Энциклопедия элементарной математики, Том 3, Функции и пределы, Александров П.С., Маркушевич А.И., Хинчин А.Я., 1952

Энциклопедия элементарной математики, Том 3, Функции и пределы, Александров П.С., Маркушевич А.И., Хинчин А.Я., 1952.
   Книга посвящена вопросам анализа, а именно, функциям и пределам. Наряду с учением об элементарных функциях и обстоятельно изложенной теорией пределов, сюда вошли также наиболее элементарные сведения из дифференциального и интегрального исчисления, теории рядов и сведения о функциях комплексного переменного.
   Предлагаемая читателю книга третья «Энциклопедии элементарной математики» завершает первый большой раздел этого издания, посвященный систематическому изложению тех элементов математической науки, на основе которых складываются школьные курсы арифметики, алгебры и отчасти тригонометрии. Если материал первых двух книг ограничивался преимущественно вопросами арифметики и алгебры в собственном смысле слова как учения о числах, их обобщениях, операциях над ними (имеются в виду алгебраические операции: сложение, вычитание, умножение и деление) и алгебраических уравнениях, то третья книга посвящена вопросам анализа, а именно, функциям и пределам. Наряду с учением об элементарных функциях и обстоятельно изложенной теорией пределов, сюда вошли также наиболее элементарные сведения из дифференциального и интегрального исчисления, теории рядов и сведения о функциях комплексного переменного.
Понятия производной и интеграла давно стучатся в двери общеобразовательной школы; как бы ни относиться к вопросу об их фактическом включении в школьные программы, сколько-нибудь удовлетворительное завершенное изложение элементарных основ математической науки без этих основных понятий следует признать немыслимым при современном состоянии науки.
Содержание
Предисловие.
Элементерные функции действительного переменного. Пределы последовательностей и функций. Общее понятие функции.
(В.Л.Гончаров)
Глава I. Общие сведения об элементарных функциях и графиках уравнений.
§ 1. Элементарные функции.
§ 2. Графические представления. Приёмы точечных построений.
§ 3. Простейшие преобразования графиков.
§ 4. Прямая и обратная функции.
§ 5. Элементарное исследование функций (постановка вопроса и некоторые общие приёмы).
Глава II. Обзор элементарных функций и их графиков.
§ 6. Классификация рациональных функций.
§ 7. Целые положительные степени.
§ 8. Многочлены первой степени (линейные функции).
§ 9. Многочлены (трёхчлены) второй степени.
§ 10. Многочлены третьей степени.
§ 11. Биквадратные многочлены.
§ 12. Многочлены высших степеней.
§ 13. Целые отрицательные степени.
§ 14. Дробные линейные функции.
§ 15. Дробные функции второй степени.
§ 16. Дробные рациональные функции (общий случай).
§ 17. Алгебраические иррациональные функции.
§ 18. Примеры исследования алгебраических функций.
§ 19. Элементарные трансцендентные функции.
§ 20. Показательная функция.
§ 21. Функции, связанные с показательной.
§ 22. Логарифмическая функция.
§ 23. Функции, связанные с логарифмической.
§ 24. Произвольная степенная функция.
§ 25. Основные (целые) тригонометрические функции: синус и косинус.
§ 26. Простые гармонические колебания.
§ 27. Тригонометрические многочлены.
§ 28. Многочлены Чебышева.
§ 29. Тангенс и другие дробные тригонометрические функции.
§ 30. Представление функций, рационально зависящих от тригонометрических, через одну или две из них.
§ 31. Примеры исследования функций, рационально зависящих от тригонометрических. Тригонометрические уравнения.
§ 32. Обратные тригонометрические функции.
§ 33. Исследование многочленов Чебышева. Их минимальное свойство.
Глава III. Пределы числовых последовательностей и пределы функций.
§ 34. Конечные и бесконечные числовые последовательности.
§ 35. Общее определение бесконечной числовой последовательности.
§ 36. Теорема Больцано-Вейерштрасса о существовании предельной точки.
§ 37. Примеры. Предел как единственная предельная точка.
§ 38. Предел последовательности; классическое определение и основные свойства.
§ 39. Обобщение понятия предела (пределы в "несобственном смысле").
§ 40. Предел функции на бесконечности.
§ 41. Односторонний предел функции в конечной точке.
§ 42. Двусторонний предел. Понятие непрерывности.
§ 43. Примеры непрерывных функций.
§ 44. Пределы при монотонном изменении. Число e.
Глава IV. Пределы последовательностей функций. Свойства непрерывных функций.
§ 45. Простая сходимость.
§ 46. Общее понятие функции одной действительной переменной.
§ 47. Свойства непрерывных функций.
§ 48. Равномерная сходимость последовательности непрерывных функций.
§ 49. Теорема Вейерштрасса-Бернштейна о приближении непрерывной функции с помощью рациональных многочленов.
§ 50. Доказательство теоремы.
§ 51. Определение показательной функции. Продолжение непрерывной функции за пределы всюду плотного множества.
§ 52. Теорема Больцано и проблема существования однозначной обратной функции.
§ 53. Функциональные уравнения и элементарные функции.
Глава V. Общее понятие функции.
§ 54. Соответствие между множествами.
§ 55. Геометрические образы в многомерных пространствах.
§ 56. Пространственные отображения.
§ 57. Метрические пространства.
§ 58. Понятие предела в метрическом пространстве.
§ 59. Топологические пространства.
§ 60. Алгебра множеств. Производное множество. Замкнутость и связность.
§ 61. Непрерывные отображения и их свойства.
§ 62. Гомеоморфные отображения.
§ 63. Верхняя и нижняя границы числовых множеств или последовательностей. Верхний и нижний пределы числовых множеств или последовательностей.
Производные, интегралы и ряды.
(И.П.Натансон)
Введение.
Глава I. Производные.
§ 1. Производная и дифференциал.
1. Задачи, приводящие к понятию производной.
2. Определение производной.
3. Дифференцируемость и непрерывность. Односторонние производные.
4. Производные простейших элементарных функций.
5. Дифференцирование обратных функций.
6. Правила комбинирования формул дифференцирования.
7. Дифференциал.
8. Производные и дифференциалы высшего порядка.
9. Частные производные и полный дифференциал.
§ 2. Важнейшие теоремы о производных.
10. Теоремы Ферма и Ролля.
11. Формулы Лагранжа и Коши. Правило Лопиталя.
12. Формула Тейлора.
13. Исследования П.Л.Чебышева и С.Н.Бернштейна.
§ 3. Применение дифференциального исчисления к исследованию функций.
14. Признаки постоянства и монотонности функции.
15. Экстремум функции.
16. Нахождение наибольшего и наименьшего значений функции на замкнутом промежутке.
Глава II. Интегралы.
§ 4. Неопределенные интегралы.
17. Основные понятия.
18. Интегрирование с помощью подстановки.
19. Интегрирование по частям.
20. Общие замечания по поводу интегрирования элементарных функций.
§ 5. Определённые интегралы.
21. Задачи, приводящие к понятию определённого интеграла.
22. Определённый интеграл.
23. Основные свойства интеграла.
24. Интеграл, как функция верхнего предела.
25. Вычисление определённого интеграла с помощью неопределённого.
26. Формула Валлиса.
27. Приближённое вычисление определённых интегралов.
§ 6. Приложения интегрального исчисления.
28. Вычисление площадей.
29. Вычисление объёмов.
30. Длина дуги кривой.
31. Площадь поверхности вращения.
32. Общие указания по поводу приложений интегрального исчисления и его связей с дифференциальным исчислением.
Глава III. Ряды.
§ 7. Ряды с постоянными членами.
33. Основные понятия.
34. Простейшие свойства рядов.
35. Положительные ряды.
36. Знакочередующиеся ряды.
37. Абсолютная сходимость.
38. Вопрос о перестановке членов ряда. Умножение рядов.
§ 8. Степенные ряды.
39. Промежуток сходимости.
40. Свойства суммы степенного ряда.
41. Разложение логарифма и составление таблиц логарифмов.
42. Разложение арктангенса и вычисление ?.
43. Общие замечания по поводу разложения функций в степенные ряды.
44. Биномиальный ряд.
45. Очерк аналитической теории тригонометрических функций.
Элементарные функции комплексного переменного.
(В.Л.Гончаров)
§ 1. Рациональные функции.
§ 2. Пределы. Ряды.
§ 3. Показательная функция. Синус и косинус.
§ 4. Выражение тригонометрических функций через показательную.
§ 5. Гиперболические и тригонометрические функции.
§ 6. Логарифм.
§ 7. Произвольная степень.
§ 8. Обратные тригонометрические и гиперболические функции.
§ 9. Производная.
§ 10. Интеграл.
§ 11. Приближение функций многочленами.
§ 12. Первообразная функция.
§ 13. Интеграл Коши.
§ 14. Понятие аналитической функции.
§ 15. Свойства аналитических функций.
§ 16. Геометрический смысл аналитических функций.
§ 17. Примеры конформных отображений.
Алфавитный указатель.