Элементы теории гомологий, Прасолов В.В., 2005

Элементы теории гомологий, Прасолов В.В., 2005.
  Эта книга является непосредственным продолжением книги "Элементы комбинаторной и дифференциальной топологии". Она начинается с определения симплициальных гомологий и когомологий; приводятся многочисленные примеры их вычисления и и х приложений. Затем обсуждается умножение Колмогорова-Александера на когомологиях. Значительная часть книги посвящена различным приложениям (симплициальных) гомологий и когомологий. Многие из них связаны с теорией препятствий. Одним из таких примеров служат характеристические классы векторных расслоений. Сингулярные гомологии и когомологии определяются во второй половине книги. Затем рассматривается еще один подход к построению теории когомологий - когомологии Чеха и тесно связанные с ними когомологии де Рама. Книга завершается различными приложениями теории гомологий в топологии многообразий. В книге приведено много задач (с решениями) и упражнений для самостоятельного решения.
Для студентов старших курсов и аспирантов математических и физических специальностей; для научных работников.

Инвариантность гомологии.
Сначала мы докажем теорему об ацикличных носителях, которая часто позволяет доказать, что два цепных отображения цепно гомотопны. Затем мы дважды воспользуемся этой теоремой в разных ситуациях при доказательстве топологической инвариантности гомологий. Наконец, с помощью той же теоремы мы докажем гомотопическую инвариантность гомологий.
Гомологии можно определить с коэффициентами в произвольной абелевой группе G. Но, с одной стороны, для приложений особенно важен случай, когда группа коэффициентов G является аддитивной группой некоторого кольца с единицей (например, G = Z, Q или Zр), а с другой стороны, некоторые важные свойства групп гомологий (и особенно когомологий) можно доказать именно для таких групп коэффициентов. Поэтому в дальнейшем, как правило, будет предполагаться, что группа коэффициентов — аддитивная группа некоторого кольца с единицей.
Оглавление
Предисловие Некоторые обозначения
1. Симплициальные гомологии
1.1. Определение и некоторые свойства
1.1.1. Определение групп гомологии
1.1.2. Цепные комплексы
1.1.3. Гомологии симплекса и его границы
1.2. Инвариантность гомологии
1.2.1. Ацикличные носители
1.2.2. Топологическая инвариантность гомологии
1.2.3. Гомотопическая инвариантность гомологий
1.3. Относительные гомологии
1.3.1. Точная гомологическая последовательность пары
1.3.2. Приведённые гомологии
1.3.3. Последовательность Майера-Вьеториса
1.4. Когомологии и формулы универсальных коэффициентов
1.4.1. Когомологии
1.4.2. Тензорное произведение и гомологии с произвольными коэффициентами
1.4.3. Тоr и Ext
1.4.4. Формулы универсальных коэффициентов
1.5. Некоторые вычисления
1.5.1. Фундаментальный класс
1.5.2. Клеточные гомологии
1.5.3. Индекс пересечения и изоморфизм Пуанкаре
1.5.4. Реализация гомологических классов поверхностей
1.6. Эйлерова характеристика и теорема Лефшеца
1.6.1. Эйлерова характеристика
1.6.2. Теорема Лефшеца о неподвижной точке
2. Кольцо когомологий
2.1. Умножение в когомологиях
2.1.1. Гомологии тотального цепного комплекса
2.1.2. Определение умножения в когомологиях
2.1.3. Кольца когомологий двумерных поверхностей
2.2. Гомологии и когомологии многообразий
2.2.1. Сар-произведение
2.2.2. Кольца когомологий многообразий
2.2.3. Два примера
2.2.4. Изоморфизм Лефшеца
2.2.5. Двойственность Александера
2.2.6. Тройное произведение Масси
2.2.7. Форма пересечения и сигнатура многообразия
2.2.8. Гомоморфизм Бокштейна и изоморфизм Пуанкаре
2.2.9. Линзы
2.3. Теорема Кюннета
2.3.1. Ценной комплекс С*(К х L)
2.3.2. Алгебраическая теорема Кюннета
2.3.3. Гомологии прямого произведения
2.3.4. Теорема Кюннета для когомологий
2.3.5. Умножение в когомологиях и теорема Кюннета
2.3.6. Внешнее когомологическое произведение
3. Применения симплициальных гомологии
3.1. Гомологии и гомотопии
3.1.1. Теорема Гуревича
3.1.2. Теория препятствий
3.1.3. Теорема Хоифа-Уитни
3.1.4. Алгебраически тривиальные отображения
3.1.5. Пространства Эйленберга-Маклейна
3.1.6. Когомологии и отображения в пространства типа К(п,п)
3.1.7. Пространства Мура
3.2. Характеристические классы
3.2.1. Векторные расслоения
3.2.2. Когомологии с локальными коэффициентами
3.2.3. Характеристические классы Штифеля-Уитни
3.2.4. Свойства классов Штифеля-Уитни
3.2.5. Приложения классов Штифеля-Уитни
3.2.6. Универсальное расслоение
3.2.7. Стабильные когомологии многообразий Грассмана
3.2.8. Характеристические классы Чженя
3.2.9. Расщепляющие отображения
3.3. Действия групп
3.3.1. Симплициальные действия
3.3.2. Эквивариантная симплициальная аппроксимация
3.3.3. Неподвижные тонки и неподвижные симплексы
3.3.4. Трансфер
3.3.5. Теория Смита
3.4. Квадраты Стинрода
3.4.1. Построение квадратов Стинрода
3.4.2. Свойства квадратов Стинрода
4. Сингулярные гомологии
4.1. Основные определения и свойства
4.1.1. Теорема о вырезании и тонная последовательность Майера-Вьеториса
4.1.2. Аксиомы теории (ко)гомологий
4.1.3. Теорема Жордана-Брауэра
4.1.4. Изоморфизм между симплициальными и сингулярными гомологиями
4.1.5. Неравенства Морса
4.1.6. Умножения
4.1.7. Инвариант Хопфа
4.1.8. Симплициальный объём (норма Громова)
4.1.9. Когомологии с некоммутативными коэффициентами и теорема ван Кампена
4.2. Изоморфизмы Пуанкаре и Лефшеца
4.2.1. Фундаментальный класс
4.2.2. Изоморфизм Тома
4.2.3. Изоморфизм Пуанкаре
4.2.4. Изоморфизм Лефшеца
4.2.5. Обобщение теоремы Хелли
4.3. Характеристические классы: продолжение
4.3.1. Изоморфизм Тома для расслоений
4.3.2. Формулы Тома и By
4.3.3. Препятствия к вложениям
5. Когомологии Чеха и де Рама
5.1. Когомологии пучков
5.1.1. Пучки и предпучки
5.1.2. Когомологии Чеха
5.1.3. Расслоения со структурной группой и некоммутативные когомологии Чеха
5.2. Когомологии де Рама
5.2.1. Теорема Стокса. Гомотопическая инвариантность
5.2.2. Изоморфизм Пуанкаре для когомологии де Рама
5.3. Теорема де Рама
5.3.1. Доказательство теоремы де Рама
5.3.2. Симплициальная теорема де Рама
6. Смесь
6.1. Полином Александера
6.1.1. Форма Зейферта
6.1.2. Бесконечное циклическое накрытие
6.1.3. Основная теорема
6.1.4. Свойства полинома Александера
6.1.5. Полином Конвея
6.1.6. Свободное дифференциальное исчисление
6.2. Инвариант Арфа
6.2.1. Инвариант Арфа квадратичной формы
6.2.2. Инвариант Арфа ориентированного зацепления
6.2.3. Заузленность вложений графа К7
6.3. Вложения и погружения
6.3.1. Сильная теорема Уитни о вложениях
6.3.2. Нормальная степень погружения
6.4. Комплексные многообразия
6.4.1. Полные пересечения
6.4.2. Гомологии гиперповерхности za° + + za° = 1
6.5. Группы Ли и Н-пространства
6.5.1. Некоторые свойства групп Ли
6.5.2. Когомологии алгебр Ли
6.5.3. Максимальные торы
6.5.4. Регулярные элементы
6.5.5. H-пространства и алгебры Хопфа
Решения и указания Литература
Предметный указатель.