Краткий курс аналитической геометрии, Ефимов Н. В., 2005

Краткий курс аналитической геометрии, Ефимов Н. В., 2005.
   Предметом изучения аналитической геометрии являются фигуры, которые в декартовых координатах задаются уравнениями первой степени или второй. На плоскости - это прямые и линии второго порядка. В пространстве - плоскости и прямые, поверхности второго порядка. Этот материал изложен в книге в минимальном объеме, необходимом для усвоения дальнейших глав высшей математики и ее приложений.
Для студентов высших учебных заведений.
  В настоящем издании произведены следующие изменения:
1. Значительно сокращена глава 6, посвященная общему уравнению линии второго порядка. Дело в том, что приведение к каноническому виду такого уравнения само по себе является вполне простой задачей; кроме того, эта задача не настолько часто встречается, чтобы имело смысл запоминать для нее готовые формулы. Поэтому здесь достаточно разъяснить сущность метода, что и сделано.
2.  В конце главы 8 добавлены два небольших пункта о разложении вектора по косому базису.
3.  Несколько упрощено изложение отдельных мест главы 13.
4.  Исключен материал, содержащийся в §§ 77—81 предыдущего издания (приведение к каноническому виду общего уравнения поверхности второго порядка).
Таким образом, в книге оставлены лишь те вопросы, которые соответствуют основным разделам программы по математике для высших технических учебных заведений в части аналитической геометрии и теории определителей.
ОГЛАВЛЕНИЕ
ЧАСТЬ ПЕРВАЯ
АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ НА ПЛОСКОСТИ
Глава 1. Координаты на прямой и на плоскости 9
§ 1. Ось и отрезки оси 9
§ 2. Координаты на прямой. Числовая ось 12
§ 3. Декартовы прямоугольные координаты на плоскости. Понятие о декартовых косоугольных координатах 15
§ 4. Полярные координаты 19
Глава 2. Простейшие задачи аналитической геометрии на плоскости 23
§ 5. Проекция отрезка. Расстояние между двумя точками 23
§ 6. Вычисление площади треугольника 29
§ 7. Деление отрезка в Данном отношении 31
§ 8. Преобразование декартовых координат при параллельном сдвиге осей 36
§ 9. Преобразование декартовых прямоугольных координат при повороте осей 37
§ 10. Преобразование декартовых прямоугольных координат при изменении начала и повороте осей 39
Глава 3. Уравнение линии 43
§ 11. Понятие уравнения линии. Примеры задания линий 43
§ 12. Примеры вывода уравнений заранее данных линий 51
§ 13. Задача о пересечении двух линий 54
§ 14. Параметрические уравнения линии 55
§ 15. Алгебраические линии 57
Глава 4. Линии первого порядка 59
§ 16. Угловой коэффициент 59
§ 17. Уравнение прямой с угловым коэффициентом 61
§ 18. Вычисление угла между двумя прямыми. Условия параллельности и перпендикулярности двух прямых 63
§ 19. Прямая как линия первого порядка. Общее уравнение прямой 67
§ 20. Неполное уравнение первой степени. Уравнение прямой «в отрезках» 68
§ 21. Совместное исследование уравнений двух прямых 71
§ 22. Нормальное уравнение прямой. 74
Задача вычисления расстояния от точки до прямой
§ 23. Уравнение пучка прямых 78
Глава 5. Геометрические свойства линий второго порядка 82
§ 24. Эллипс. Определение эллипса и вывод его канонического уравнения 82
§ 25. Исследование формы эллипса 86
§ 26. Эксцентриситет эллипса 89
§ 27. Рациональные выражения фокальных радиусов эллипса 90
§ 28. Построение эллипса по точкам. Параметрические уравнения эллипса 91
§ 29. Эллипс как проекция окружности на плоскость. Эллипс как сечение круглого цилиндра 92
§ 30. Гипербола. Определение гиперболы и вывод ее канонического уравнения95
§ 31. Исследование формы гиперболы 100
§ 32. Эксцентриситет гиперболы 107
§ 33. Рациональные выражения фокальных радиусов гиперболы 108
§ 34. Директрисы эллипса и гиперболы 109
§ 35. Парабола. Вывод канонического уравнения параболы 113
§ 36. Исследование формы параболы 116
§ 37. Полярное уравнение эллипса, гиперболы и параболы 119
§ 38. Диаметры линий второго порядка 120
§ 39. Оптические, свойства эллипса, гиперболы и параболы 126
§ 40. Эллипс, гипербола и парабола как конические сечения 128
Глава 6. Преобразование уравнений при изменении координат 129
§ 41. Примеры приведения общего уравнения линии второго порядка к каноническому виду 129
§ 42. Гипербола как график обратной пропорциональности. Парабола как график квадратного трехчлена 139
ЧАСТЬ ВТОРАЯ
АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ В ПРОСТРАНСТВЕ
Глава 7. Некоторые простейшие задачи аналитической геометрии в пространстве 143
§ 43. Декартовы прямоугольные координаты в пространстве 143
§ 44. Понятие свободного вектора Проекции вектора на ось 147
§ 45. Проекции вектора на оси координат 151
§ 46. Направляющие косинусы 154
§ 47. Расстояние между двумя точками. Деление отрезка в данном отношении 155
Глава 8. Линейные операции над векторами 157
§ 48. Определение линейных операций 157
§ 49. Основные свойства линейных операций 158
§ 50. Разность векторов 162
§ 51. Основные теоремы о проекциях 164
§ 52. Разложение векторов на компоненты 167
Глава 9. Скалярное произведение векторов 172
§ 53. Скалярное произведение и его основные свойства 172
§ 54. Выражение скалярного произведения через координаты перемножаемых векторов 176
Глава 10. Векторное и смешанное произведение векторов 179
§ 55. Векторное произведение и его основные свойства 179
§ 56. Выражение векторного произведения через координаты перемножаемых векторов 187
§ 57. Смешанное произведение трех векторов 190
§ 58. Выражение смешанного произведения через координаты перемножаемых векторов 194
Глава 11. Уравнение поверхности и уравнения линии 196
§ 59. Уравнение поверхности 196
§ 60. Уравнения линии. Задача о пересечении трех поверхностей 198
§ 61. Уравнение цилиндрической поверхности с образующими, параллельными одной из координатных осей 199
§ 62. Алгебраические поверхности 202
Глава 12. Плоскость как поверхность первого порядка. Уравнения прямой 204
§ 63. Плоскость как поверхность первого порядка 204
§ 64. Неполные уравнения плоскостей. Уравнение плоскости «в отрезках» 207
§ 65. Нормальное уравнение плоскости. Расстояние от точки до плоскости 210
§ 66. Уравнения прямой 214
§ 67. Направляющий вектор прямой. Канонические уравнения прямой. Параметрические уравнения прямой 218
§ 68. Некоторые дополнительные предложения и примеры 223
Глава 13. Поверхности второго порядка 229
§ 69. Эллипсоид и гиперболоиды 229
§ 70. Конус второго порядка 235
§ 71. Параболоиды 237
§ 72. Цилиндры второго порядка 241
§ 73. Прямолинейные образующие однополостного гиперболоида. Конструкции В.Г. Шухова 243
Приложение. Элементы теории определителей 247
§ 1. Определители второго порядка и системы двух уравнений первой степени с двумя неизвестными 247
§ 2. Однородная система двух уравнений первой степени с тремя неизвестными 252
§ 3. Определители третьего порядка 255
§ 4. Алгебраические дополнения и миноры 259
§ 5. Решение и исследование системы трех уравнений первой степени с тремя неизвестными 263
§ 6. Понятие определителя любого порядка 271