Элементы высшей математики, Виноградов И.М., 1999

Элементы высшей математики, Виноградов И.М., 1999.
   Книга отличается наглядностью и простотой изложения основ аналитической геометрии, дифференциального исчисления функций одной и нескольких переменных и теории чисел.
Содержатся примеры и упражнения, позволяющие глубоко усвоить основные понятия и методы рассматриваемых областей математики.
Для студентов ВУЗов, а также преподавателей втузов и техникумов. Может быть полезно учителям средней школы и школьникам старших классов.
В России исторически сложилось так, что представление об образовании включает в себя органичное единство школы как системы приобретения знаний, фундаментальной науки как показателя уровня подготовки специалистов и гуманитарной культуры как основы духовного единства народов, населяющих нашу страну.
Формулируя задачи образования, академик А. Н. Крылов говорил: «Школа не может дать вполне законченного знания; главная задача школы — дать общее развитие, дать необходимые навыки, одним словом... главная задача школы — научить учиться, и для того, кто в школе научится учиться, практическая деятельность всю его жизнь будет наилучшей школой».
Отметим, что особенность отечественной школы состоит в сочетании четкости рассуждений с глубиной содержания и простотой, доступностью, конкретностью изложения материала, которые всегда предпочитаются формальным конструкциям. Практическое воплощение данных идей подразумевает наличие высококвалифицированных и творчески мыслящих преподавателей.
ОГЛАВЛЕНИЕ
Предисловие 3
Часть первая
АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ
Глава 1. Векторы в углы
§ 1. Ось 5
§ 2. Вектор 5
§ 3. Направленные углы 6
§ 4. Проекция вектора с оси на ось 8
§ 5. Векторные цепи 10
§ 6. Цепи углов 13
§ 7. Проекции вектора на две взаимно перпендикулярные оси 14
§ 8. Угол между двумя векторами. Условия параллельности и перпендикулярности 15
§ 9. Упражнения и контрольные вопросы 17
Глава 2. Координаты
§ 1. Метод координат 23
§ 2. Основные задачи, решаемые методом координат 25
§ 3. Упражнения 30
Глава 3. Функции
§ 1. Переменные и постоянные 34
§ 2. Понятие о функциональной зависимости 35
§ 3. Классификация математических функций 39
§ 4. Обзор и графическое изображение простейших функций одного аргумента 43
§ 5. Обратные функции 50
§ 6. Понятие об уравнении линии 55
§ 7. Упражнения 56
Глава 4. Прямая
§ 1. Уравнение прямой, проходящей через данную точку 60
§ 2. Общее уравнение прямой 61
§ 3. Частные случаи 62
§ 4. Переход к уравнению с угловым коэффициентом 63
§ 5. Построение прямой 64
§ 6. Определение угла между двумя прямыми 66
§ 7. Условие совпадения прямых 69
§ 8. Пересечение прямых 70
§ 9. Расстояние от точки до прямой 71
§ 10. Другой подход к выводу уравнения прямой 73
§ 11. Прямая, проходящая через две точки 74
§ 12. Уравнение прямой в отрезках на осях 75
§ 13. Задачи на прямую линию 76
Глава 5. Простевшие кривые. Преобразование координат
§ 1. Окружность 85
§ 2. Эллипс. Построение посредством нити. Зависимость между полуосями и полуфокусным расстоянием 86
§ 3. Построение эллипса по точкам 88
§ 4. Уравнение эллипса 90
§ 5. Связь эллипса с окружностью 92
§ 6. Директрисы эллипса 93
§ 7. Гипербола. Построение посредством нити 94
§ 8. Построение гиперболы по точкам 96
§ 9. Уравнение гиперболы 97
§ 10. Асимптоты. Геометрическое значение b 98
§ 11. Директрисы гиперболы 100
§ 12. Парабола. Построение по точкам 101
§ 13. Уравнение параболы 103
§ 14. Преобразование координат 105
§ 15. Пример на упрощение уравнения кривой путем параллельного переноса осей 106
§ 16. Поворот осей 108
§ 17. Общий случай 109
§ 18. Полярные координаты ПО
§ 19. Спираль Архимеда 111
§ 20. Логарифмическая спираль 112
§ 21. Примеры на составление полярных уравнений кривых 112
§ 22. Выражение прямоугольных координат через полярные ИЗ
§ 23. Уравнение лемнискаты 114
§ 24. Параметрическое задание линий 115
§ 25. Построение графика 116
§ 26. Циклоида 117
§ 27. Упражнения 118
Глава 6. Векторы, поверхности и линии в пространстве
§ 1. Оси, векторы, углы 125
§ 2. Проекции 125
§ 3. Проекции на три взаимно перпендикулярные оси. Длина вектора через проекции 127
§ 4. Простейшие зависимости, содержащие величину вектора, проекции и направляющие косинусы 128
§ 5. Проекция вектора на оси. Косинус угла между двумя векторами. Скалярное произведение векторов 129
§ 6. Координаты 133
§ 7. Выражение проекций вектора через координаты конца и начала 134
§ 8. Выражение длины вектора через координаты концов. Расстояние между двумя точками 135
§ 9. Деление отрезка в данном отношении 135
§ 10. График уравнения с двумя переменными 137
§ 11. Поверхность как след, образуемый перемещением некоторой деформируемой плоской кривой 138
§ 12. Цилиндрические поверхности 139
§ 13. Обратная задача. Уравнение шаровой поверхности 140
§ 14. Уравнение плоскости, проходящей через данную точку 141
§ 15. Общее уравнение плоскости 141
§ 16. Частные случаи 142
§ 17. Выяснение расположения плоскости относительно осей 144
§ 18. Угол между плоскостями. Условие параллельности. Условие перпендикулярности 145
§ 19. Условие совпадения плоскостей 147
§ 20. Расстояние от точки до плоскости 148
§ 21. Прямая как пересечение двух плоскостей 149
§ 22. Прямая, проходящая через данную точку 150
§ 23. Прямая, проходящая через две точки 151
§ 24. Переход, от системы уравнений прямой в общем виде к системе в виде пропорций 152
§ 25. Угол между прямыми. Условие параллельности. Условие перпендикулярности 153
§ 26. Угол между прямой и плоскостью. Условие параллельности и перпендикулярности 156
§ 27. Простейшие поверхности. Эллипсоид 157
§ 28. Другие простейшие поверхности 160
§ 29. Кривая в пространстве как пересечение двух поверхностей 161
§ 30. Параметрические уравнения 161
§ 31. Винтовая линия 161
§ 32. Параметрические уравнения в механике 163
§ 33. Переход от параметрического представления к общему и обратно 163
§ 34. Преобразование координат 164
§ 35. Упражнения 166
Часть вторая
ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ
Глава 1. Пределы
§ 1. Бесконечно малые 173
§ 2. Понятие предела переменной величины 175
§ 3. Понятие бесконечно большой 177
§ 4. Свойства бесконечно малых 180
§ 5. Основные свойства пределов 182
§ 6. Предел непрерывной функции 183
§ 7. Геометрическое истолкование непрерывности 188
§ 8. Свойство непрерывной функции 189
§ 9. Предел функции, зависящей от нескольких переменных 190
§ 10. Особые случаи разыскания предела 193
§ 11. Замечательный тригонометрический предел 197
§ 12. Признак существования предела 199
§ 13, Сходимость бесконечных рядов 200
§ 14. Простейшие признаки сходимости 203
§ 15. Основание натуральных логарифмов 207
§ 16. Порядок бесконечно малых 211
§ 17. Упражнения 214
Глава 2. Производные и дифференциалы
§ 1. Производная как угловой коэффициент касательной .218
§ 2. Производная как предел 219
§ 3. Пояснение общей теории на примере. Уравнения касательной и нормали 220
§ 4. Механическое значение производной 222
§ 5. Производные трех простейших функций 225
§ 6. Производная постоянного и суммы. Вынесение постоянного множителя за знак производной 227
§ 7. Производная сложной функции 229
§ 8. Разыскание производных путем логарифмирования. Производные функции х при любом п и функции а 231
§ 9. Производные произведения и частного. Производные tgx и ctgx 234
§ 10. Производные обратных тригонометрических функций 235
§ 11. Сводка основных формул 236
§ 12. Дифференциал 237
§ 13. Основные формулы для дифференциалов 239
§ 14. Высшие производные 241
§ 15. Высшие дифференциалы 244
§ 16. Дифференцирование неявных функций 245
§ 17. Дифференцирование функций, заданных параметрическим способом 247
§ 18. Преобразование дифференциалов к новой переменной 252
§ 19. Упражнения 254
Глава 3. Приложения дифференциального исчисления
§ 1. Непрерывность первой производной 262
§ 2. Возрастание и убывание функций. Максимум и минимум 263
§ 3. Приложение к построению графиков 265
§ 4. Наибольшее и наименьшее значения функции 270
§ 5. Прикладные задачи на наибольшее и наименьшее значения 273
§ 6. Направление выпуклости, точки перегиба 277
§ 7. Приложение к построению графиков 278
§ 8. Построение графиков разрывных функций 281
§ 9. Признак максимума и минимума, основанный на исследовании знака первой производной 282
§ 10. Признак максимума и минимума, основанный на исследовании знака второй и высших производных 283
§ 11. Асимптоты 285
§ 12. Дифференциал дуги 287
§ 13. Направляющие косинусы касательной 288
§ 14. Радиус кривизны, центр кривизны 289
§ 15. Дифференциал дуги и направляющие косинусы касательной для кривой в пространстве 292
§ 16. Упражнения 293
Глава 4. Дифференцирование функций многих переменных
§ 1. Функции многих переменных. Область определения. Непрерывность 302
§ 2. Частные производные и полный дифференциал 306
§ 3. Частные производные и полный дифференциал сложной функции многих переменных 318
§ 4. Дифференцирование неявных функций 321
§ 5. Частные производные и полные дифференциалы высшего порядка 325
§ 6. Упражнения 329
Часть третья
ОСНОВЫ ТЕОРИИ ЧИСЕЛ
Глава 1. Теория делимости
§ 1. Основные понятия и теоремы 335
§ 2. Общий наибольший делитель 337
§ 3. Общее наименьшее кратное 340
§ 4. Простые числа 341
§ 5. Единственность разложения на простые сомножители 343
§ б. Непрерывные дроби и их связь с алгоритмом Евклида 346
Вопросы к главе 1 350
Численные примеры к главе 1 352
Глава 2. Важнейшие функции в теории чисел
§ 1. Функции М, {х} 353
§ 2. Мультипликативные функции 354
§ 3. Число делителей и сумма делителей 356
§ 4. Функция Мёбиуса 357
§ 5. Функция Эйлера .358
Вопросы к главе 2 360
Численные примеры к г лаве 2 368
Глава 3. Сравнения
§ 1. Основные понятия 369
§ 2. Свойства сравнений, подобные свойствам равенств 370
§ 3. Дальнейшие свойства сравнений 372
§ 4. Полная система вычетов 373
§ 5. Приведенная система вычетов 374
§ 6. Теоремы Эйлера и Ферма 375
Вопросы к главе 3 376
Численные примеры к главе 3 381
Глава 4. Сравнения с одним неизвестным
§ 1. Основные понятия 382
§ 2. Сравнения первой степени 382
§ 3. Система сравнений первой степени 385
§ 4. Сравнения любой степени по простому модулю 386
§ 5. Сравнения любой степени по составному модулю 388
Вопросы к главе 4 391
Численные примеры к главе 4 395
Глава 5. Сравнения второй степени
§ 1. Общие теоремы 396
§ 2. Символ Лежандра 397
§ 3. Символ Якоби 403
§ 4. Случай составного модуля 406
Вопросы к главе 5 408
Численные примеры к главе 5 413
Глава 6. Первообразные корни и индексы
§ 1. Общие теоремы 414
§ 2. Первообразные корни по модулям^* и Зр 415
§ 3. Разыскание первообразных корней по модулям ра и 2р 417
§ 4. Индексы по модулям i* и If- 418
§ 5. Следствия предыдущей теории 421
§ 6. Индексы по модулю 2* 423
§ 7. Индексы по любому составному модулю 426
Вопросы к главе б 430
Численные примеры к главе 6 432
Глава 7. Характеры
§ 1. Определения 434
§ 2. Важнейшие свойства характеров 434
Вопросы к главе 7 439
Численные примеры к главе 7 442
Решения вопросов 443
Решения к главе 1 443
Решения к главе 2 446
Решения к главе 3 460
Решения к главе 4 470
Решения к главе 5 475
Решения к главе б 484
Решения к главе 7 487
Ответы к численным примерам
Ответы к главе 1 493
Ответы к главе 2 493
Ответы к главе 3 493
Ответы к главе 4 493
Ответы к главе 5 -494
Ответы к главе 6 494
Ответы к главе 7 495
Таблицы индексов 496
Таблица простых чисел <4070 и их наименьших первообразных корней 503