Биномиальный закон распределения вероятностей
§ 12. Локальная теорема Лапласа
§ 13. Интегральная теорема Лапласа
§ 14. Теорема Пуассона
B. Случайная величина и ее численные характеристики
§ 15. Случайная дискретная величина и ее закон распределения
§ 16. Математическое ожидание
§ 17. Основные свойства математического ожидания
§ 18. Дисперсия
§ 19. Непрерывные случайные величины. Функция распределения
§ 20. Числовые характеристики непрерывной случайной величины
§ 21. Равномерное распределение
§ 22. Нормальное распределение
Упражнения
Глава XXVI. Понятие о линейном программировании
§ 1. Векторное пространство п измерений
§ 2. Множество в /i-мерном пространстве
§ 3. Задача линейного программирования
Приложения
Важнейшие постоянные
Сводка формул
Ответы
Предметный указатель