Функциональные, дифференциальные и интегральные уравнения, Сабитов К.Б., 2005

Функциональные, дифференциальные и интегральные уравнения, Сабитов К.Б., 2005.
   В пособии изложены чисто функциональные, обыкновенные дифференциальные, интегральные уравнения, а также дифференциальные уравнения в частных производных и классические методы их решения. На основании функциональных уравнений даны определения основных элементарных функций. Приведено множество примеров различных функциональных уравнений, среди них уравнения, которые предлагались на математических олимпиадах школьников и студентов.
Для студентов математических, физико-математических и технических факультетов ВУЗов, обучающихся по специальностям «Математика», «Прикладная математика и информатика», «Информатика», «Физика», а также учителей математики, информатики и физики, учащихся старших классов гимназий, лицеев и средних общеобразовательных школ с углубленным изучением математики.

Функции многих переменных.
1. Пространство Rn. До сих пор мы изучали функции одной независимой переменной. На практике часто возникают случаи, когда какая-нибудь величина зависит от двух или большего числа независимых переменных. Например, площадь S прямоугольника является функцией двух независимо друг от друга изменяющихся переменных - длин сторон прямоугольника а и b. Эта функция задается равенством : S = a b.
Объем V прямоугольного параллелепипеда есть функция трех независимо друг от друга изменяющихся величин - длин ребер параллелепипеда a,b,c: V = abс.
Работа А постоянного электрического тока на участке цепи зависит от разности потенциалов U на концах участка, силы тока I и времени t. Эта функциональная зависимость задается формулой: А = IUt.
Прежде чем перейти к изучению функций многих переменных рассмотрим множества, на которых эти функции задаются.
Оглавление
Предисловие
Глава 1. Вспомогательные сведения из курса математического анализа
§1. Действительные числа
1. Рациональные числа
2. Иррациональные числа
3. Ограниченные подмножества множества действительных чисел
4. Приближение действительных чисел рациональными
§2. Числовые функции
§3. Последовательности. Предел последовательности
§4. Предел функции
§5. Непрерывность функции
§6. Обратная функция. Существование и непрерывность обратной
функции
§7. Производная, дифференцируемость, дифференциал функции
§8. Неопределенный интеграл
§9. Определенный интеграл
§10. Несобственные интегралы
1. Несобственные интегралы первого рода
2. Несобственные интегралы второго рода
3. Главное значение несобственного интеграла
§11. Ряды
1. Числовые ряды
2. Функциональные последовательности и ряды
3. Степенные ряды
4. Тригонометрические ряды
5. Ортогональные системы функций
§12. Кривые в пространстве. Длина кривой
§13. Функции многих переменных
1. Пространство Rn
2. Последовательности точек Rn
3. Функции многих переменных
§14. Предел и непрерывность функций многих переменных
1. Предел функций многих переменных
2. Непрерывность функций многих переменных
§15. Частная производная, дифференцируемость и дифференциал
функций многих переменных
1. Частная производная
2. Дифференцируемость функции
3. Производная по направлению. Градиент
4. Частные производные высших порядков
5. Дифференциалы высших порядков
6. Замена переменных
§16. Локальный экстремум функции многих переменных
§17. Неявные функции. Зависимость функций
1. Неявные функции
2. Зависимость функций
§18. Двойные интегралы
1. Понятие квадрируемости плоской фигуры и ее площади (меры)
2. Двойной интеграл
3. Условия существования двойного интеграла
4. Свойства двойного интеграла
5. Вычисление двойного интеграла
6. Замена переменных в двойном интеграле
§19. Тройные и n - кратные интегралы
1. Понятие кубируемости тела и его объема
2. Тройной интеграл
3. n - кратные интегралы
4. Несобственные кратные интегралы
§20. Криволинейные интегралы
1. Криволинейные интегралы первого рода
2. Криволинейные интегралы второго рода
3. Формула Грина. Условия потенциальности векторного поля
§21. Поверхностные интегралы
1. Поверхности. Площадь поверхности. Ориентация поверхности
2. Поверхностный интеграл первого рода
3. Поверхностные интегралы второго рода
4. Интегральные теоремы Остроградского - Гаусса и Стокса. Условия потенциальности векторного поля в пространстве
§22. Интегралы, зависящие от параметра. Эйлеровы интегралы
1. Равномерное стремление функции к предельной функции
2. Свойства собственных интегралов, зависящих от параметра
3. Несобственные интегралы первого рода, зависящие от параметра
4. Несобственные интегралы второго рода, зависящие от параметра
5. Кратные интегралы, зависящие от параметра
6. Примеры вычисления несобственных интегралов
7. Эйлеровы интегралы
§23. Комплексные числа и функции
1. Комплексные числа
2. Последовательности и ряды комплексных чисел
3. Комплексные функции комплексной переменной
4. Аналитические и гармонические функции
5. Элементарные функции. Формулы Эйлера
6. Теорема единственности аналитической функции. Аналитическое продолжение.
Глава 2. Функциональные уравнения
§1. Функциональное уравнение, определяющее показательную
функцию
§2. Функциональное уравнение, определяющее логарифмическую
функцию
§3. Функциональное уравнение, определяющее степенную функцию
§4. Функциональное уравнение, определяющее линейную функцию
§5. Функциональные уравнения, определяющие тригонометрические
функции синус и косинус
§6. Задачи на решение функциональных уравнений
Задачи для самостоятельной работы
Глава 3. Дифференциальные уравнения
§1. Основные понятия дифференциальных уравнений
§2. Простейшие дифференциальные уравнения первого порядка, разрешимые в явном виде
1. Дифференциальные уравнения вида у = f(x)
2. Дифференциальные уравнения с разделенными переменными
3. Дифференциальные уравнения с разделяющимися переменными
4. Однородные дифференциальные уравнения
5. Линейные дифференциальные уравнения первого порядка. Уравнения Бернулли и Риккати
6. Дифференциальное уравнение в полных дифференциалах. Интегрирующий множитель
§3. Теоремы существования и единственности решения задачи Коши для дифференциальных уравнений
1. Теорема существования и единственности решения задачи Коши для дифференциальных уравнений первого порядка
2. Теорема существования и единственности решения задачи Коши для нормальной системы дифференциальных уравнений
3. Теорема существования и единственности решения задачи Коши для дифференциального уравнения n - го порядка
§4. Уравнения первого порядка, не разрешенные относительно производной. Особые решения
1. Задача Коши
2. Уравнения Лагранжа и Клеро
3. Особые решения
§5. Зависимость решения от начальных условий, правой части и параметров
§6. Линейные однородные дифференциальные уравнения второго порядка
§7. Линейные неоднородные дифференциальные уравнения второго порядка. Метод вариации постоянных
§8. Линейные неоднородные дифференциальные уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами. Метод неопределенных коэффициентов
§9. Решение линейных дифференциальных уравнений с переменными коэффициентами с помощью степенных рядов. Уравнение Бесселя. Гипергеометрическое уравнение
1. Теорема существования и единственности решения
2. Уравнение Бесселя. Функции Бесселя
3. Модифицированные функции Бесселя
4. гипергеометрическое уравнение. Функции Гаусса
§10. Качественные свойства решений линейных уравнений второго порядка
§11 Краевые задачи для линейных дифференциальных уравнений второго порядка
1. Основные определения и понятия. Формула Грина
2. Единственность и существование решения краевой задачи. Функция Грина
3. Примеры
§12. Система линейных дифференциальных уравнений первого порядка
1. Однородная система линейных дифференциальных уравнений
2. Линейная неоднородная система дифференциальных уравнений. Метод вариации произвольных постоянных
3. Линейная однородная система с постоянными коэффициентами
§13. Устойчивость решений дифференциальных уравнений
§14. Особые точки дифференциальных уравнений первого порядка
§15. Автономные системы дифференциальных уравнений и их
фазовые пространства
1. Механическая интерпретация нормальной системы дифференциальных уравнений первого порядка
2. Свойства решений автономных систем
3. Предельное поведение траекторий. Предельные циклы
4. Функция последования
5. Ламповый генератор
§16. Задачи на применение дифференциальных уравнений первого порядка
§17. Применение линейных дифференциальных уравнений второго
порядка к изучению колебательных процессов
1. Математические модели колебательных систем
2. Свободные колебания
3. Вынужденные колебания. Явление резонанса
Задачи для самостоятельной работы
Глава 4. Интегральные уравнения
§1. Основные понятия. Примеры
§2. Интегральное уравнение Абеля
§3. Решение интегральных уравнений с помощью рядов
1. Интегральное уравнение Фредгольма второго рода
2. Интегральные уравнения Вольтерра второго рода
3. Интегральное уравнение Вольтерра первого рода
§4. Связь уравнений Вольтерра с линейными обыкновенными дифференциальными уравнениями
§5. Интегральное уравнение Фредгольма второго рода с вырожденным ядром. Теоремы Фредгольма
§6. Интегральные уравнения Фредгольма второго рода с непрерывным ядром. Теоремы Фредгольма
1. Интегральные уравнения для резольвенты
2. Аналитическое продолжение резольвенты
3. Интегральное уравнение Фредгольма при любом. Характеристическое число и собственная функция ядра
4. Союзное интегральное уравнение
5. Интегральное уравнение Фредгольма в случае характеристического числа
6. Обобщение полученных результатов
§7. Симметрические интегральные уравнения
1. Основные свойства симметрических интегральных уравнений
2. Теорема Гильберта - Шмидта
3. Решение симметрических интегральных уравнений
§8. Краевые задачи на собственные значения (задача Штурма - Лиувилля)
§9. Сингулярные интегральные уравнения
1. Сингулярные интегралы
2. Сингулярные интегральные уравнения с ядром Коши
3. Сингулярные интегральные уравнения с ядром Гильберта
Задачи для самостоятельной работы
Глава 5 Дифференциальные уравнения в частных производных
§1. Дифференциальные уравнения в частных производных. Основные понятия
§2. Дифференциальные уравнения в частных производных первого порядка
1. Линейные однородные дифференциальные уравнения в частных производных
2. Задача Коши
3. Квазилинейные дифференциальные уравнения в частных производных
§3. Вывод уравнения колебаний струны. Постановка основных начально-граничных задач
§4. Вывод уравнения теплопроводности. Постановка основных начально-граничных задач
§5. Задачи, приводящиеся к уравнению Пуассона и Лапласа. Постановка основных граничных задач
§6. Понятие о корректно поставленной краевой задаче для
дифференциальных уравнений. Примеры некорректных краевых задач
§7. Задача Коши. Теорема Коши - Ковалевской
§8. Типы линейных дифференциальных уравнений в частных производных второго порядка
§9. Приведение к каноническому виду дифференциального
уравнения второго порядка от двух независимых переменных. Понятие характеристики
§10. Первая начально-граничная задача для уравнения колебаний струны
1. Постановка задачи. Единственность решения
2. Существование решения
§11. Задача Коши для уравнения колебания струны. Формула Даламбера
1. Постановка задачи Коши для уравнения струны
2. Построение общего решения уравнения струны
3. Построение решения задачи Коши
4. Физическая интерпретация решения задачи Коши
§12. Гармонические функции. Примеры. Теорема Кельвина
§13. Внутренний принцип экстремума гармонических функций. Единственность и устойчивость решения задачи Дирихле
§14. Решение задачи Дирихле для уравнения Лапласа в круге методом разделения переменных. Формула Пуассона
1. Решение задачи Дирихле а круге
2. Формула Пуассона
§15. Свойства гармонических функций
§16. Задачи Неймана и Пуанкаре для уравнения Лапласа
V Единственность решения
2. Необходимое условие разрешимости задачи Неймана
§17. Внешние граничные задачи для уравнения Лапласа
§18. Решение граничных задач для уравнения Лапласа методами потенциала и интегральных уравнений
1. Потенциалы объема, простого и двойного слоев
2. Поверхности Ляпунова
3. Свойства потенциала двойного слоя
4. Свойства потенциала простого слоя
5. Сведение задач Дирихле и Неймана для уравнения Лапласа к интегральным уравнениям
§19. Первая начально-граничная задача для уравнения теплопроводности
V Постановка задачи. Принцип экстремума. Единственность и устойчивость решения
2. Решение задачи методом разделения переменных
§20. Распространение тепла в бесконечном стержне (задача Коши)
Задачи для самостоятельной работы
Библиографический список
Список некоторых обозначений.