Геометрия, учебник для вузов, Кузютин В.Ф., Зенкевич Н.А., Еремеев В.В., 2003

Геометрия, учебник для вузов, Кузютин В.Ф., Зенкевич Н.А., Еремеев В.В., 2003.
Основу учебного пособия составляет материал курса лекций, читавшегося авторами на протяжении ряда лет в рамках основного курса «Геометрия» на факультете прикладной математики — процессов управления Санкт-Петербургского государственного университета.
Учебное пособие состоит из трех частей: аналитическая, дифференциальная и многомерная геометрия, каждая из которых разбита на главы и параграфы. В конце каждой главы приводятся задачи с решениями и набор упражнений для самостоятельной работы.
Рекомендуется в качестве учебного пособия для студентов математических, экономико-математических и технических специальностей университетов.
§ 11. ДЕКАРТОВЫ ПРЯМОУГОЛЬНЫЕ
СИСТЕМЫ КООРДИНАТ НА ПРЯМОЙ, ПЛОСКОСТИ И В ТРЕХМЕРНОМ ПРОСТРАНСТВЕ.
Особое место среди аффинных систем координат занимает декартова прямоугольная система координат как наиболее часто используемая на практике.
Базис называется ортонормированным, если базисные векторы единичные и попарно перпендикулярные.
Аффинная система координат с ортонормированным базисом называется декартовой прямоугольной системой координат.
Иногда рассматривают декартовы косоугольные системы координат, у которых базисные векторы единичные, но пересекаются под произвольными углами.
В дальнейшем декартову прямоугольную систему координат будем обозначать ДПСК. Аффинные координаты вектора (точки) в ДПСК называются декартовыми прямоугольными координатами вектора (точки) в данной ДПСК

ОГЛАВЛЕНИЕ
Предисловие научного редактора.
Часть 1 АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ
Глава 1. Системы координат
§ 1. Векторы.
§ 2. Линейные операции над векторами.
§ 3. Линеал.
§ 4. Линейная зависимость и независимость.
§ 5. Геометрический смысл линейной зависимости и независимости векторов на плоскости и в трехмерном пространстве.
§ 6. Базис линеала.
§ 7. Размерность линеала.
§ 8. Изоморфизм линеалов.
§ 9. Аффинные пространства.
§ 10. Аффинные системы координат.
§ 11. Декартовы прямоугольные системы координат на прямой, плоскости и в трехмерном пространстве.
§ 12. Геометрический смысл декартовых координат на прямой
§ 13. Геометрический смысл декартовых координат на плоскости
§ 14. Геометрический смысл декартовых координат в трехмерном пространстве.
§ 15. Деление вектора в заданном отношении.
§ 16. Полярной система координат на плоскости.
§ 17. Обобщенные полярные координаты на плоскости.
§ 18. Цилиндрические координаты в трехмерном пространстве
§ 19. Сферические координаты в трехмерном пространстве.
§ 20. Скалярное произведение векторов.
§ 21. Евклидовы, нормированные и метрические пространства
§ 22. Векторное произведение векторов.
§ 23. Смешанное произведение трех векторов.
§ 24. Двойное векторное произведение.
Глава 2. Преобразование координат.
§ 1. Преобразование координат на декартовой оси.
§ 2. Преобразование декартовых прямоугольных координат на плоскости.
§ 3. Преобразование декартовых прямоугольных координат в трехмерном пространстве.
§ 4. Преобразование координат в трехмерном пространстве с помощью углов Эйлера.
§ 5. Преобразование координат в многомерном линеале.
§ 6. Преобразование аффинных координат.
Глава 5. Линии и поверхности первого порядка.
§ 1. Уравнения линий и поверхностей.
§ 2. Алгебраические линии и поверхности.
§ 3. Векторное и общее уравнение плоскости в трехмерном пространстве (прямой на плоскости).
§ 4. Уравнение «в отрезках» плоскости в трехмерном пространстве (прямой на плоскости).
§ 5. Параметрические уравнения плоскости.
§ 6. Уравнение с угловым коэффициентом прямой на плоскости.
§ 7. Взаимное расположение плоскостей в пространстве (прямых на плоскости).
§ 8. Геометрический смысл неравенств первой степени.
§ 9. Нормированное уравнение плоскости (прямой на плоскости)
§ 10. Пучки плоскостей (прямых на плоскости).
§ 11. Связки плоскостей.
§ 12. Гиперплоскость.
§ 13. Векторное параметрическое, параметрические и общие векторные уравнения прямой в пространстве.
§ 14. Угол между прямыми и их взаимное расположение в трехмерном пространстве.
§ 15. Угол между прямой и плоскостью. Взаимное расположение прямых и плоскостей в трехмерном пространстве.
§ 16. Связка прямых в трехмерном пространстве.
Глава 4. Линии второго порядка.
§ 1. Эллипс.
1.1. Каноническое уравнение (144) 1.2. Исследование формы (146) 1.3. Параметрические уравнения (148) IА.Эксцентриситет(149) 1.5.Фокальные радиус (149) 1.6. Директрисы {149) 1.7. Уравнение в полярных координатах (151) 1.8. Построение эллипса (151)
§ 2. Гипербола.
2.1. Каноническое уравнение (152) 2.2. Исследование формы (155) 2.3. Параметрические уравнения (158) 2.4. Эксцентриситет (159) 2.5. Фокальные радиусы (159) 2.6. Директрисы (160) 21. Уравнение гиперболы в полярных координатах (161) 2.8. Построение гиперболы по точкам(162)
§ 3. Парабола.
3.1 Каноническое уравнение (163) 3.2. Исследование формы (165) 3.3. Уравнение параболы в полярных координатах (167) ЗА. Построение параболы по точкам (167)
§ 4. Преобразование коэффициентов общего уравнения линии второго порядка при параллельном переносе системы координат.
§ 5. Упрощение общего уравнения линии второго порядка при параллельном переносе системы координат
§ 6. Преобразование коэффициентов общего уравнения линии второго порядка при повороте системы координат
§ 7. Упрощение общего уравнения линии второго порядка при повороте системы координат
§ 8. Приведение к каноническому виду общего уравнения линии второго порядка.
Глава 5. Поверхности второго порядка
§ 1. Уравнения поверхностей вращения
§ 2. Эллипсоид.
§ 3. Однонолостный гиперболоид.
§ 4. Двуполостный гиперболоид
§ 5. Эллиптический параболоид.
§ 6. Гиперболический параболоид.
§ 7. Цилиндрические поверхности.
§ 8. Цилиндры второго порядка.
§ 9. Конические поверхности
§ 10. Конические поверхности второго порядка
§ 11. Прямолинейные образующие однополостного гиперболоида
§ 12. Прямолинейные образующие гиперболического параболоида
§ 13. Преобразование коэффициентов общего уравнения поверхности второго порядка при параллельном переносе системы координат.
§ 14. Упрощение общего уравнения поверхности второго порядка при параллельном переносе системы координат
§ 15. Преобразование коэффициентов общего уравнения поверхности второго порядка при повороте системы координат
§ 16. Упрощение общего уравнения поверхности второго порядка при повороте системы координат
§ 17. Приведение к каноническому виду общего уравнения поверхности второго порядка.
§ 18. Классификация поверхностей второго порядка.
§ 19. Гиперповерхности второго порядка.
Глава 6. Исследование линий и поверхностей второго порядка, заданных уравнениями общего вида, с помощью инвариантов.
§ 1. Преобразование квадратичной формы к новым переменным
§ 2. Инварианты общего уравнения линии второго порядка относительно преобразования координат
§ 3. Инварианты общего уравнения поверхности второго порядка относительно преобразования координат
§ 4. Исследование общего уравнения линии второго порядка с помощью инвариантов
§ 5. Исследование общего уравнения поверхности второго порядка с помощью инвариантов.
Часть2 ЭЛЕМЕНТЫ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЙ ГЕОМЕТРИИ
Глава 7. Элементы векторного анализа.
§ 1. Векторная функция. Предел. Непрерывность
§ 2. Производная векторной функции. Формула Тейлора
§ 3. Неопределенный и определенный интеграл от векторной функции
Глава 8. Элементы теории кривых.
Глава 8. Элементы теории кривых § 1. Понятие кривой
§ 2. Касательная к кривой. Нормальная плоскость кривой.
§ 3. Соприкасающаяся плоскость кривой. Спрямляющая плоскость кривой. Нормаль. Главная нормаль. Бинормаль
§ 4. Длина дуги кривой
§ 5. Естественная параметризация
§ 6. Кривизна кривой
§ 7. Кручение кривой
§ 8. Формулы Френе.
§ 9. Взаимное расположение кривой и граней естественного трехгранника.
§ 10. Натуральные уравнения кривой
§ 11. Неявное уравнение кривой на плоскости
§ 12. Огибающая однопараметрического семейства плоских кривых
§ 13. Эволюта плоской кривой.
§ 14. Эвольвента плоской кривой.
Глава 9. Элементы теории поверхностей.
§ 1. Понятие поверхности.
§ 2. Касательная прямая к поверхности. Касательная плоскость и нормаль к поверхности.
§ 3. Первая квадратичная форма.
§ 4. Длина дуги кривой на поверхности
§ 5. Угол между кривыми на поверхности.
§ 6. Площадь поверхности.
§ 7. Вторая квадратичная форма поверхности
§ 8. Кривизна кривой, лежащей на поверхности
§ 9. Главные кривизны.
§ 10. Поверхности вращения §11. Линейчатые поверхности
Часть 3 ЭЛЕМЕНТЫ ВЫПУКЛОГО АНАЛИЗА
Глава 10. Геометрическая структура систем линейных уравнений.
§ 1. Векторное пространство.
§ 2. Системы линейных уравнений.
§ 3. Многомерные плоскости.
§ 4. Взаимное расположение многомерных плоскостей
§ 5. Уравнения геометрических объектов в евклидовом пространстве.
§ 6. Топология евклидова пространства.
Глава 11. Геометрия выпуклых множеств.
§ 1. Выпуклые множества.
§ 2. Выпуклые конусы.
§ 3. Отделимость выпуклых множеств.
§ 4. Конечные конусы.
§ 5. Выпуклые цилиндры.
Глава 12. Геометрическая структура систем линейных неравенств
§ 1. Выпуклое многогранное множество.
§ 2. Грани многогранного множества.
§ 3. Параметрическое уравнение многогранного множества.
§ 4. Геометрия задачи линейного программирования.
4.1. Формулировка задачи линейного программирования (403)
4.2. Геометрическая интерпретация решения ЗЛИ (405) Предметный указатель.
Литература.