Геометрия, 10-11 класс, Атанасян Л.С., Бутузов В.Ф., Кадомцев С.Б., 2008

Геометрия, 10-11 класс, Атанасян Л.С., Бутузов В.Ф., Кадомцев С.Б., 2008.
 
   Школьный курс геометрии состоит из двух частей: планиметрии и стереометрии. В планиметрии изучаются свойства геометрических фигур на плоскости. Стереометрия — это раздел геометрии, в котором изучаются свойства фигур в пространстве. Слово «стереометрия» происходит от греческих слов «стереос» — объемный, пространственный и «метрео» — измерять.

Тетраэдр и параллелепипед.
Одна из глав нашего курса будет посвящена многогранникам — поверхностям геометрических тел, составленным из многоугольников. Но еще до подробного изучения многогранников мы познакомимся с двумя из них — тетраэдром и параллелепипедом. Это даст нам возможность проиллюстрировать понятия, связанные со взаимным расположением прямых и плоскостей, на примере двух важных геометрических тел.
Прежде чем ввести понятия тетраэдра и параллелепипеда, вспомним, что мы понимали под многоугольником в планиметрии. Многоугольник мы рассматривали либо как замкнутую линию без самопересечений, составленную из отрезков (рис. 33, а), либо как часть плоскости, ограниченную этой линией, включая ее саму (рис. 33, б). При рассмотрении поверхностей и тел в пространстве будем пользоваться вторым толкованием многоугольника. При таком толковании любой многоугольник в пространстве представляет собой плоскую поверхность.
ОГЛАВЛЕНИЕ
Введение 3
1. Предмет стереометрии —
2. Аксиомы стереометрии 4
3. Некоторые следствия из аксиом 6
Вопросы и задачи 7
Глава I. Параллельность прямых и плоскостей
§ 1. Параллельность прямых, прямой и плоскости 9
4. Параллельные прямые в пространстве —
5. Параллельность трех прямых 10
6. Параллельность прямой и плоскости 11
Вопросы и задачи 13
§ 2. Взаимное расположение прямых в пространстве. Угол между двумя прямыми 15
7. Скрещивающиеся прямые —
8. Углы с сонаправленными сторонами 17
9. Угол между прямыми 18
Вопросы и задачи —
§ 3. Параллельность плоскостей 20
10. Параллельные плоскости —
11. Свойства параллельных плоскостей 21
Вопросы и задачи 22
§ 4. Тетраэдр и параллелепипед 24
12. Тетраэдр —
13. Параллелепипед 25
14. Задачи на построение сечений 27
Задачи 29
Вопросы к главе I 31
Дополнительные задачи 32
Глава II. Перпендикулярность прямых и плоскостей
§ 1. Перпендикулярность прямой и плоскости 34
15. Перпендикулярные прямые в пространстве —
16. Параллельные прямые, перпендикулярные к плоскости —
17. Признак перпендикулярности прямой и плоскости 36
18. Теорема о прямой, перпендикулярной к плоскости 38
Задачи —
§ 2. Перпендикуляр и наклонные. Угол между прямой и плоскостью 40
19. Расстояние от точки до плоскости —
20. Теорема о трех перпендикулярах 42
21. Угол между прямой и плоскостью —
Задачи 44
§ 3. Двугранный угол. Перпендикулярность плоскостей 47
22. Двугранный угол —
23. Признак перпендикулярности двух плоскостей 49
24. Прямоугольный параллелепипед 50
25*. Трехгранный угол 51
26*. Многогранный угол 52
Задачи 54
Вопросы к главе II 57
Дополнительные задачи —
Глава III. Многогранники
§ 1. Понятие многогранника. Призма 60
27. Понятие многогранника —
28*. Геометрическое тело 61
29*. Теорема Эйлера 62
30. Призма 63
31*. Пространственная теорема Пифагора 65
Задачи 67
§ 2. Пирамида 69
32. Пирамида —
33. Правильная пирамида —
34. Усеченная пирамида 71
Задачи 72
§ 3. Правильные многогранники 75
35. Симметрия в пространстве —
36. Понятие правильного многогранника 76
37. Элементы симметрии правильных многогранников 79
Практические задания —
Вопросы и задачи 80
Вопросы к главе III 81
Дополнительные задачи —
Глава IV. Векторы к пространстве
§ 1. Понятие вектора в пространстве 84
38. Понятие вектора —
39. Равенство векторов 85
Вопросы и задачи 86
§ 2. Сложение и вычитание векторов. Умножение вектора на число 87
40. Сложение и вычитание векторов —
41. Сумма нескольких векторов 88
42. Умножение вектора на число 89
Задачи 90
§ 3. Компланарные векторы 92
43. Компланарные векторы —
44. Правило параллелепипеда 93
45. Разложение вектора по трем некомпланарным векторам 94
Вопросы и задачи 95
Вопросы к главе IV 98
Дополнительные задачи 99
Глава V. Метод координат в пространств. Движения
§ 1. Координаты точки и координаты вектора 102
46. Прямоугольная система координат в пространстве —
47. Координаты вектора 103
48. Связь между координатами векторов и координатами точек 105
49. Простейшие задачи в координатах 106
Вопросы и задачи 107
§ 2. Скалярное произведение векторов 112
50. Угол между векторами —
51. Скалярное произведение векторов —
52. Вычисление углов между прямыми и плоскостями 113
53*. Уравнение плоскости 115
Задачи 116
§ 3. Движения 121
54. Центральная симметрия —
55. Осевая симметрия 122
56. Зеркальная симметрия —
57. Параллельный перенос 123
58*. Преобразование подобия 124
Задачи 125
Вопросы к главе V 126
Дополнительные задачи 127
Глава VI. Цилиндр, конус, шар
§ 1. Цилиндр 130
59. Понятие цилиндра —
60. Площадь поверхности цилиндра 132
Задачи 133
§ 2. Конус 135
61. Понятие конуса —
62. Площадь поверхности конуса 136
63. Усеченный конус 137
Задачи 138
§ 3. Сфера 140
64. Сфера и шар —
65. Уравнение сферы 141
66. Взаимное расположение сферы и плоскости —
67. Касательная плоскость к сфере 143
68. Площадь сферы 144
69*. Взаимное расположение сферы и прямой —
70*. Сфера, вписанная в цилиндрическую поверхность 145
71*. Сфера, вписанная в коническую поверхность 146
72*. Сечения цилиндрической поверхности 147
73*. Сечения конической поверхности 149
Задачи 150
Вопросы к главе VI 152
Дополнительные задачи 153
Разные задачи на многогранники, цилиндр, конус и шар 155
Глава VII. Объемы тел
§ 1. Объем прямоугольного параллелепипеда 157
74. Понятие объема —
75. Объем прямоугольного параллелепипеда 159
Задачи 161
§ 2. Объемы прямой призмы и цилиндра 162
76. Объем прямой призмы —
77. Объем цилиндра 163
Вопросы и задачи 164
§ 3. Объемы наклонной призмы, пирамиды и конуса 165
78. Вычисление объемов тел с помощью интеграла —
79. Объем наклонной призмы 167
80. Объем пирамиды 168
81. Объем конуса 170
Задачи 171
§ 4. Объем шара и площадь сферы 174
82. Объем шара —
83. Объемы шарового сегмента, шарового слоя и шарового сектора —
84. Площадь сферы 176
Вопросы и задачи 177
Вопросы к главе VII 178
Дополнительные задачи 179
Разные задачи на многогранники, цилиндр, конус и шар 180
Задачи для повторения 181
Задачи повышенной трудности 182
Глава VIII. Некоторые сведения из планиметрии
§ 1. Углы и отрезки, связанные с окружностью 187
85. Угол между касательной и хордой —
86. Две теоремы об отрезках, связанных с окружностью 188
87. Углы с вершинами внутри и вне круга 189
88. Вписанный четырехугольник 190
89. Описанный четырехугольник 192
Задачи 193
§ 2. Решение треугольников 195
90. Теорема о медиане —
91. Теорема о биссектрисе треугольника 196
92. Формулы площади треугольника 198
93. Формула Герона 199
94. Задача Эйлера 200
Задачи 204
§ 3. Теоремы Менелая и Чевы 206
95. Теорема Менелая —
96. Теорема Чевы 207
Задачи 209
§ 4. Эллипс, гипербола и парабола 211
97. Эллипс —
98. Гипербола 214
99. Парабола 217
Задачи 219
Приложения
1. Параллельная проекция фигуры —
2. Изображение фигуры 221
3. Изображение плоских фигур 222
4. Изображение пространственных фигур 224
2. Об аксиомах геометрии 225
Ответы и указания 234
Предметный указатель 249.