Готовимся к экзамену по математике, Крамор В.С., 2008

Готовимся к экзамену по математике, Крамор В.С., 2008.
    Книга предназначена для самостоятельного повторения школьного курса математики. Она поможет учащимся систематизировать имеющиеся знания и ликвидировать в них пробелы. Весь материал разбит на 22 темы, которые содержат: теоретические сведения; контрольные вопросы; упражнения (включая задачи для повторения); методические указания, решения и ответы.
 
   Пособие может быть использовано при подготовке к выпускным экзаменам в средней школе, сдаче ЕГЭ и вступительным экзаменам в ВУЗ. Оно будет полезно школьникам, абитуриентам и преподавателям.

СОДЕРЖАНИЕ
Тема 1
Теоретические сведения
1. Натуральные числа и действия над ними 5
2. Сложение и законы сложения 5
4. Умножение и законы умножения 6
6. Признаки делимости чисел 7
7. Понятие множества 7
8. Операции над множествами 8
9. Взаимно однозначное соответствие 9
10. Простые и составные числа 9
11. Наибольший общий делитель 10
12. Наименьшее общее кратное 11
Контрольные вопросы 11
Решения и методические указания 13
Тема 2
Теоретические сведения
1. Обыкновенные дроби 16
2. Правильные и неправильные дроби 17
3. Основное свойство дроби 17
4. Сравнение дробей. Сокращение дроби 18
5. Сложение и вычитание дробей 18
6. Умножение дробей 19
7. Деление дробей 19
8. Десятичные дроби 20
9. Обращение десятичной дроби в обыкновенную и обыкновенной в десятичную. Периодические дроби 21
10. Отношение. Пропорция 22
11. Свойства пропорций 23
12. Свойства отношений 23
13. Процент. Основные задачи на проценты 24
14. Деление числа на части, прямо и обратно пропорциональные данным числам 25
Контрольные вопросы 25
Решения и методические указания 27
Тема 3
Теоретические сведения
1. Координатная прямая 29
2. Множество целых чисел 29
3. Положительные и отрицательные числа 30
4. Множество рациональных чисел 30
5. Модуль числа 30
6. Сравнение рациональных чисел 31
7. Сложение и вычитание рациональных чисел 31
8. Умножение и деление рациональных чисел 31
9. Возведение рациональных чисел в степень с натуральным показателем 32
Контрольные вопросы 32
Задания для повторения 34
Решения и методические указания 34
Тема 4
Теоретические сведения
1. Свойства степени с натуральным показателем 37
2. Числовые выражения 38
3. Выражения с переменными 38
4. Тождественно равные выражения 39
5. Одночлены 39
6. Многочлены 39
7. Преобразование суммы и разности многочленов 40
8. Умножение многочлена на одночлен и многочлена
9. Разложение многочлена на множители способом вынесения общего множителя за скобки 41
10. Разложение многочлена на множители способом
11. Тождества сокращенного умножения 42
12. Выделение квадрата двучлена из квадратного трехчлена. 43
13. Примеры использования различных способов разложения на множители 43
Контрольные вопросы 44
Задания для повторения 47
Решения и методические указания 48
Тема 5
Теоретические сведения
1. Понятие об иррациональном числе 54
2. Множество действительных чисел 54
3. Арифметические действия с действительными числами . 55
4. Корень к-& степени из действительного числа 56
5. Преобразования арифметических корней 57
6. Степени с целыми и дробными показателями 59
7. Примеры применения тождеств сокращенного умножения к действиям над степенями 59
Контрольные вопросы 60
Задания для повторения 63
Решения и методические указания 63
Тема 6
Теоретические сведения
1. Понятие функции 73
2. Способы задания функции 74
3. Монотонность функции 74
4. Четные и нечетные функции 75
5. Периодические функции 76
6. Промежутки знакопостоянства и корни функции 76
7. Уравнения с одной переменной 76
8. Понятие о равносильности уравнений 77
9. Свойства числовых равенств и теоремы о равносильности
10. Примеры решения уравнений с одной переменной 78
Контрольные вопросы 79
Задания для повторения 81
Решения и методические указания 82
Тема 7
Теоретические сведения
1. Линейная функция и ее график 87
2. Квадратичная функция и ее график 88
3. Функция у = - и ее график 89
4. Дробно-линейная функция и ее график 90
5. Квадратные уравнения 91
6. Теорема Виета 92
7. Графический способ решения квадратных уравнений 92
8. Уравнения с несколькими переменными 93
9. Системы уравнений 93
Контрольные вопросы 95
Задания для повторения 100
Решения и методические указания 101
Тема 8
Теоретические сведения
1. Неравенства 122
2. Основные свойства неравенств 123
3. Действия с неравенствами 124
4. Доказательство неравенств 124
5. Неравенства, содержащие переменную 126
6. Решение линейных и квадратных неравенств 127
Контрольные вопросы 129
Задания для повторения 131
Решения и методические указания 131
Тема 9
Теоретические сведения
1. Системы и совокупности неравенств 135
2. Неравенства и системы неравенств с двумя переменными 137
3. Решение неравенств, содержащих переменную под знаком модуля 139
4. Решение рациональных неравенств методом интервалов 140
5. Расположение корней квадратного трехчлена 142
Контрольные вопросы 146
Задания для повторения 148
Решения и методические указания 149
Тема 10
Теоретические сведения
1. Обратная функция 159
2. Степенная функция с целым показателем 160
3. Функция y =hJx 162
4. Иррациональные уравнения 162
5. Иррациональные неравенства 163
Контрольные вопросы 164
Задания для повторения 167
Решения и методические указания 168
Тема 11
Теоретические сведения
1. Понятие о степени положительного числа с иррациональным показателем 187
2. Показательная функция, ее свойства и график 188
3. Показательные уравнения 189
4. Показательные неравенства 190
5. Системы показательных уравнений и неравенств 190
Контрольные вопросы 192
Задания для повторения 195
Решения и методические указания 196
Тема 12
Теоретические сведения
1. Понятие логарифма 210
2. Свойства логарифмов 210
3. Логарифмическая функция, ее свойства и график 211
4. Теоремы о логарифме произведения, частного и степени. Формула перехода к новому основанию 212
5. Десятичные логарифмы и их свойства 214
6. Логарифмирование и потенцирование 215
7. Логарифмические уравнения 215
8. Логарифмические неравенства 217
9. Системы логарифмических уравнений и неравенств 219
Контрольные вопросы 221
Задания для повторения 223
Решения и методические указания 225
Тема 13
Теоретические сведения
1. Арифметическая прогрессия 238
2. Геометрическая прогрессия 240
3. Сумма бесконечной геометрической прогрессии при |д| < 1 242
Контрольные вопросы 243
Задания для повторения 247
Решения и методические указания 248
Тема 14
Теоретические сведения
1. Поворот точки вокруг начала координат 258
2. Градусное и радианное измерение угловых величин 259
3. Тригонометрические функции числового аргумента 260
4. Знаки тригонометрических функций 261
5. Зависимость между тригонометрическими функциями одного и того же аргумента 262
6. Вычисление значений тригонометрических функций некоторых углов 264
7. Четность и нечетность тригонометрических функций 266
8. Периодичность тригонометрических функций 266
9. Свойства тригонометрических функций 267
10. Формулы сложения 269
11. Формулы приведения 270
Контрольные вопросы 271
Задания для повторения 273
Решения и методические указания 275
Тема 15
Теоретические сведения
1. Тригонометрические функции двойного аргумента 282
2. Тригонометрические функции половинного аргумента 284
3. Выражение тригонометрических функций через тангенс половинного аргумента 285
4. Преобразование произведения тригонометрических функций в сумму 286
5. Формулы суммы и разности одноименных тригонометрических функций 288
Контрольные вопросы 290
Задания для повторения 292
Решения и методические указания 294
Тема 16
Теоретические сведения
1. Свойства функции y = sin x и ее график 303
2. Функция y = arcsin x и ее график 304
3. Решение уравнения sin x = a 305
4. Свойства функции y = cos x и ее график 306
5. Функция y = arccos x и ее график 307
6. Решение уравнения cos x = a 308
7. Свойства функции у = tg х и ее график 309
8. Функция у = arctg х и ее график 310
9. Решение уравнения tg х = а 311
10. Свойства функции у = ctg x и ее график 311
11. Функция у = arcctg x и ее график 312
12. Решение уравнения ctg x = a 313
13. Некоторые соотношения для аркфункций 314
Контрольные вопросы 316
Задания для повторения 321
Решения и методические указания 323
Тема 17
Теоретические сведения
1. Решение тригонометрических уравнений методом разложения на множители 351
2. Решение тригонометрических уравнений методом введения новой переменной 352
3. Решение тригонометрических уравнений, однородных относительно синуса и косинуса 353
4. Решение тригонометрических уравнений вида a cos х + Ь sin x = с 354
5. Решение простейших тригонометрических неравенств 356
Контрольные вопросы 357
Задания для повторения 361
Решения и методические указания 364
Тема 18
Теоретические сведения
1. Приращение аргумента и приращение функции 389
2. Предел функции 390
3. Непрерывность функции 392
4. Определение производной 393
5. Производная суммы 394
6. Производная произведения 395
7. Производная частного 395
8. Производная степенной функции 396
9. Производная сложной функции 396
Контрольные вопросы 396
Задания для повторения 398
Решения и методические указания 400
Тема 19
Теоретические сведения
1. Касательная к графику функции 407
2. Скорость и ускорение в данный момент времени 409
3. Применение производной к нахождению промежутков монотонности функции 411
4. Критические точки функции, ее максимумы и минимумы 412
5. Общая схема исследования функции 414
6. Задачи на отыскание наименьшего и наибольшего значений функции 417
Контрольные вопросы 418
Задания для повторения 423
Решения и методические указания 425
Тема 20
Теоретические сведения
1. Непрерывность тригонометрических функций 441
2. Первый замечательный предел 441
3. Производные тригонометрических функций 442
4. Производные логарифмической и показательной функций.
Контрольные вопросы 445
Задания для повторения 448
Решения и методические указания 449
Тема 21
Теоретические сведения
1. Первообразная 462
2. Основное свойство первообразной 463
3. Правила нахождения первообразных 463
4. Площадь криволинейной трапеции 464
Контрольные вопросы 465
Задания для повторения 467
Решения и методические указания 469
Тема 22
Теоретические сведения
1. Формула Ньютона-Лейбница 483
2. Основные правила интегрирования 485
3. Вычисление площадей с помощью интеграла 486
4. Физические приложения интеграла 488
Контрольные вопросы 491
Задания для повторения 492
Решения и методические указания 493
ПРИЛОЖЕНИЕ
Варианты билетов для вступительных письменных экзаменов. 503
ПРЕДИСЛОВИЕ.
    Данная книга предназначена для самостоятельного повторения школьного курса алгебры и начал анализа, а также для подготовки к выпускным экзаменам в средней школе и вступительным экзаменам в высшее учебное заведение.
    Весь учебный материал разбит на 22 темы, которые имеют одну и ту же структуру. Каждая тема содержит: теоретические сведения; контрольные вопросы; упражнения (включая задания для повторения); ответы, решения и методические указания к упражнениям.
    В разделе «Теоретические сведения» приводятся формулировки правил, определений, теорем и т. д. Весь учебный материал изложен конспективно в той же последовательности, что и при изучении его в школе. В этом разделе имеются также подробно разобранные примеры, позволяющие частично закрепить усвоение теории. Указанный раздел является узловым, поскольку в случае затруднений при ответах на контрольные вопросы или при решении упражнений учащийся может получить необходимые консультации, обращаясь к справочному материалу.
    Раздел «Контрольные вопросы» призван обеспечить контроль за усвоением теоретического материала. Отвечая на поставленные вопросы, учащийся сможет закрепить полученные им теоретические знания.