Компактный курс математического анализа, Часть 2, Дифференциальное исчисление функций многих переменных, Шведов И.А., 2003

Компактный курс математического анализа, Часть 2, Дифференциальное исчисление функций многих переменных, Шведов И.А., 2003.
  Учебное пособие предназначается студентам и преподавателям 1-го и 2-го курсов математических факультетов университетов. В основе лежит курс лекций, читаемый автором в Новосибирском государственном университете. Пособие содержит все определения, формулировки и доказательства теорем, поясняющие примеры и упражнения. У читателя предполагается наличие некоторого опыта изучения теории функций одной переменной.

Признак Абеля—Дирихле равномерной суммируемости.
Если на множестве X последовательность вещественных функций ип(х), убывая, равномерно стремится к нулю, а частичные суммы ряда функций vn(x) равномерно ограничены, то ряд un(x)vn(x) равномерно суммируем на множестве X. (Подсказ: вспомните неравенство Абеля.)
Теорема Дини. Если последовательность непрерывных вещественных функций на компактном пространстве К, возрастая, поточечно сходится к непрерывной функции, то сходится она равномерно на К.
Оглавление
Предисловие
Глава 7. МЕТРИЧЕСКИЕ И ТОПОЛОГИЧЕСКИЕ ПОНЯТИЯ
§7.1. Метрические и нормированные пространства
Расстояния. Метрические пространства; подпространства. Произведение метрических пространств. Норма; примеры; неравенства Гельдера и Минковского. Нормированные векторные пространства. Расстояние, индуцированное нормой. Произведение нормированных пространств.
§7.2. Основы анализа взаимного расположения (Analysis Situs)
Окрестности точек; свойства системы окрестностей. Открытые множества; свойства системы открытых множеств. Точки прикосновения множества; замкнутые множества; топологический критерий замкнутости; свойства системы замкнутых множеств. Лемма об открытых (замкнутых) частях подпространства. Плотные подмножества. Внутренние и граничные точки подмножества. Диаметр множества. Ограниченные множества.
§7.3. Предел
Секвенциальный критерий замкнутости. Последовательности Коши; полные метрические пространства. Банаховы пространства. Полные подпространства пространства Rn. Суммирование рядов в банаховых пространствах. Общее понятие предела функции. Метрический критерий сходимости.
§7.4. Непрерывные отображения
Непрерывность отображения в точке; топологический, метрический и координатный критерии непрерывности. Теорема о непрерывности композиции. Операции над непрерывными функциями. Критерий глобальной непрерывности. Множества, определяемые системами уравнений и неравенств. Равномерно непрерывные отображения. Теорема о неподвижной точке сжимающего отображения. Топологические изоморфизмы (гомеоморфизмы). Линейно связные пространства. Компоненты линейной связности группы GL(n); критерий соориентированности базисов. Информация: теоремы Александера—Понтрягина, Жордана Брауэра и о вложении области.
§7.5. Компактность
Теорема Бореля—Лебега; компактные пространства. Взаимосвязь свойств компактности, ограниченности и замкнутости. Теорема Вейерштрасса об экстремумах. Непрерывные образы компактов. Теорема о непрерывной биекции компакта, Теорема Гейне о равномерной непрерывности. Секвенциальный критерий компактности. Произведение компактных пространств. Компактные множества в Rn. Эквивалентность норм в Rn.
Глава 8. ОСНОВЫ МНОГОМЕРНОГО ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОГО ИСЧИСЛЕНИЯ
§8.1. Частные производные
Производная по вектору; частные производные; матрица Якоби. Принцип фиксации переменных. Необходимое условие локального экстремума. Лемма о степенной оценке приращения. Пример разрывной функции, дифференцируемой по каждому вектору.
§8.2. Дифференциал
Дифференцируемые функции; дифференциал. Непрерывность дифференцируемой функции. Формула для производной по вектору. Координатное представление дифференциала. Достаточный признак дифференцируемости. Правила дифференцирования. Градиент вещественной функции; его геометрические свойства. Потенциальные векторные поля; потенциал.
§8.3. Правила многократного дифференцирования
Высшие производные. Многократно дифференцируемые отображения; их свойства. Теорема о вторых производных; "контрпример". Мультииндексный формализм; запись высших производных. Правило дифференцирования монома. Критерий совпадения полиномов. Формула возведения суммы в степень. Линейные дифференциальные операторы; композиционное правило для операторов с постоянными коэффициентами. Высшие дифференциалы; их координатное представление. Гессиан вещественной функции; его координатное представление.
§8.4. Разложение Тейлора
Теорема о разложении Тейлора. Полином и ряд Тейлора, Интегральная форма остатка разложения Тейлора; лагранжева оценка остатка. Порядок касания функций в точке. Полиномиальные разложения суммы, произведения и композиции. Достаточное условие локального экстремума. Курьезы.
Глава 9. ОСНОВЫ ГЛАДКОГО АНАЛИЗА
§9.1. Отображения класса Сr
Отображения класса Сr; их свойства. Лемма о классе гладкости обратного отображения. Сr-изоморфизмы и Сr-вложения; примеры теорем о вложении. Лемма о липшицевом вложении области. Теорема о локальной обратимости (об обратной функции). Теорема о гладком вложении области. Криволинейные системы координат (карты); примеры. Лемма о локальном наложении. Достаточное условие функциональной независимости системы функций. Теорема о неявной функции.
§9.2. Многообразия в Rn
Многообразия; их крайние точки. Леммы об открытых частях многообразия, об изоморфизме многообразий, о крае полупространства. Теорема о крае многообразия. Строение множества регулярных решений гладкой системы уравнений и неравенств. Лемма о локальном вложении.
§9.3. Касательное пространство
Касательные векторы (кинематическое определение). Касательное пространство и контингенция; их свойства. Действие гладкого отображения на касательные векторы. Строение касательного пространства гладкого многообразия. Составление уравнений касательной и контингенции. Векторы, ортогональные к подмножеству; ортогональ. Теорема о градиентах. Геометрический вариант леммы Ферма. Метод множителей Лагранжа поиска условного экстремума. Приложения к анализу в пространстве матриц: det; группы SL(n) и SO(n) — гладкие многообразия; элементы группы SL(n), ближайшие к пулевой матрице.
Глава 10. ПОТОЧЕЧНАЯ И РАВНОМЕРНАЯ СХОДИМОСТЬ
§10.1. Признаки равномерной сходимости
Равномерная сходимость последовательностей и рядов функций. Критерий Коши равномерной сходимости. Супремумнорма. Признаки Вейерштрасса и Абеля — Дирихле равномерной суммируемости ряда. Теорема Дини.
§10.2. Предельный переход и основные понятия анализа
Теорема о пределе пределов. Равномерный предел и непрерывность. Теорема об интеграле равномерного предела. Теоремы о пределе производных и о сумме ряда производных.
§10.3. Приложения
10.3.1.    Степенные ряды
Теорема Абеля. Радиус и круг сходимости степенного ряда. Теорема о сходимости степенных рядов. Теорема о сумме степенного ряда.
10.3.2.    Ряды Фурье
Лемма о базисах фурье. Коэффициенты Фурье интегрируемой функции. Функции класса Фурье; лемма о точках разрыва. Формула Дирихле. Теорема Фурье. Теоремы Вейерштрасса о тригонометрической и полиномиальной аппроксимации. Равенство Парсеваля. Изопериметрическое неравенство.
Список имен
Библиографический список.