Геометрия. 10 класс. Учебник с углубленным изучением математики. Александров А.Д., Вернер А.Л, Рыжик В.И. 1999

Название: Геометрия. 10 класс. Учебник с углубленным изучением математики.
Автор: Александров А.Д., Вернер А.Л, Рыжик В.И.
1999
   Этот учебник - переработанный вариант учебника А. Д. Александрова, А. Л. Вернера, В. И. Рыжика «Геометрия, 10-11» для углубленного изучения математики (М.: Просвещение, 1988-1995).
В результате переработки учебник представлен двумя книгами: «Геометрия, 10»4 и «Геометрия, 11», в которых последовательность и большей частью содержание глав сохранены. Изменения коснулись в основном задачного материала: смысловой единицей в этом варианте полагается весь параграф, а не его пункт, что и определило структуру задач в этом издании. (Для лучшей ориентировки в номере каждой задачи указано в скобках, к какому пункту параграфа она отнесена.) Все задачи распределены по рубрикам: «Дополняем теорию», «Доказываем», «Исследуем», «Рассуждаем», «Планируем», «Разбираемся в решении», «Участвуем в олимпиаде» и др. В них оптимально отражены все три составляющие геометрии: логика, наглядное воображение и практика.
   В предыдущих классах мы изучали главным образом геометрию на плоскости - планиметрию, а теперь будем заниматься геометрией в пространстве. Ее называют стереометрией (от греческих слов «стереос - телесный, пространственный, «метрео» - измеряю).
Обращаясь к геометрии в пространстве - к стереометрии, будем предполагать, что геометрия на плоскости - планиметрия - нам известна.
Каждый представляет наглядно плоскость или по крайней мере конечный кусок плоскости, например плоскость стола, доски и т. п. В планиметрии плоскость рассматривается сама по себе, независимо от окружающего пространства. Однако, занимаясь геометрией на плоскости, мы все же помним, что плоскость расположена в пространстве и что в нем много плоскостей. На каждой из них выполняется планиметрия.
Таким образом, в стереометрии плоскость — это фигура, на которой выполняется планиметрия, т.е. справедливы аксиомы планиметрии, а вместе с ними и их следствия — теоремы планиметрии. Можно не помнить всех аксиом планиметрии, надо только понимать, что плоскость — это фигура, в которой есть точки, прямые, отрезки, углы с их основными свойствами, а за ними и другие известные фигуры: треугольники, окружности и т. д. Свойствами этих плоских фигур, теоремами о них, доказанными в планиметрии,   мы   постоянно   будем, пользоваться.
ОГЛАВЛЕНИЕ:
Введение 7
Глава I ОСНОВАНИЯ СТЕРЕОМЕТРИИ 13
§ 1. Аксиомы стереометрии 14
1.1. Аксиома, плоскости
1.2. Аксиомы о прямой 15
1.3. Аксиома разбиения пространства плоскостью 17
1.4. Аксиома расстояния 18
Дополнение к параграфу 1.0 величинах 20
Задачи 22
§ 2. Способы задания прямых и плоскостей в пространстве 28
2.1. Прямая, заданная двумя точками
2.2. Плоскость, определяемая тремя точками 29
2.3. Плоскости, проходящие через прямую 30
Задачи 32
§ 3. Взаимное расположение прямых в пространстве 35
3.1. Классификация взаимного расположения прямых в пространстве. Скрещивающиеся прямые
3.2. Параллельные прямые 37
Задачи 40
§ 4. Параллельное проектирование 43
4.1. Определение параллельного проектирования
4.2. Основные свойства параллельного проектирования 44
4.3. Изображение разных фигур в параллельной проекции 46
Задачи 50
§ 5. Существование и единственность. Построения 52
5.1. Существование и единственность —
5.2. Построения в пространстве как теоремы существования 53
5.3. Конструктивные и неконструктивные доказательства существования 55
5.4. О построении пирамид и„призм 56
5.5. Построения на чертежах пространственных фигур и реальные построения 58
Задачи 59
§ 6. Об аксиомах 61
6.1. Определение основных понятий __
6.2. Роль аксиом 62
6.3. Условность аксиом 63
Дополнение к параграфу 6. Аксиоматика евклидовой планиметрии 65
Задачи к главе I 67
Итоги главы I 69
Глава II ПЕРПЕНДИКУЛЯРНОСТЬ И ПАРАЛЛЕЛЬНОСТЬ ПРЯМЫХ И ПЛОСКОСТЕЙ 71
§ 7. Перпендикулярность прямой и плоскости 72
7.1. Определение перпендикулярности прямой и плоскости. Перпендикуляр и наклонная —
7.2. О значении перпендикуляра 73
7.3. Основной признак перпендикулярности прямой и плоскости 75
7.4. Построение взаимно перпендикулярных прямой и плоскости : 76
7.5. Связь между' параллельностью прямых и перпендикулярностью прямой и плоскости 79
7.6. Прямая, перпендикулярная данной плоскости. Симметрия относительно плоскости 81
7.7. Три взаимно перпендикулярные прямые 83
Задачи 84
§ 8. Перпендикулярность плоскостей 89
8.1. Определение перпендикулярности плоскостей —
8.2. Свойства взаимно перпендикулярных плоскостей 91
8.3. Признак перпендикулярности плоскостей 92
8.4. Две пересекающиеся плоскости, перпендикулярные третьей плоскости 92
Задачи 93
§ 9. Параллельные плоскости 96
9.1. Первый признак параллельности плоскостей —
9.2. Леммы о пересечении прямой или плоскости с параллельными плоскостями 97
9.3. Основная теорема о параллельных плоскостях 98
9.4. Прямая, перпендикулярная двум параллельным плоскостям 99
Задачи
§ 10. Параллельность прямой и плоскости 104
10.1. Классификация взаимного расположения прямой и плоскости
10.2. Признак параллельности прямой и плоскости 105
10.3. Второй признак параллельности плоскостей 106
Задачи
§ 11. Ортогональное проектирование . 111
Дополнение к параграфу 11. Метод Монжа и начертательная геометрия ИЗ
Задачи 115
Задачи к главе II 117
Итоги главы II 120
Глава III РАССТОЯНИЯ И УГЛЫ 122
§ 12. Расстояние между фигурами —
12.1. Расстояние от точки до фигуры —
12.2. Теорема о ближайшей точке 124
12.3. Расстояние между фигурами 126
12.4. Расстояние между прямыми и плоскостями. Общие перпендикуляры 127
12.5. Расстояние и параллельность 129
Задачи 130
§ 13. Пространственная теорема Пифагора 136
13.1. Три формулировки теоремы Пифагора —
13.2. Пространственная теорема Пифагора для проекций 137
13.3. О значении теоремы Пифагора 138
Задачи 140
§ 14. Углы 143
14.1. Угол между лучами —
14.2. Угол между прямыми 145
14.3. Угол между прямой и плоскостью 146
14.4. Двугранный угол . 147
14.5. Угол между плоскостями 148
Дополнение к параграфу 14. Трехгранные углы 149
Задачи 153
Задачи к главе III 159
Итоги главы III 162
Глава IV ПРОСТРАНСТВЕННЫЕ ФИГУРЫ И ТЕЛА 163
§ 15. Сфера и шар —
15.1. Понятия сферы и шара ,. . —
15.2. Пересечение шара и сферы с плоскостью 165
15.3. Касание шара и сферы с плоскостью 167
15.4. Вид и изображение шара 168
15.5. Симметрия сферы и шара —
15.6. Шар и расстояние от точки до фигуры 170
Дополнение к параграфу 15. Сферические треугольники 171
Задачи 173
§ 16. Опорная плоскость 178
16.1. Опорная прямая —
16.2. Опорная плоскость 179
16.3. Ограниченные фигуры. Диаметр фигуры 180
Дополнение к параграфу 16. Опорные плоскости в концах диаметра 181
Задачи 182
§ 17. Выпуклые фигуры 183
Задачи 185
§ 18. Цилиндры 186
18.1. Определение и свойства цилиндра —
18.2. Прямой круговой цилиндр 188
18.3. Симметрия цилиндра вращения 189
18:4. Выпуклые цилиндры —
Дополнение к параграфу 18. Эллипс как сечение цилиндра вращения 190
Задачи 192
§ 19. Конусы. Усеченные конусы . 195
19.1. Определение конуса. Конус вращения —
19.2. Сечение конуса плоскостью, параллельной плоскости его основания 197
19.3. Выпуклые конусы 198
19.4. Усеченный конус 199
19.5. Изображения конусов и усечённых конусов вращения 200
Дополнение к параграфу 19 —
I. Центральное проектирование —
II. Конические сечения 205
Задачи 207
§ 20. Тела 211
20.1. Наглядное представление о теле —
20.2. Граница и внутренность фигуры в пространстве 212
20.3. Определение тела 213
20.4. Граничные и внутренние точки плоских фигур. Замкнутая область 214
Дополнение к параграфу 20 216
I. Свойства границы —
II. Выпуклые тела 218
Задачи 222
Задачи к главе IV 224
Итоги главы IV 228