Геометрия. 10-11 класс. Калинин А.Ю., Терёшин Д.А. 2011

Название: Геометрия. 10-11 класс.
Автор: Калинин А.Ю., Терёшин Д.А.
2011
   В учебнике изложен курс геометрии для 10-11 классов средней школы (профильный уровень). Подробно разобран теоретический материал и многочисленные задачи. В каждой главе приводятся задачи для самостоятельного решения, к которым даны ответы и указания. Наряду со «стандартными» широко представлены «нестандартные» задачи, в том числе задачи математических олимпиад разного уровня и вступительных экзаменов в ведущие российские ВУЗы. В отдельную главу выделено систематическое обсуждение некоторых важных идей и методов решения задач.
Для учащихся школ с углубленным изучением математики и абитуриентов.
   Этот учебник представляет собой курс геометрии для старших классов профильной физико-математической школы.
Книга написана на основе лекций, читавшихся авторами с 1991 года учащимся физико-математических классов при Московском физико-техническом институте, созданных в конце восьмидесятых годов прошлого века на базе средней школы № 5 (ныне — физико-математический лицей № 5) г. Долгопрудного, а также на основе опыта проведения практических занятий по геометрии в этих классах.
Учебник обладает рядом особенностей, на которые нам хотелось бы обратить внимание читателей. В ту его часть, которая предлагается для изучения в десятом классе, включены некоторые разделы стереометрии, которые ранее традиционно относились к курсу одиннадцатого класса (например, двугранные и многогранные углы, элементы теории многогранников). Причин этому несколько.
ОГЛАВЛЕНИЕ
Предисловие 7
Благодарности 13
10 класс
Глава 0. Вводная
§ 0.1. Игра в геометрию 17
§ 0.2. Элементы логики и теории множеств 22
§ 0.3. Основные обозначения 30
Глава 1. Введение в стереометрию
§1.1. Неопределяемые понятия и аксиомы 33
§ 1.2. Простейшие следствия из аксиом 37
§ 1.3. Взаимное расположение двух прямых 40
§1.4. О существовании объектов и построениях 43
Задачи 45
Глава 2. Параллельность в пространстве
§2.1. Прямая и плоскость в пространстве 47
§ 2.2. Параллельность плоскостей. Транзитивность 50
§ 2.3. Параллельное и центральное проектирование 55
§ 2.4. Первоначальное понятие о многогранниках 59
§ 2.5. Изображение фигур в стереометрии 63
§ 2.6. Сечение многогранника. Построение сечений 67
§ 2.7. Применение проектирования 77
§ 2.8. Решение задач на сечения многогранников 84
Задачи 93
Глава 3. Векторы в пространстве
§3.1. Определение вектора. Линейные операции 101
§ 3.2. Компланарность векторов 107
§ 3.3. Угол между прямыми. Угол между векторами 112
§ 3.4. Скалярное произведение векторов 117
§ 3.5. Примеры решения задач 120
Задачи 125
Глава 4. Перпендикулярность в пространстве
§4.1. Перпендикулярность прямой и плоскости 129
§ 4.2. Связь параллельности и перпендикулярности 132
§ 4.3. Теорема о трёх перпендикулярах 133
§ 4.4. Дальнейшие сведения о многогранниках 134
§ 4.5. Угол между прямой и плоскостью 141
§ 4.6. Расстояние между фигурами 143
§ 4.7. Применение теорем о перпендикулярности 147
§ 4.8. Нахождение расстояний и углов 155
§ 4.9. Геометрический подход 161
Задачи 168
Глава 5. Двугранные и многогранные углы
§ 5.1. Двугранный угол и его измерение. Биссектор 173
§ 5.2. Угол между двумя плоскостями 177
§ 5.3. Площадь ортогональной проекции 182
§ 5.4. Многогранные углы. Трёхгранный угол 186
§ 5.5. Расчёт трёхгранных углов 191
Задачи 197
Глава 6. Элементы теории многогранников
§ 6.1. Пространственная область 201
§ 6.2. Многогранники и их элементы 203
§ 6.3. Правильные многогранники 204
§ 6.4*. Теорема Эйлера 208
Задачи 211
Глава 7. Геометрические места точек пространства
§ 7.1. Основные геометрические места точек 213
§ 7.2. Геометрические места точек 217
§ 7.3. Различные геометрические места точек 222
Задачи 226
Глава 8. Преобразования пространства
§ 8.1. Основные определения. Перемещения 229
§ 8.2. Параллельный перенос 237
§ 8.3. Поворот вокруг оси 240
§ 8.4. Центральная симметрия 245
§ 8.5. Преобразование подобия в пространстве 250
§ 8.6. Равенство и подобие треугольников 254
§ 8.7. Группы преобразований 256
§ 8.8. Классификация перемещений 264
Задачи 268
Глава 9. Решение задач
§ 9.1. Зависимость между углами в пирамиде 271
§ 9.2. Положение основания высоты пирамиды 276
§ 9.3. Метод вспомогательного объёма 282
§ 9.4. Вспомогательный многогранник 287
§ 9.5. Задачи на комбинации многогранников 295
Задачи 304
11 класс
Глава 10 Тела вращения
§ 10.1. Предварительные замечания 313
§ 10.2. Сфера и шар 326
§ 10.3. Части шара и сферы 330
§ 10.4. Комбинации шара с цилиндром, конусом 333
§ 10.5. Взаимное расположение двух сфер 338
§ 10.6. Комбинации с многогранниками 346
§ 10.7. Теоремы о касательных и секущих 358
§ 10.8. Комбинации шара с многогранниками 364
§ 10.9. Нестандартные комбинации 387
§ 10.10. Конические сечения 402
Задачи 411
Глава 11. Векторы в пространстве (продолжение)
§ 11.1. Векторное и смешанное произведения 423
§ 11.2. Приложения произведений векторов 434
§ 11.3. Уравнение прямой в пространстве 440
§ 11.4. Уравнение плоскости 447
§ 11.5. Некоторые примеры 453
§ 11.6. Декартова система координат 459
§ 11.7. Уравнение сферы 467
§11.8. Примеры решения задач методом координат 474
Задачи 482
Глава 12. Задачи на максимум и минимум
§ 12.1. Предварительные замечания 489
§ 12.2. Примеры решения задач 493
§ 12.3. Геометрические неравенства 513
Задачи 520
Глава 13. Объём и площадь поверхности тела
§ 13.1. Определение объёма 525
§ 13.2. Объём прямоугольного параллелепипеда 528
§ 13.3. Методы вычисления объёма. Объём цилиндра 534
§ 13.4. Объём тетраэдра 540
§ 13.5. Объём пирамиды и конуса 545
§ 13.6. Объём шара и его частей 546
§ 13.7. Об определении площади поверхности 549
§ 13.8. Площадь поверхности по Минковскому 555
Задачи 567
Приложение
Избранные теоремы и методы планиметрии
§ 1. Свойство биссектрисы угла треугольника 573
§ 2. Решение треугольников 576
§ 3. Некоторые формулы площади треугольника 581
§ 4. Формулы, связывающие элементы треугольника 585
§ 5. Следствия из теоремы о вписанном угле 589
§ 6. Вписанные и описанные многоугольники 594
§ 7. Геометрические места точек плоскости 599
§ 8. Теоремы Чевы и Менелая 607
Ответы и указания к задачам 614
Литература 636