Элементы высшей математики для школьников, Фадеев Д.К., Никулин М.С., Соколовский И.Ф., 1987

Элементы высшей математики для школьников, Фадеев Д.К., Никулин М.С., Соколовский И.Ф., 1987.
   В книге излагаются основные понятия дифференциального и интегрального исчислений, их приложения к исследованию элементарных функций, применения к приближенным вычислениям, решению некоторых задач механики и физики. Имеются главы, посвященные изучению тригонометрических функций, комплексных чисел, элементов теории вероятностей. Каждая глава снабжена упражнениями.
Для учащихся старших классов школ и ПТУ, студентов техникумов и ВУЗов, а также преподавателей математики, инженеров и техников.
Эта книга написана на основе материалов, по которым велось экспериментальное преподавание курса алгебры и начал математического анализа, предложенного Д. К. Фадеевым для средней школы. Содержание книги охватывает круг вопросов, входящих в программу по математике для старших, классов. В идейном плане книга тесно связана с курсом алгебры Д. К. Фаддеева, изложенным в его книге «Алгебра 6—8», которая вышла в 1983 г. в издательстве «Просвещение» в серии «Библиотека учителя математики» *).
Предлагаемая читателю книга по содержанию значительно шире существующих сейчас учебников по математике для средней школы. Например, кроме традиционного уже для курса средней школы понятия первой производной (и ее приложений к исследованию функций), в книге рассмотрено понятие производных высшего порядка и на его основе дан вывод формулы бинома Ньютона, введено понятие порядка близости функций, получена формула Тейлора, рассмотрены проблемы приближенных вычислений на основе понятия дифференциала.
ОГЛАВЛЕНИЕ
Предисловие 7
Глава 1
Основные понятия дифференциального исчисления 9
§ 1. Основной принцип дифференциального исчисления 9
§ 2. Бесконечно малые величины 13
§ 3. Сходящиеся переменные и их пределы 14
§ 4. Бесконечно большие величины 17
§ 5. Примеры на вычисление пределов 17
§ 6. Пределы функций 18
§ 7. Непрерывность функций 20
§ 8. Уточнение понятия производной 25
§ 9. Уравнение касательной к графику функции 28
§ 10. Скорость изменения функции 29
§ 11. Скорость механического движения точки по прямой 31
§ 12. Дифференциал функции 35
§ 13. Дифференциал функции от функции 39
УПРАЖНЕНИЯ К ГЛАВЕ 1 40
Глава 2
Техника дифференцирования 49
§ 1. Дифференцирование результатов арифметических действий 49
§ 2. Дифференцирование логарифмической функции 55
§ 3. Доказательство существования предела функции (l+A),/h при n=0 56
§ 4. Дифференцирование показательной функции 60
§ 5. Дифференцирование степенной функции 61
§ 6. Дифференцирование функций, заданных уравнениями 62
УПРАЖНЕНИЯ К ГЛАВЕ 2 63
Глава 3
Некоторые приложения дифференциального исчисления 67
§ 1. Признаки возрастания и убывания функций 67
§ 2. Уточнение доказательств теорем о возрастании и убывании функций 71
§ 3, Максимум и минимум функций 76
§ 4. Один несложный пример и некоторые выводы из его рассмотрения 83
§ 5. Производные высших порядков 66
§ 6. Бином Ньютона 66
§ 7. Применение производных высших порядков к исследованию функций 88
§ 8. Порядок малости функций в окрестности точки, в которой функция обращается в нуль и порядок близости функций 93
§ 9. Связь порядка малости с порядком первой отличной от нуля производной
§ 10. Формулы Тейлора и Маклорена 99
§ II. Общие понятия теории приближенных вычислений 103
§ 12. Оценка погрешностей результатов вычислений с приближенно заданными числами 105
УПРАЖНЕНИЯ К ГЛАВЕ 3 110
Глава 4
Тригонометрические функции 122
§ 1. Обобщение понятия угла 122
§ 2. Измерение углов в радианах 124
§ 3, Функции синус и косинус 126
§ 4. Простейшие свойства функций синус и косинус 129
§ 5. Приведение значений функций синус и косинус к значениям на интервале 0<ф<л/4 133
§ 6. Функции тангенс и котангенс 133
§ 7. Выражение тригонометрических функций друг через друга 137
§ 8. Один важный предел 138
§ 9. Графики функций y = sinx и y = cosx 140
§ 10. Графики функций y = tgx и y = ctgx 143
УПРАЖНЕНИЯ К ГЛАВЕ 4 144
Глава 5
Преобразование выражений с тригонометрическими функциями и некоторые приложения 157
§ 1. Синус и косинус суммы и разности аргументов 157
§ 2. Тангенс и котангенс суммы н разности 160
§ 3. Тригонометрические функции удвоенного аргумента и некоторых кратных аргументов 161
§ 4. Тригонометрические функции половинного аргумента 164
§ 5. Выражение тригонометрических функций через тангенс половинного аргумента 165
§ 6, Выражение произведений функций синус и косинус в виде сумм и выражение сумм в виде произведений 166
§ 7. Преобразование линейной, комбинации синуса и косинуса J67
§ 8. Гармонические колебания 168,
§ 9. Колебания с переменной амплитудой 170
§ 10. Простейшие тригонометрические уравнения и обратные тригонометрические функции 172
§ 11. Некоторые действия над прямыми и обратными тригонометрическими функциями 175
§ 12, Тригонометрические уравнения 179
§ 13. Решение простейших тригонометрических неравенств 188
§ 14. Тригонометрические неравенства более общего вида 191
§ 15. Примеры на доказательство неравенств с тригонометрическими выражениями 196
§ 16. Дифференциалы и производные тригонометрических функций 198
§ 17. Применение производных к исследованию функций, выражающихся через тригонометрические 201
§ 18. Производные и дифференциалы обратных тригонометрических функций 208
УПРАЖНЕНИЯ К ГЛАВЕ 5 210
Глава 6
Элементы интегрального исчисления 219
§ 1. Определение интегрирования 219
§ 2. Более строгое доказательство леммы 220
§ 3. Простейшие формулы интегрирования 221
§ 4. Интегрирование, основанное на использовании инвариантности формулы дифференциала функции от функции 224
§ 5. Интегрирование по частям 225
§ 6. .Площадь криволинейной трапеции 226
§ 7. Простейшие свойства определенных интегралов 234
§ 8. Представление интеграла в виде суммы 237
§ 9. Интеграл как предел суммы 238
§ 10. Приближенное вычисление интегралов 243
§ 11. Объем тела вращения 248
§ 12. Длина дуги кривой 250
§ 13. Площадь боковой поверхности тела вращения 252
§ 14. Понятие дифференциального уравнения 253
§ 15. Некоторые дифференциальные уравнения, играющие важную роль в механике 255
УПРАЖНЕНИЯ К ГЛАВЕ 6 258
Глава 7
Комплексные числа 276
§ 1. Вводные соображения 276
§ 2. Основные определения 279
§ 3. Тригонометрическая форма комплексного числа 282
§ 4. Умножение комплексных чисел в тригонометрической форме 284
§ 5. Извлечение корня из комплексного числа 287
§ 6. Извлечение квадратного корня из комплексного числа 289
§ 7. Показательная и логарифмическая функции комплексной переменной 291
УПРАЖНЕНИЯ К ГЛАВЕ 7 293
Глава 8
Элементы комбинаторики и теории вероятностей 296
§ 1. Простейшие комбинаторные задачи 296
§ 2. О вероятности 304
§ 3. Сложение вероятностей 308
§ 4. Умножение вероятностей 309
§ 5. Применения к генетике 312
§ 6. Случайные величины 315
§ 7. Сумма независимых случайных величин 317
§ 8. Математическое ожидание и дисперсия случайной величины, связанной со схемой Бернулли 319
§ 9. Неравенство Чебышева 320
§ 10. Закон больших чисел для схемы Бернулли 321
§ 11. Случайные блуждания на прямой 322
§ 12. Случайные величины, значения которых сосредоточены в промежутке или на всей вещественной оси 324
§ 13. Задача Бюффона 329
ОТВЕТЫ И УКАЗАНИЯ 331