Графики функций - Справочник - Вирченко Н.А., Ляшко И.И., Швецов К.И.

Название: Графики функций - Справочник
Авторы: Вирченко Н.А., Ляшко И.И., Швецов К.И.
1979.
   Справочник содержит основные сведения о функциях и методах построения графиков функций, в частности сведения о построении графиков функций элементарными способами и с помощью производной. Впервые в литературе систематизированы сведения о построении графиков не только в декартовой, но ив полярной системе координат, рассматриваются основные принципы теории геометрического изображения функций.
   Рассчитан на инженеров, преподавателей и учащихся средних школ, а также на поступающих в высшие учебные заведения.


СОДЕРЖАНИЕ
Предисловие 3
ЧАСТЬ I
ПОСТРОЕНИЕ ГРАФИКОВ ФУНКЦИЙ ЭЛЕМЕНТАРНЫМИ СПОСОБАМИ
РАЗДЕЛ 1
ОСНОВНЫЕ СВЕДЕНИЯ О ЧИСЛЕ, ПЕРЕМЕННОЙ ВЕЛИЧИНЕ И ФУНКЦИИ 5
§ 1. Число. Переменная величина. Функция 5
Множество действительных чисел 5
Основные свойства множества действительных чисел ( 5 )
Постоянные и переменные величины 8
Понятие функции 9
Способы задания функции 10
Табличный способ (10 ). Графический способ (10 ). Аналитический способ (11 ). Словесный способ (12 ). Полуграфический способ (12 )
§ 2. Классификация функций 13
Обратные функции 13
Сложные функции 14
Элементарные функции 14
Однозначные и многозначные функции 15
Ограниченные и неограниченные функции 16
Монотонные функции 16
Четные и нечетные функции 17
Основные свойства четных и нечетных функций (18 )
Периодические функции 18
§ 3. Предел функции. Непрерывность функции 21
Предел числовой последовательности 21
Основные теоремы о пределах последовательности (21 )
Предел функции 22
Признаки существования предела (23 ). Односторонние пределы функции (23 ). Теоремы о пределах (23 ). Классификация бесконечно малых функций (24 )
Непрерывность функции 28
Основные свойства непрерывных функций на отрезке (32 )
РАЗДЕЛ 2
ИССЛЕДОВАНИЕ ФУНКЦИЙ ДЛЯ ПОСТРОЕНИЯ ГРАФИКА 32
§ 1. Системы координат 32
Декартова система координат 32
Полярная система координат 33
Преобразования декартовой системы координат .... 35
Перенос начала координат (35). Поворот координатных осей (35). Общий случай (перенос начала и поворот осей координат) (36)
§ 2. Исследование функции в декартовой системе координат 36
Область определения функции 36
Область значений функции. График ограниченной функции 38
Четность и нечетность функции. Особенности графика четной и нечетной функций 41
Виды симметрии. График обратной функции 42
Симметрия графика функции у = F(х) относительно вертикальной оси х = х0 (42). Симметрия графика функции у = F (х) относительно точки (х0; у0) (43). График обратной функции (45)
Периодичность функции. График периодической функции 46
Нули и знаки функции 48
Монотонность функции 51
Выпуклость функции 52
Некоторые свойства выпуклых функций (52)
Характерные точки, графика функции 55
Асимптоты графика функции 57
Порядок исследования функции и схема построения ее графика 59
РАЗДЕЛ 3
ГРАФИКИ ОСНОВНЫХ ЭЛЕМЕНТАРНЫХ ФУНКЦИЙ 60
§ 1. Степенная функция 60
Степенная функция с натуральным показателем 60
Степенная функция с целым отрицательным показателем 62
Степенная функция с рациональным показателем 65
Степенная функция с иррациональным показателем 70
§ 2. Показательная функция 71
§ 3. Логарифмическая функция 73
§ 4. Тригонометрические функции 73
§ 5. Обратные тригонометрические функции 76
РАЗДЕЛ 4
ДЕЙСТВИЯ С ГРАФИКАМИ. ПРЕОБРАЗОВАНИЯ ГРАФИКОВ В ДЕКАРТОВОЙ СИСТЕМЕ КООРДИНАТ 79
§ 1. Арифметические действия с графиками 79
Сложение и вычитание графиков 79
Умножение и деление графиков 85
§ 2. Простейшие преобразования графиков 91
Преобразования, не изменяющие масштаба 91
Параллельный перенос (сдвиг) вдоль оси абсцисс (91). Параллельный перенос (сдвиг) вдоль оси ординар (91)
Преобразования, изменяющие масштаб 92
Растяжение или сжатие по оси абсцисс (92). Растяжение или сжатие по оси ординат (93). Построение графика функции у = mf(kx -fa) -f b (96)
Построение графиков функций, аналитическое выражение которых содержит знак модуля 100
РАЗДЕЛ 5
ГРАФИКИ ЭЛЕМЕНТАРНЫХ ФУНКЦИЙ 108
§ 1. Построение графиков сложных функций 108
§ 2. Графики алгебраических функций 128
Графики целых рациональных функций 129
Линейная функция (129). Квадратная функция (квадратный трехчлен) (129). Кублческая функция (многочлен третьей степени) (131). Биквадратная функция (134). Многочлен n-й степени.
Графики дробно-рациональных функций 139
Дробно-линейная функция (139). Дробно-рациональная функция (140)
Графики иррациональных функций .... 146
Графики трансцендентных функций 147
Обратные гиперболические функции (154)
РАЗДЕЛ 6
ГРАФИКИ ПАРАМЕТРИЧЕСКИ ЗАДАННЫХ ФУНКЦИЙ 155
§ 1. Исследование параметрически заданных функций 155
§ 2. Примеры построения графиков параметрически заданных функций 156
РАЗДЕЛ 7
ГРАФИКИ ФУНКЦИЙ В ПОЛЯРНОЙ СИСТЕМЕ КООРДИНАТ 165
§ 1. Исследование функций в полярной системе координат 165
§ 2. Построение графиков функций в полярной системе координат 169
Примеры построения графиков функций 169
Преобразования графиков в полярной системе координат 178
Основные свойства графиков функций в полярной системе координат (178)
РАЗДЕЛ 8
ГРАФИКИ НЕЯВНО ЗАДАННЫХ ФУНКЦИЙ 180
§ 1. Исследование неявно заданных функций 180
§ 2. Построение графиков неявно заданных функций 182
§ 3. Исследование кривых, заданных алгебраическим уравнением второй степени 190
§ 4. Графики неявных функций, аналитическое выражение которых содержит знак модуля 197
§ 5. Примеры построения графиков неявно заданных функций, которые удобно строить в полярной системе координат 200
РАЗДЕЛ 9
ГРАФИКИ БОЛЕЕ СЛОЖНЫХ ФУНКЦИЙ 203
§ 1. Построение графиков функций, заданных несколькими аналитическими выражениями 203
§ 2. Построение графиков функций, заданных некоторым рекуррентным соотношением 205
§ 3. Построение графиков функций вида y=f(x)
ЧАСТЬ II
ПОСТРОЕНИЕ ГРАФИКОВ ФУНКЦИЙ С ПОМОЩЬЮ ПРОИЗВОДНОЙ
РАЗДЕЛ 1
ПРОИЗВОДНЫЕ И ДИФФЕРЕНЦИАЛЫ, ИХ ПРИМЕНЕНИЕ К ПОСТРОЕНИЮ ГРАФИКОВ ФУНКЦИЙ 214
§ 1. Производная функции одной переменной. Свойства производной. Производные основных функций 214
Правила дифференцирования (216). Производные основных функций (217). Прозводные высших порядков простейших функций (218)
§ 2. Дифференциал функции одной переменной 219
§ 3. Основные теоремы дифференциального исчисления . 221
§ 4. Исследование функции с помощью производных 223
Максимум и минимум функции 225
Исследование функции на экстремум с помощью первой производной 226
Исследование функции на экстремум с помощью второй производной 228
Исследование функции на экстремум с помощью формулы Тейлора 228
Наибольшее и наименьшее значения функции на отрезке 229
Выпуклость кривой. Точки перегиба 230
§ 5. Построение графиков функций с помощью производных 231
§ 6. Построение графиков функций f (х) и F (х)  233
§ 7. Правило Лопиталя 235
§ 8. Приближенное вычисление корней уравнения 239
Метод хорд 239
Метод касательных (способ Ньютона) 240
РАЗДЕЛ 2
ПОСТРОЕНИЕ ГРАФИКОВ ВСЕХ ВИДОВ ФУНКЦИЙ 242
§ 1. Примеры построения графиков функций вида yz=f(x) в декартовой системе координат 242
§ 2. Построение графиков параметрически заданных функций 264
Исследование параметрически заданных функций с помощью производных 264
Примеры построения графиков параметрически заданных функций 2661
§ 3. Построение графиков неявно заданных функций 271
§ 4. Построение графиков функций в полярной системе координат 277
РАЗДЕЛ 3
НЕКОТОРЫЕ ВАЖНЫЕ КРИВЫЕ 281
§ 1. Кривые второго порядка 281
§ 2. Кривые третьего порядка 287
§ 3. Кривые четвертого и высших порядков 292
§ 4. Трансцендентные кривые 304
Предметный указатель 314