Геометрия, Том 1, Берже М., 1984

Геометрия, Том 1, Берже М., 1984.
  Книга известного французского математика охватывает широкий круг вопросов классической геометрии в современном изложении. В ней удачно сочетаются общие абстрактные идеи и многочисленные примеры конкретных приложений. Издание богато иллюстрировано.
Для математиков различных специальностей, а также для читателей, интересующихся геометрией и желающих углубиться в изучение предмета.

Аффинные пространства.
В этой главе вводятся аффинные пространства — геометрические пространства, чаще других встречающиеся в нашей книге. Аффинное пространство — это векторное пространство, в котором мы забываем о выделенной точке, т. е. о точке 0, добавляя к линейным преобразованиям параллельные переносы. В результате элементарные свойства аффинных пространств, их морфизмы, аффинные подпространства представляют собой более или менее замаскированные свойства из линейной алгебры. Следовательно, большая часть доказательств проводится автоматически: чтобы доказать какой-нибудь результат в аффинном пространстве, нужно с помощью подходящих параллельных переносов свести его к векторному случаю, для чего часто требуется «векторизовать» рассматриваемое пространство в одной из его точек. По-настоящему геометрия вступает в свои права лишь с § 2.5, сначала в облике простых теорем Фалеса, Паппа и Дезарга. Единственный трудный, но обладающий красивой формулировкой результат — это основная теорема аффинной геометрии (§ 2.6), которая утверждает, что теоретико-множественное отображение одного аффинного пространства в другое, переводящее точки одной прямой в точки, тоже лежащие на одной прямой, является почти что аффинным преобразованием.
Конец данной главы посвящен вещественным пространствам конечной размерности и результатам, которые окажутся полезными в дальнейшем. На самом деле эти пространства, так же как и их аффинная группа GA (•), обладают некоторой канонической топологией. Они обладают также мерами Лебега, которые все пропорциональны друг другу. При помощи теории меры мы покажем, что с каждым компактом К из X связана некоторая точка, его центр, которая неподвижна при любом автоморфизме Х, оставляющем инвариантным К в целом. К тому же кругу идей относится результат, утверждающий, что подгруппа в GA (X), состоящая из автоморфизмов, которые оставляют инвариантным в целом некоторый компакт К с непустым множеством внутренних точек, компактна; обратно, всякая компактная подгруппа из GA (X) содержится в стабилизаторе некоторой точки из X.
Оглавление
К русскому изданию
Предисловие редактора перевода
Предисловие
ЧАСТЬ 1. ДЕЙСТВИЕ ГРУПП, АФФИННЫЕ И ПРОЕКТИВНЫЕ ПРОСТРАНСТВА
Глава 0. Общие понятия и обозначения
0.1 Множества
0.2 Алгебра
0.3 Метрические пространства
0.4 Общая топология
0.5 Гиперболическая тригонометрия
0.6 Мера Лебега, теория интегрирования
Глава 1. Группы, действующие на множестве: терминология, примеры, приложения
1.1 Определение
1.2 Примеры
1.3 Эффективность
1.4 Транзитивность
1.5 Стабилизаторы; однородные пространства
1.6 Орбиты, формула числа классов
1.7 Группы замощений
1.8 Замощения сферы S2, правильные многогранники и конечные подгруппы группы 0+ (3)
1.9 Упражнения
Глава 2. Аффинные пространства
2.1 Определения
2.2 Примеры. Аффинные реперы
2.3 Морфизмы аффинных пространств
2.4 Аффинные подпространства
2.5 Наконец кое-что из геометрии: Фалес, Папп, Дезарг
2.6 Основная теорема аффинной геометрии
2.7 Вещественные аффинные пространства конечной размерности
2.8 Упражнения
Глава 3. Универсальное пространство. Приложения
3.1 Универсальное пространство
3.2 Универсальное пространство и морфизмы
3.3 Полиномы на аффинном пространстве
3.4 Барицентры
3.5 Барицентры и морфизмы, барицентры и аффинные подпространства
3.6 Барицентрические координаты
3.7 Упражнения
Глава 4. Проективные пространства
4.0 Введение
4.1 Определение, примеры
4.2 Описание проективных пространств: карты
4.3 Описание проективных пространств: топология и алгебраическая топология
4.4 Проективные реперы
4.5 Морфизмы
4.6 Подпространства
4.7 Перспектива; аэрофотосъемка
4.8 Некоммутативный случай
4.9 Упражнения
Глава 5. Аффинно-проективные связи; приложения
5.0 Введение
5.1 Проективное пополнение аффинного пространства
5.2 Примеры
5.3 Связи между аффинными и проективными подпространствами; параллельность
5.4 Метод отправки объектов в бесконечность; приложения
5.5 Упражнения
Глава 6. Проективные прямые: двойное отношение, томографии, инволюции
6.1 Определение двойного отношения
6.2 Вычисление двойного отношения
6.3 Эффект перестановки
6.4 Гармоническое отношение
6.5 Двойное отношение и двойственность; приложения
6.6 Томографии проективной прямой
6.7 Инволюции
6.8 Упражнения
Глава 7. Комплексификация
7.0 Введение
7.1 Комплексификация вещественного векторного пространства
7.2 Функториальность операции •с, или комплексификация морфизмов
7.3 Комплексификация полиномов
7.4 Подпространства и комплексификация
7.5 Комплексификация проективного пространства
7.6 Комплексификация аффинного пространства
7.7 Упражнения
ЧАСТЬ 2. ЕВКЛИДОВЫ ПРОСТРАНСТВА, ТРЕУГОЛЬНИКИ, ОКРУЖНОСТИ И СФЕРЫ
Глава 8. Евклидовы векторные пространства: напоминания и дополнения
8.1 Определение и элементарные свойства евклидова пространства
8.2 Ортогональная группа: элементарные свойства и план изучения
8.3 Строение группы 0(E) при dim E=2
8.4 Канонический вид изометрии. Образующие групп О(Е) и 0+ (E)
8.5 Простота группы 0(E)
8.6 Углы между прямыми и лучами
8.7 Ориентированные углы на плоскости
8.8 Подобия; изотропный конус и изотропные прямые
8.9 Кватернионы. Применение к группам 0+ (3) и 0+ (4)
8.10 Группы 0+ (n) и алгебраическая топология
8.11 Каноническая форма объема в ориентированном евклидовом пространстве. Смешанное произведение, векторное произведение
8.12 Упражнения
Глава 9. Евклидовы аффинные пространства
9.1 Определения. Изометрии. Перемещения
9.2 Ортогональные подпространства; расстояния
9.3 Структура изометрий. Образующие групп Is(X) и Is+(X)
9.4 Структура изометрии плоскости и многоугольный бильярд
9.5 Подобия
9.6 Подобия на плоскости
9.7 Расстояния между многими точками
9.8 Стабилизаторы подмножеств
9.9 Длина кривой
9.10 Метрика и дифференциальная геометрия: формула первой вариации
9.11 Хаусдорфово расстояние между компактами
9.12 Каноническая мера в евклидовом аффинном пространстве. Объемы
9.13 Симметризация по Штейнеру
9.14 Упражнения
Глава 10. Треугольники, сферы и окружности
10.1 Треугольники: определения и обозначения
10.2 Классические результаты
10.3 Сводка формул
10.4 Неравенства и задачи на минимум
10.5 Многоугольники
10.6 Тетраэдры
10.7 Сферы
10.8 Инверсия
10.9 Окружности на плоскости
10.10 Пучки окружностей
10.11 Задачи об окружностях
10.12 Паратаксия: прелюдия к § 18.9, 20.5 и 20.7
10.13 Упражнения
ЧАСТЬ 3. ВЫПУКЛЫЕ ТЕЛА И ПОЛИЭДРЫ, ПРАВИЛЬНЫЕ МНОГОГРАННИКИ, ПЛОЩАДИ И ОБЪЕМЫ
Глава 11. Выпуклые множества
11.1 Определение. Примеры
11.2 Выпуклость и общая топология. Размерность выпуклого множества
11.3 Топология выпуклых множеств
11.4 Выпуклые множества и гиперплоскости; теоремы о разделении
11.5 Опорные гиперплоскости; применения
11.6 Граница выпуклого множества, вершины, крайние точки
11.7 Теорема Хелли и ее приложения
11.8 Выпуклые функции
11.9 Упражнения
Глава 12. Многогранники, выпуклые компакты
12.1 Определения, примеры, иллюстрации
12.2 Объем многогранников
12.3 Площадь поверхности многогранника
12.4 Правильные многоугольники
12.5 Правильные многогранники: определение, примеры
12.6 Правильные многогранники: классификация
12.7 Формула Эйлера
12.8 Теорема Коши
12.9 Аппроксимация выпуклых компактов многогранниками
12.10 Площадь поверхности выпуклых компактов
12.11 Изопериметрическое неравенство
12.12 Упражнения.