Геометрия, Том 2, Берже М., 1984

Геометрия, Том 2, Берже М., 1984.
  Книга известного французского математика охватывает широкий круг вопросов классической геометрии в современном изложении. В ней удачно сочетаются общие абстрактные идеи и многочисленные примеры конкретных приложений. Издание богато иллюстрировано.
Для математиков различных специальностей, а также для читателей, интересующихся геометрией и желающих углубиться в изучение предмета.

Проективные квадрики.
Исторически проективные поверхности второго порядка (квадрики) возникли как проективное пополнение обычных поверхностей второго порядка, причем начиналось все с аффинных евклидовых конических сечений. В нашей книге изложение ведется в обратном порядке: проективные квадрики определяются как объекты, связанные в некотором проективном пространстве с квадратичной формой присоединенного векторного пространства. Поэтому можно сказать, что в некотором смысле теория проективных квадрик — это переведенная не другой язык теория квадратичных форм, причем перевод осуществляется с помощью некоторого словаря, который мы станем составлять но мере изложения материала данной главы. Эта и следующая глава содержат лишь немного трудных мест. Однако ее присутствие оправдано тем, что одного только словаря еще недостаточно для непринужденного разговора на иностранном языке. Такой результат, как 14.5.4.3, требует уже некоторой практики. Именно поэтому данная глава довольно растянута. В гл. 16 мы воспользуемся построенными здесь средствами, чтобы доказать менее очевидные результаты.
Основная идея состоит в том, что в проективное пространство можно перенести любое понятие, ведущее происхождение из теории векторных пространств и теории квадратичных форм, если это понятие не зависит от умножения на ненулевые скаляры. После первых определений мы сразу применяем в § 14.2 тот факт, что квадрики в проективном пространстве сами образуют проективное пространство. В частности, в гл. 16 важную роль играет понятие пучка квадрик. В § 14.3 изучается пластическая, визуальная природа квадрик, когда основное поле совпадает с полем вещественных или комплексных чисел, подобно тому как в § 4.3 мы изучали вещественные и комплексные проективные пространства. В § 14.4 рассматривается трехмерный случай и так называемые линейчатые поверхности второго порядка, которые очень просто определяются геометрически» Параграфы 14.5 и 14.6 посвящены вопросам двойственности.
Оглавление
Часть 4. квадратичные формы, квадрики и коники
Глава 13. Квадратичные формы
13.1 Определения. Примеры
13.2 Сингулярные и изотропные элементы, радикал, вырожденность и сингулярность
13.3 Ортогональность, несингулярное пополнение подпространства
13.4 Ортогональные базисы. Классификация для С и R
13.5 Одновременная ортогонализация двух квадратичных форм
13.6 Группа квадратичной формы. Общие сведения
13.7 Теоремы Витта и Картана — Дьедоние
13.8 Двумерный случай: плоскости Аргина, группа 0(1, 1)
13.9 Упражнения
Глава 14. Проективные квадрики
14.1 Определения, примеры
14.2 Подпространства в PQ (E); пучки квадрик
14.3 Топологические и дифференциальные свойства квадрик при К = R или С
14.4 Квадрики в размерности n = 4 с нейтральной формой q
14.5 Двойственность относительно собственной квадрики: полярность
14.6 Двойственность: касательные квадрики, тангенциальное уравнение
14.7 Группа собственной квадрики
14.8 Упражнения
Глава 15. Аффинные квадрики
15.1 Определения. Выражения в координатах
15.2 Приведение аффинных квадратичных форм
15.3 Классификация аффинных квадрик при К = R и С
15.4 Топологические и дифференциальные свойства вещественных и комплексных аффинных квадрик
15.5 Полярность относительно собственной аффинной квадрики
15.6 Евклидовы аффинные квадрики
15.7 Упражнения
Глава 16. Проективные коники
16.1 Напоминания, выражения в координатах, дополнения
16.2 Хорошие параметризации, двойное отношение четырех точек, теорема Паскаля
16.3 Томографии и группа данной коники. Приложения
16.4 Пересечение двух коник. Теорема Безу
16.5 Пучки коник
16.6 Большая теорема Понселе
16.7 Аффинные коники
16.8 Упражнения
Глава 17. Евклидовы коники
17.1 Принцип Декарта
17.2 Метрические свойства: элементарное изложение
17.3 Метрические свойства: бельгийское изложение
17.4 Метрические свойства: проективное изложение Плюккера
17.5 Пучки евклидовых коник и круговые точки
17.6 Касательные пучки коник, софокусные коники
17.7 Особые свойства эллипса
17.8 Особые свойства гипербол
17.9 Упражнения
Часть 5. внутренняя геометрия сферы, гиперболическая геометрия, пространство сфер
Глава 18. Внутренняя геометрия сферы
18.1 Определения, некоторые специальные размерности, карты и проекции
18.2 Общая и алгебраическая топология сферы
18.3 Сфера как гладкое многообразие. Каноническая мера
18.4 Внутренняя метрика на сфере
18.5 Группа изометрий сферы
18.6 Сферические треугольники
18.7 Выпуклые сферические многоугольники. Лемма Коши
18.8 Сфера S3: сферический вариант параллелизма Клиффорда
18.9 Приложение параллелизма Клиффорда к трехмерному евклидову пространству: окружности Вилларсо, паратаксия
18.10 Группа конформных преобразований сферы (группа Мёбиуса)
18.11 Упражнения
Глава 19. Эллиптическая и гиперболическая геометрии
19.1 Эллиптическая геометрия
19.2 Определение моделей Р и В
19.3 Основная формула и ее следствия
19.4 Группа изометрий
19.5 Каноническая мера на В
19.6 Конформная модель С
19.7 Заключительные замечания. Другие модели гиперболического пространства
19.8 Упражнения
Глава 20. Пространство сфер
20.1 Пространство обобщенных сфер
20.2 Фундаментальная квадратичная форма
20.3 Ортогональность
20.4 Пересечение сфер и угол между двумя сферами
20.5 k-сферы и пучки
20.6 Круговая группа Conf(E)
20.7 Полисферические координаты
20.8 Упражнения Литература
Литература на русском языке
Литература, добавленная при переводе
Указатель обозначений
Именной указатель
Предметный указатель.