Энциклопедия элементарной математики, Том 2, Алгебра, Александров П.С., Маркушевич А.И., Хинчин А.Я., 1951

Энциклопедия элементарной математики, Том 2, Алгебра, Александров П.С., Маркушевич А.И., Хинчин А.Я., 1951.
   Книга состоит из трех статей. Первый раздел дает изложение основ линейной алгебры (включая теорию определителей) и освещает с единой и общей точки зрения ряд разрозненных фактов школьного курса, кроме того, приводит к обобщению и углублению некоторых геометрических понятий (вектор, пространство, движение и др.). Второй раздел излагает теорию многочленов от одного и многих переменных и вопросы решения алгебраических уравнений в радикалах. В частности, здесь рассматривается важный для элементарной математики вопрос об условиях разрешимости алгебраических уравнений в квадратных радикалах. В третьем разделе, строго говоря, к алгебре относится лишь первая глава, включающая общий способ Лобачевского для решения алгебраического уравнения любой степени с численными коэффициентами. В целом же раздел представляет весьма полную сводку важнейших методов численного и графического решения алгебраических и трансцендентных уравнений.
   Школьный курс алгебры представляет собой своеобразное соединение сведений из различных отделов математики. Сюда входят: обобщение понятия числа (последовательное построение системы рациональных, действительных и, наконец, комплексных чисел), отнесённое нами к арифметике (см. статью И. В. Проскурякова в первой книге); изучение кольца многочленов и поля рациональных функций (охватывающее так называемые тождественные преобразования рациональных выражений) и решение алгебраических уравнений в простейших случаях, т. е. собственно алгебраический материал, отнесённый к настоящей книге; сведения о некоторых элементарных неалгебраических функциях — степенной, показательной, логарифмической, о пределах, последовательностях и простейшем ряде (геометрическая прогрессия), т. е. материал из области анализа (см. третью книгу настоящего издания), и, наконец, элементы комбинаторики, отнесённые нами в шестую книгу, где читатель найдёт также и основные сведения из теории вероятностей. Таким образом, читатель, заинтересованный научными основами школьного курса алгебры, должен знать, что он найдёт эти основы не в одной, а в нескольких книгах «Энциклопедии элементарной математики» и именно в книгах первой, второй, третьей и шестой, озаглавленных «Арифметика», «Алгебра», «Анализ» и «Разные вопросы».
Настоящая книга состоит из трёх статей. Статья А. И. Узкова даёт изложение основ того раздела математики (так называемой линейной алгебры), который вырос из теории систем алгебраических уравнений первой степени (линейных уравнений). Раздел этот (включающий, в частности, теорию определителей) освещает с единой и общей точки зрения ряд разрозненных фактов школьного курса и, кроме того, приводит к такому обобщению и углублению некоторых геометрических понятий (вектор, пространство, движение и др.), которое уже успело завоевать себе широкую область приложений.
Содержание
Предисловие
Векторные пространства и преобразования
(А.И.Узков)
Глава I. Определители и решение линейных уравнений.
§ 1. Векторы на плоскости.
§ 2. Числовые векторы. Определители любого порядка.
§ 3. Свойства определителя, вытекающие из его определения.
§ 4. Перестановки. Выражение определителя порядка n.
§ 5. Дальнейшие свойства определителя.
§ 6. Разложение определителя по элементам ряда. Вычисление определителей.
§ 7. Решение систем уравнения.
Глава II. Векторные пространства и исследование систем линейных уравнений.
§ 8. Векторные пространства. Абстрактная точка зрения.
§ 9. Простейшие свойства операций над векторами.
§ 10. Линейная зависимость векторов.
§ 11. Подпространства.
§ 12. Применение к системам уравнений.
§ 13. Базис пространства. Координаты.
§ 14. Ранг произвольной системы векторов.
§ 15. Решение произвольных систем линейных уравнений.
§ 16. Геометрическая интерпретация. Системы с тремя неизвестными.
§ 17. Применение к системам уравнений высших степеней.
§ 18. Дополнительные замечания.
Глава III. Линейные преобразования плоскости и трёхмерного пространства.
§ 19. Метрика. Скалярное произведение векторов.
§ 20. Преобразование координат.
§ 21. Операции над матрицами.
§ 22. Линейные преобразования.
§ 23. Представление линейных преобразований матрицами.
§ 24. Геометрические свойства линейных преобразований и свойства представляющих их матриц.
§ 25. Симметрические преобразования. Случай плоскости.
§ 26. Симметрические преобразования трёхмерного пространства.
§ 27. Представление произвольного линейного преобразования произведением ортогонального и симметрического.
§ 28. Упрощение уравнений линий и поверхностей второго порядка.
Литература.
Кольцо многочленов и поле рациональных функций.
(Л.Я.Окунев)
Глава I. Кольцо многочленов от одного неизвестного.
§ 1. Кольцо многочленов.
§ 2. Свойства делимости многочленов от одного неизвестного.
§ 3. Деление на линейный двучлен x-a. Корни многочленов.
§ 4. Многочлены над полем рациональных чисел.
§ 5. Разложение многочленов на неприводимые множители над полем рациональных чисел. Признак неприводимости.
§ 6. Основная теорема алгебры.
§ 7. Проблема решения уравнений в радикалах. Двучленные уравнения.
§ 8. Уравнения второй и третьей степеней.
§ 9. Уравнение четвёртой степени.
§ 10. Алгебраическое расширение и другая постановка проблемы решения уравнений в радикалах.
Глава II. Кольцо многочленов от нескольких неизвестных и поле рациональных функций.
§ 11. Кольцо многочленов от нескольких неизвестных.
§ 12. Поле алгебраических дробей.
§ 13. Симметрические многочлены.
§ 14. Некоторые приложения теории симметрических многочленов.
Глава III. О решении алгебраических уравнений в радикалах.
§ 15. Подстановки.
§ 16. О неразрешимости уравнений выше четвёртой степени в радикалах.
§ 17. Группа алгебраического уравнения.
§ 18. Уравнения с симметрической группой.
§ 19. О разрешимости алгебраических уравнений в квадратных радикалах.
§ 20. О разрешимости в квадратных радикалах уравнений 3-й и 4-й степеней.
Литература.
Численные и графические методы решения уравнений.
(А.П.Доморяд)
Введение.
Глава I. Решение алгебраических уравнений.
§ 1. Постановка задачи.
§ 2. Определение границ действительных корней.
§ 3. Отделение корней.
§ 4. Способ Горнера.
§ 5. Способ Лагранжа.
§ 6. Способ Лобачевского.
Задачи к главе I.
Глава II. Решение трансцендентных уравнений.
§ 7. Способ линейного интерполирования и способ Ньютона.
§ 8. Обобщение способа Ньютона.
§ 9. Способ итерации.
§ 10. Различные способы извлечения корней из чисел.
Задачи к главе II.
Глава III. Решение систем уравнений.
§ 11. Способ Ньютона.
§ 12. Способ итерации.
§ 13. Замечания о вычислении мнимых корней алгебраических уравнений.
Задачи к главе III.
Глава IV. Графические методы.
§ 14. Уравнения с одним неизвестным.
§ 15. Решение уравнений с помощью номограмм.
§ 16. Решение систем уравнений.
Задачи к главе IV.
Добавления.
1. Краткие исторические сведения.
2. Советы преподавателям и рекомендуемая литература.
Алфавитный указатель.