Геометрия, 10-11 класс, Калинин А.Ю., Терёшин Д.А., 2011

Геометрия, 10-11 класс, Калинин А.Ю., Терёшин Д.А., 2011.
   В учебнике изложен курс геометрии для 10-11 классов средней школы (профильный уровень). Подробно разобран теоретический материал и многочисленные задачи. В каждой главе приводятся задачи для самостоятельного решения, к которым даны ответы и указания. Наряду со «стандартными» широко представлены «нестандартные» задачи, в том числе задачи математических олимпиад разного уровня и вступительных экзаменов в ведущие российские ВУЗы. В отдельную главу выделено систематическое обсуждение некоторых важных идей и методов решения задач.
Для учащихся школ с углубленным изучением математики и абитуриентов.

Игра в геометрию.
Изучая планиметрию, вы уже несколько лет играли в увлекательную игру под названием «геометрия». Правила этой игры вырабатывались тысячелетиями и окончательно сложились лишь к концу прошлого века. Их обсуждение естественно начать с вопроса: а что такое геометрия? Как это, быть может, ни странно, на этот вопрос очень трудно дать однозначный ответ. Геометрия многолика, и в школе изучается лишь малая часть того, что в современной математике принято называть геометрией. Но дело не только в этом. Даже если мы ограничимся рассмотрением планиметрии и стереометрии в традиционном их понимании, наша задача вряд ли будет существенно облегчена.
С одной стороны, геометрия — это аксиоматическая теория, которая изучает объекты абстрактной природы, находящиеся в определённых отношениях друг с другом. С другой стороны, геометрия изучает размеры и форму реальных тел. Для того чтобы понять, как соотносятся между собой две эти ипостаси геометрии, коротко проследим исторический путь её развития.
Всякая естественная наука начинается с установления некоторых фактов. Затем, по мере их накопления, вырабатываются законы и теории, превращающие науку в стройную систему. Так развивалась и геометрия. Ещё в древнем Египте и Вавилоне были известны многие содержательные факты, такие, как теорема Пифагора или формула для вычисления объёма пирамиды. Эти результаты были получены опытным путём, их справедливость подтверждалась
множеством экспериментов. Количество подмеченных геометрических закономерностей росло, и возникла задача систематизации накопленных знаний.
ОГЛАВЛЕНИЕ
Предисловие 7
Благодарности 13
10 класс
Глава 0. Вводная
§ 0.1. Игра в геометрию 17
§ 0.2. Элементы логики и теории множеств 22
§ 0.3. Основные обозначения 30
Глава 1. Введение в стереометрию
§1.1. Неопределяемые понятия и аксиомы 33
§ 1.2. Простейшие следствия из аксиом 37
§ 1.3. Взаимное расположение двух прямых 40
§1.4. О существовании объектов и построениях 43
Задачи 45
Глава 2. Параллельность в пространстве
§2.1. Прямая и плоскость в пространстве 47
§ 2.2. Параллельность плоскостей. Транзитивность 50
§ 2.3. Параллельное и центральное проектирование 55
§ 2.4. Первоначальное понятие о многогранниках 59
§ 2.5. Изображение фигур в стереометрии 63
§ 2.6. Сечение многогранника. Построение сечений 67
§ 2.7. Применение проектирования 77
§ 2.8. Решение задач на сечения многогранников 84
Задачи 93
Глава 3. Векторы в пространстве
§3.1. Определение вектора. Линейные операции 101
§ 3.2. Компланарность векторов 107
§ 3.3. Угол между прямыми. Угол между векторами 112
§ 3.4. Скалярное произведение векторов 117
§ 3.5. Примеры решения задач 120
Задачи 125
Глава 4. Перпендикулярность в пространстве
§4.1. Перпендикулярность прямой и плоскости 129
§ 4.2. Связь параллельности и перпендикулярности 132
§ 4.3. Теорема о трёх перпендикулярах 133
§ 4.4. Дальнейшие сведения о многогранниках 134
§ 4.5. Угол между прямой и плоскостью 141
§ 4.6. Расстояние между фигурами 143
§ 4.7. Применение теорем о перпендикулярности 147
§ 4.8. Нахождение расстояний и углов 155
§ 4.9. Геометрический подход 161
Задачи 168
Глава 5. Двугранные и многогранные углы
§ 5.1. Двугранный угол и его измерение. Биссектор 173
§ 5.2. Угол между двумя плоскостями 177
§ 5.3. Площадь ортогональной проекции 182
§ 5.4. Многогранные углы. Трёхгранный угол 186
§ 5.5. Расчёт трёхгранных углов 191
Задачи 197
Глава 6. Элементы теории многогранников
§ 6.1. Пространственная область 201
§ 6.2. Многогранники и их элементы 203
§ 6.3. Правильные многогранники 204
§ 6.4*. Теорема Эйлера 208
Задачи 211
Глава 7. Геометрические места точек пространства
§ 7.1. Основные геометрические места точек 213
§ 7.2. Геометрические места точек 217
§ 7.3. Различные геометрические места точек 222
Задачи 226
Глава 8. Преобразования пространства
§ 8.1. Основные определения. Перемещения 229
§ 8.2. Параллельный перенос 237
§ 8.3. Поворот вокруг оси 240
§ 8.4. Центральная симметрия 245
§ 8.5. Преобразование подобия в пространстве 250
§ 8.6. Равенство и подобие треугольников 254
§ 8.7. Группы преобразований 256
§ 8.8. Классификация перемещений 264
Задачи 268
Глава 9. Решение задач
§ 9.1. Зависимость между углами в пирамиде 271
§ 9.2. Положение основания высоты пирамиды 276
§ 9.3. Метод вспомогательного объёма 282
§ 9.4. Вспомогательный многогранник 287
§ 9.5. Задачи на комбинации многогранников 295
Задачи 304
11 класс
Глава 10 Тела вращения
§ 10.1. Предварительные замечания 313
§ 10.2. Сфера и шар 326
§ 10.3. Части шара и сферы 330
§ 10.4. Комбинации шара с цилиндром, конусом 333
§ 10.5. Взаимное расположение двух сфер 338
§ 10.6. Комбинации с многогранниками 346
§ 10.7. Теоремы о касательных и секущих 358
§ 10.8. Комбинации шара с многогранниками 364
§ 10.9. Нестандартные комбинации 387
§ 10.10. Конические сечения 402
Задачи 411
Глава 11. Векторы в пространстве (продолжение)
§ 11.1. Векторное и смешанное произведения 423
§ 11.2. Приложения произведений векторов 434
§ 11.3. Уравнение прямой в пространстве 440
§ 11.4. Уравнение плоскости 447
§ 11.5. Некоторые примеры 453
§ 11.6. Декартова система координат 459
§ 11.7. Уравнение сферы 467
§11.8. Примеры решения задач методом координат 474
Задачи 482
Глава 12. Задачи на максимум и минимум
§ 12.1. Предварительные замечания 489
§ 12.2. Примеры решения задач 493
§ 12.3. Геометрические неравенства 513
Задачи 520
Глава 13. Объём и площадь поверхности тела
§ 13.1. Определение объёма 525
§ 13.2. Объём прямоугольного параллелепипеда 528
§ 13.3. Методы вычисления объёма. Объём цилиндра 534
§ 13.4. Объём тетраэдра 540
§ 13.5. Объём пирамиды и конуса 545
§ 13.6. Объём шара и его частей 546
§ 13.7. Об определении площади поверхности 549
§ 13.8. Площадь поверхности по Минковскому 555
Задачи 567
Приложение
Избранные теоремы и методы планиметрии
§ 1. Свойство биссектрисы угла треугольника 573
§ 2. Решение треугольников 576
§ 3. Некоторые формулы площади треугольника 581
§ 4. Формулы, связывающие элементы треугольника 585
§ 5. Следствия из теоремы о вписанном угле 589
§ 6. Вписанные и описанные многоугольники 594
§ 7. Геометрические места точек плоскости 599
§ 8. Теоремы Чевы и Менелая 607
Ответы и указания к задачам 614
Литература 636.