Конспект лекций по математическому анализу, Казимиров Н.И., 2002

Конспект лекций по математическому анализу, Казимиров Н.И., 2002.
  Конспект лекций для первого курса по специальности "Физика".
Множество — произвольная определяемая совокупность объектов (это определение т. н. 'наивной' теории множеств, поэтому ниже будет упомянут парадокс Расселла и необходимость аксиоматического подхода).

Формула Гаусса — Остроградского.
Это — формула, аналогичная формуле Грина, но в ней все рассматриваемые объекты имеют размерность на 1 больше: вместо кривой — поверхность, вместо формы первого порядка — форма второго порядка, вместо криволинейного интеграла — поверхностный.
Ранее мы оговаривали, что на плоскости замкнутый контур принято ориентировать против часовой стрелки, и это направление обхода называть положительным. Аналогично, в пространстве замкнутая поверхность (без края) ориентируется по умолчанию так, что вектор нормали направлен от поверхности во внешнюю сторону, и эта ориентация называется положительной.
Оглавление
1 Базовые понятия
1.1 Множества и операции над множествами
1.1.1 понятие 'множество'
1.1.2 способы определения множеств
1.2 Функции
1.2.1 способы задания функций
1.2.2 последовательности и кортежи
1.3 Действительные числа
1.3.1 иерархия числовых множеств
1.3.2 определение действительных чисел
1.3.3 ограниченные множества
1.4 Вопросы для коллоквиума
2 Теория пределов
2.1 Предел последовательности
2.1.1 определение и свойства, число е
2.1.2 бесконечно малые, бесконечно большие величины, их иерархия
2.1.3 частичные пределы
2.2 Пределы и непрерывность функций
2.2.1 открытые и замкнутые множества
2.2.2 предел функции
2.2.3 непрерывность функции
2.2.4 монотонные функции
2.2.5 свойства непрерывных функций
2.2.6 элементарные функции
2.2.7 замечательные пределы
2.2.8 равномерная непрерывность
2.3 Вопросы для коллоквиума
3 Дифференциальное исчисление
3.1 Производная и дифференциал
3.1.1 производная
3.1.2 дифференциал
3.1.3 независимость формы первого дифференциала
3.1.4 дифференцируемость обратной функции
3.1.5 производные высших порядков
3.1.6 дифференциалы высших порядков
3.2 Основные теоремы о дифференцируемых функциях
3.2.1 теоремы о среднем значении
3.2.2 правило Лопиталя
3.2.3 теоремы о монотонных функциях
3.2.4 формула Тейлора
3.3 Исследование функций
3.3.1 экстремумы
3.3.2 наибольшее и наименьшее значение
3.3.3 выпуклость и точки перегиба
3.3.4 асимптоты
3.3.5 построение эскизов графиков
3.4. Введение в дифференциальную геометрию
3.4.1 пространство Rn и вектор-функции
3.4.2 путь и кривая
3.4.3 параметрическое дифференцирование
3.4.4 кривизна простой кривой
3.5 Частные производные
3.5.1 пространство Rn
3.5.2 частная производная и дифференцируемость
3.5.3 геометрический смысл дифференциала, касательная плоскость
3.5.4 дифференцирование сложной функции и независимость формы первого дифференциала
3.5.5 производная по направлению, градиент
3.5.6 независимость производной от порядка дифференцирования
3.5.7 дифференциалы высших порядков
3.5.8 формула Тейлора
3.6 Экстремумы функции нескольких переменных
3.7 Неявные функции
3.7.1 основные теоремы о неявных функциях
3.7.2 вектор-функции нескольких переменных
3.8 Условный экстремум
3.9 Вопросы для коллоквиума
4 Интегральное исчисление
4.1 Неопределенный интеграл
4.1.1 определение и свойства первообразной
4.1.2 интегрирование рациональных дробей
4.1.3 интегрирование некоторых иррациональностей
4.1.4 интегрирование биномиальных дифференциалов
4.1.5 интегрирование тригонометрических выражений
4.1.6 некоторые интегралы, невычислимые в элементарных функциях
4.2 Определенный интеграл
4.2.1 интеграл Римана
4.2.2 суммы Дарбу
4.2.3 свойства интеграла Римана
4.2.4 связь определенного и неопределенного интегралов
4.2.5 методы интегрирования
4.2.6 формула Бонэ
4.2.7 неравенства Гёльдера и Минковского
4.3 Введение в теорию меры
4.3.1 мера Жордана на плоскости
4.3.2 мера Лебега
4.4 Приложения определенного интеграла
4.4.1 вычисление площадей
4.4.2 площадь в полярных координатах
4.4.3 длина дуги гладкой кривой
4.4.4 вычисление объемов и поверхностей тел вращения
4.5 Несобственные интегралы
4.5.1 определение н.и
4.5.2 виды и признаки сходимости н.и
4.6 Интегралы с параметрами
4.6.1 предел функции по параметру
4.6.2 собственные интегралы с параметром
4.6.3 равномерная сходимость н.и
4.6.4 непрерывность и дифференцируемость н.и
4.6.5 вычисление н.и. дифференцированием по параметру
4.6.6 интегрирование н.и. по параметру
4.6.7 интеграл Пуассона
4.6.8 функции Эйлера
4.7 Вопросы для коллоквиума
5 Некоторые виды интегралов
5.1 Кратные интегралы
5.1.1 интеграл Римана от функции нескольких переменных
5.1.2 суммы Дарбу и критерий R-интегрируемости
5.1.3 свойства интеграла Римана
5.1.4 вычисление двойного интеграла
5.1.5 вычисление тройного интеграла
5.2 Криволинейные интегралы
5.2.1 к.и. 1-го рода
5.2.2 свойства к.и. 1-го рода
5.2.3 вычисление к.и. 1-го рода
5.2.4 к.и. 2-го рода
5.2.5 свойства к.и. 2-го рода
5.2.6 вычисление к.и. 2-го рода
5.2.7 формула Грина
5.2.8 независимость криволинейного интеграла от пути
5.3 криволинейные координаты
5.4 Поверхностные интегралы
5.4.1 поверхность, площадь поверхности
5.4.2 п.и. 1-го рода
5.4.3 вычисление п.и. 1-го рода
5.4.4 ориентированные поверхности
5.4.5 п.и. 2-го рода
5.4.6 вычисление п.и. 2-го рода
5.4.7 формула Стокса
5.4.8 формула Гаусса—Остроградского
5.5 Элементы теории поля
5.6 Вопросы для коллоквиума
6 Основы теории рядов
6.1 Числовые ряды
6.1.1 основные свойства рядов
6.1.2 ряды с неотрицательными членами
6.1.3 дальнейшие свойства произвольных рядов
6.1.4 признаки Абеля и Дирихле
6.2 Функциональные ряды
6.2.1 равномерная сходимость рядов
6.2.2 интегрирование и дифференцирование рядов
6.2.3 признаки равномерной сходимости
6.3 Степенные ряды
7 Основы ТФКП
7.1 Комплексная переменная и функции от нее
7.1.1 комплексные числа и действия над ними
7.1.2 пределы комплексных последовательностей
7.1.3 функции к.п
7.1.4 дифференцирование ф.к.п
7.1.5 интегралы от ф.к.п., формула Коши
7.2 аналитические функции
7.2.1 степенной ряд, круг сходимости
7.2.2 единственность а.ф
7.2.3 аналитическое продолжение
7.2.4 элементарные функции
7.3 Ряд Лорана
7.4 Вычеты
7.5 Конформные отображения.