Конкурсные задачи по математике - Потапов М.К., Олехник С.Н., Нестеренко Ю.В.

Название: Конкурсные задачи по математике. 2003.
Авторы: Потапов М.К., Олехник С.Н., Нестеренко Ю.В.
   Приведены задачи, предлагавшиеся на вступительных экзаменах в вузы. Основное внимание удалено методам решения уравнений и неравенств, систем уравнений.
  Рассчитана на учащихся и учителей старших классов школ и лиц, готовящихся к вступительным экзаменам в вузы. Будет полезной учащимся подготовительных отделений вузов и преподавателям математики.


ОГЛАВЛЕНИЕ
Предисловие ............................. 8
Г л а в а I. УРАВНЕНИЯ
§ 1. Основные определения. Простейшие уравнения .......... 8
1.1. Область допустимых значений и корни уравнений (8). 1.2. Корни простейших уравнений (9). 1.3. Уравнение-следствие (11). 1.4. Равносильные уравнения (13). 1.5. Равносильность уравнений на множестве (14). 1.6. Совокупность уравнений (15).
Упражнения ............................. 16
§2. Равносильные преобразования уравнений ............. 21
2.1. Простейшие преобразования уравнений (21). 2.2. Преобразования, связанные с применением тождественных равенств (22). 2.3. Решение алгебраических уравнений (23). 2.4. Уравнения, сводящиеся к квадратным уравнениям (27). 2.5. Преобразования, связанные с суперпозицией функций (28).
Упражнения ............................. 30
§ 3. Равносильность уравнений на множестве ............. 31
3.1. Приведение подобных членов уравнения (31). 3.2. Освобождение уравнения от знаменателя (32). 3.3. Тождественные преобразования уравнения на множестве (32). 3.4. Замена уравнения совокупностью уравнений (37). 3.5. Сокращение уравнения на общий множитель (38). 3.6. Возведение обеих частей уравнения в четную степень (39). 3.7. Преобразования, связанные с логарифмированием уравнения (41). 3.8. Преобразования, связанные с потенцированием уравнения (41). 3.9. Решение уравнений, содержащих абсолютную величину (42).
Упражнения ............................. 44
§ 4. Неравносильные преобразования уравнений ............ 46
А. Переход к следствию ..................... 46
4.1. Приведение подобных членов уравнения (46). 4.2. Освобождение от знаменателя (46). 4.3. Возведение в степень (47). 4.4. Потенцирование уравнений (49). 4.5. Преобразования, связанные с квадратными корнями (50). 4.6. Преобразования, связанные с логарифмическими формулами (50). Б. Потеря решений уравнения .................. 51
Упражнения ............................. 53
§5. Тригонометрические уравнения .................. 55
5.1. Разложение на множители (55). 5.2. Замена переменных (56). 5.3. Уравнения вида Р{БШХ^СОБХ) = 0 (57). 5.4. Уравнения вида a sin х + b cos х = с, а ф О, 6/0 (59). 5.5. Равносильные преобразования уравнений с применением тригонометрических формул (61). 5.6. Преобразования уравнений с применением тригонометрических формул, справедливых на некотором множестве (66).
Упражнения ............................. 69
§ 6. Уравнения, предлагавшиеся на вступительных экзаменах в вузы ... 73
6.1. Решение уравнений с применением различных приемов (73).
6.2. Уравнения с дополнительными условиями (78). 6.3. Решение уравнений нестандартными способами (83). 6.4. Уравнения, содержащие неизвестную в основании логарифма (89). 6.5. Уравнения, содержащие неизвестную в основании и показателе степени (93). 6.6. Уравнения с параметрами (96).
Упражнения ............................. 100
Глава II. НЕРАВЕНСТВА
§ 1. Основные определения. Простейшие неравенства .......... 115
1.1. Область допустимых значений и множество решений неравенства (115). 1.2. Решение простейших неравенств (116). 1.3. Равносильность неравенств (117). 1.4. Системы неравенств (119). 1.5. Совокупность неравенств и систем неравенств (120).
Упражнения ............................. 121
§ 2. Равносильные преобразования неравенств ............. 127
2.1. Алгебраические неравенства первой степени (127). 2.2. Простейшие преобразования неравенств (128). 2.3. Преобразования, связанные с применением тождественных равенств (130). 2.4. Квадратные неравенства (131). 2.5. Неравенства, сводящиеся к квадратным неравенствам (134). 2.6. Метод интервалов (136). 2.7. Обобщенный метод интервалов (137). 2.8. Рациональные неравенства (138). 2.9. Нестрогие неравенства (139). 2.10. Системы неравенств (140).
Упражнения ............................. 141
§ 3. Равносильность неравенств на множестве ............. 144
3.1. Приведение подобных членов (144). 3.2. Разложение на множители (144). 3.3. Освобождение от знаменателя (147). 3.4. Сокращение на общий множитель (150). 3.5. Возведение в степень (152). 3.6. Потенцирование неравенств (157). 3.7. Логарифмирование неравенств (161). 3.8. Решение неравенств, содержащих неизвестную под знаком абсолютной величины (162).
Упражнения ............................. 164
§4. Неравенства, предлагавшиеся на вступительных экзаменах в вузы . . 166
4.1. Решение неравенств с применением различных приемов (166).
4.2. Неравенства с дополнительными условиями (174). 4.3. Решение неравенств нестандартными способами (175). 4.4. Неравенства, содержащие неизвестную в основании логарифма (177). 4.5. Неравенства, содержащие неизвестную в основании и показателе степени (180). 4.6. Неравенства с параметрами (183).
Упражнения ............................. 190
Глава III. СИСТЕМЫ УРАВНЕНИЙ
§ 1. Алгебраические системы уравнений ................ 203
1.1. Основные определения (203). 1.2. Система двух уравнений первой степени (206). 1.3. Метод подстановки (208). 1.4. Линейные преобразования систем (210). 1.5. Метод разложения на множители (211). 1.6. Использование однородности одного из уравнений (213). 1.7. Симметрические системы уравнений (215). 1.8. Рациональные системы уравнений (217). 1.9. Геометрическая интерпретация алгебраического уравнения (220).
Упражнения ............................. 227
§ 2. Неалгебраические системы уравнений ............... 232
2.1. Метод подстановки (232). 2.2. Введение новых неизвестных (232). 2.3. Переход к следствию (234). 2.4. Рассуждения с числовыми значениями (235).
Упражнения ............................. 241
§3. Тригонометрические системы уравнений ............. 245
3.1. Метод подстановки (245). 3.2. Введение новых неизвестных (246). 3.3. Рассуждения с числовыми значениями (249).
Упражнения ............................. 250
§ 4. Системы уравнений, решаемые нестандартными методами ..... 252 4.1. Системы уравнений, в которых неизвестных больше, чем уравнений (252). 4.2. Использование неравенств при решении систем уравнений (256). 4.3. Системы уравнений с дополнительными условиями (259). 4.4. Системы уравнений с параметрами (261).
Упражнения ............................. 264
§5. Текстовые задачи ........................ 275
5.1. Задачи «на движение» (275). 5.2. Задачи «на работу» (277). 5.3. Задачи «на проценты» (281). 5.4. Задачи «на смеси» и «на сплавы» (282). 5.5. Задачи с целыми неизвестными (284).
Упражнения ............................. 287
Ответы, указания, решения ...................... 291