Готуємось до олімпіади з математики, Книга 2
Готуємось до олімпіади з математики, Книга 2.
Розділ 1. Функціональні рівняння.
Розділ 2. Циклічні системи рівнянь.
Розділ 3. Доведення нерівностей.
Спосіб невизначених коефіцієнтів.
Цей спосіб застосовується в тих випадках, коли за зовнішнім виглядом функціонального рівняння можна встановити загальний вигляд шуканої функції. Перш за все це стосується цілих і дробово-раціональних функцій. Корисно пам'ятати, що для цілих і дробово-раціональних функцій f(х) і g(х) функції ?(х) =af (х)+Ьg(х), де а, Ь сталі числа, і ?(х) =f(g(x))? Цілими та дробово-раціональними відповідно; при цьому якщо f(х) і g(х) лінійні або дробово-лінійні, то й ?(х), ? (х) також лінійні або дробово-лінійні.
Пояснимо суть способу невизначених коефіцієнтів на задачах.
Спосіб підстановок.
Спосіб підстановок — найбільш поширений і найбільш дієвий спосіб розв'язування функціональних рівнянь. Він дає змогу розв'язування функціональних рівнянь звести до розв'язування рівнянь відомих типів, зокрема алгебраїчних рівнянь та їх систем. Однак конкретних рекомендацій, коли і як його можна використати, не існує. Суть цього способу викладемо, розв'язуючи конкретні рівняння.
Розв'язуючи функціональні рівняння способом підстановок, ми фактично визначаємо, яким повинен бути розв'язок. Тому перевіркою треба переконатися, що здобута функція дійсно є розв'язком рівняння. У тих випадках, коли розв'язування функціональних рівнянь зводиться до розв'язування системи двох алгебраїчних рівнянь, підстановки визначаються досить просто. Значно складніше це зробити, коли функціональне рівняння зводиться до системи трьох і більше рівнянь.
Функціональні рівняння з вільними змінними.
Спектр функціональних рівнянь з вільними змінними значно ширший від спектра рівнянь без вільних змінних. І для цих рівнянь одним з основних способів розв'язання є спосіб підстановок. Однак, розв'язуючи одне й те ж функціональне рівняння з вільними змінними, можна використовувати не тільки різні підстановки, а й різні способи розв'язань. Від вдалого їх вибору і вмілого застосування часто залежить як ефективність, так іноді й ефектність їх використання. Почнемо із задач, у яких внутрішня функція складеної функції залежить тільки від незалежної і вільної змінних.
Метод Коші.
Цей метод використовують для знаходження неперервних розв'язків функціональних рівнянь з вільними змінними. Розробив його на початку XIX століття видатний французький математик Коші, розв'язуючи рівняння
f(x+у)=f(x)+f(у),
яке також називають його іменем - рівняння Коші. Суть методу Коші полягає в тому, що пошук неперервної функції f, яка є розв'язком функціонального рівняння, ведеться поетапно. Насамперед припускається, що шукана функція справджує задану рівність, 1 за допомогою вдало дібраних підстановок ця функція визначається спочатку на множині натуральних чисел, потім - на множині
цілих чисел і далі - на множині раціональних чисел. Після цього граничним переходом функцію визначають на множині ірраціональних чисел. Результатом пошуків є формула, яка визначає шукану функцію на заданій в задачі множині. Завершується розв'язання обов'язковою перевіркою того, що знайдена функція справджує умови задачі. Проілюструємо застосування методу Коші під час розв'язування наступних задач. Насамперед викладемо розв'язання рівняння Коші.
Під час доведення нерівностей використовують: загальні методи доведення математичних тверджень:
1) метод від супротивного,
2) аналітичний метод,
3) синтетичний метод,
4) метод математичної індукції; спеціальні способи:
1) за означенням числової нерівності,
2) способи посилення та послаблення,
3) за властивостями квадратного тричлена,
4) зведення до очевидних або відомих нерівностей; штучні прийоми, які базуються на:
1) властивостях векторів,
2) монотонності площ і об'ємів,
3) геометричному змісті визначеного інтеграла,
4) застосуванні похідної для дослідження функцій.
Найбільш відомими нерівностями, до яких вдаються під час доведення, є:
Властивість монотонності площ можна застосувати не тільки для простих фігур, а й для інших плоских фігур, які мають площу. Це, зокрема, стосується криволінійних трапецій. Оскільки обчислення площі криволінійної трапеції можна звести до обчислення визначеного інтеграла, то можна, використовуючи монотонність площ, залучити інтеграл до доведення нерівностей.
Доведення нерівностей за допомогою похідних.
Похідна функції дає достатні умови монотонності функції і правило відшукання найменшого і найбільшого значення функції, заданої на відрізку. Зважаючи на це, похідну можна залучити до доведення числових нерівностей і нерівностей зі змінними.
| Рейтинг: | 4.8 баллов / 2537 оценок |
| Формат: | Книга |
| Уже скачали: | 12757 раз |
Похожие Книги
Нам показалось, что Книги ниже Вас заинтересуют не меньше. Эти издания Вы так же можете скачивать и читать совершенно бесплатно на сайте!
-
« Or Else My Lady Keeps the Key »
« Or Else My Lady Keeps the Key »Автор: Baker KageОписание:«His name is John James—at least, that’s the name he gives to anyone asking. He’s a former pirate just back in Port Royal from the sack of Pa . . .
-
« The Windup Girl »
« The Windup Girl »Автор: Bacigalupi PaoloОписание:«Starred Review. Noted short story writer Bacigalupi (Pump Six and Other Stories) proves equally adept at novel length in this grim but beautifully w . . .
-
« La vida te despeina: Historias de mujeres en busca de la felicidad »
« La vida te despeina: Historias de mujeres en busca de la felicidad »Автор: Роса Монтеро Марсела Серрано Анхелес Мастретта Ana Mar?a Shua Claudia Amengual Gioconda Belli Liliana Heker S . . .
-
« Tres cuentos er?ticos »
« Tres cuentos er?ticos »Автор: Mercedes AbadОписание:«Cuentos er?ticos es tu libro de bolsillo Cosmo con tres relatos in?ditos de la escritora Mercedes Abad. Tres historias de alto voltaje, atrevidas . . .
-
« The End - Visions of Apocalypse »
« The End - Visions of Apocalypse »Автор: Майкл Салливан Хью Хауи N. E. White Igor Ljubuncic Michael Aaron Wilson G. Geiger Pete McLean Stephen "B5" Jones Norman Gray Liam Baldwin . . .
-
« Clobbered by Camembert »
« Clobbered by Camembert »Автор: Cheese Shop MysteryОписание:«Cheese store owner Charlotte Bessette is setting up for the town's Winter Wonderland fair. Then, when an old friend is found dead in the c . . .
-
« Bangkok Noir »
« Bangkok Noir »Автор: Christopher G. Moore (Ed)Описание:«Bangkok is one of the great cities in the world, but unlike other great metropolises it has no noir tales to its name. Bangkok Noir puts that . . .
-
Журнал Супер Мама №21(25)
Название: Журнал Супер Мама №21(25) Страниц: 32 Год / месяц: 2008/11 ноября Формат: DJVU Качество: Хорошее Язык: Русский Размер: 5,07 Mб Читайте в номере: Здоровье женщины: на вопросы читате . . .
-
« Started Early, Took My Dog »
« Started Early, Took My Dog »Автор: Atkinson KateОписание:«A day like any other for security chief Tracy Waterhouse, until she makes a purchase she hadn't bargained for. One moment of madness is all . . .
-
« Por el tiempo »
« Por el tiempo »Автор: Silverberg RobertОписание:«Una novela de atm?sfera ciber-punk sobre los viajes por el tiempo, un tema apasionante que en este libro queda reflejado de una manera bastante decen . . .
Вы не зарегистрированы!
Если вы хотите скачивать книги, журналы и аудиокниги бесплатно, без рекламы и без смс, оставлять комментарии и отзывы, учавствовать в различных интересных мероприятиях, получать скидки в книжных магазинах и многое другое, то Вам необходимо зарегистрироваться в нашей Электронной Библиотеке.
Отзывы читателей
Ой!
К сожалению, в нашей Бесплатной Библиотеке пока нет отзывов о Книге Готуємось до олімпіади з математики, Книга 2. Помогите нам и другим читателям окунуться в сюжет Книги и узнать Ваше мнение. Оставьте свой отзыв или обзор сейчас, это займет у Вас всего-лишь несколько минут.