Элементы прикладной математики, Зельдович Б., Мышкис А.Д., 1972

Элементы прикладной математики, Зельдович Б., Мышкис А.Д., 1972.
Книга является не систематическим учебником, а скорее, книгой для чтения. На простых примерах, взятых из физики, на различных математических задачах авторы старались ввести читателя в круг идей и методов, широко распространенных сейчас в приложениях математики к физике, технике и некоторым другим областям. Некоторые из этих идей и методов (такие, как применение дельта-функции, принципа суперпозиции, получение асимптотических выражений и т. д.) еще недостаточно освещаются в распространенных математических учебниках для нематематиков, так что здесь данная книга может служить дополнением к этим учебникам. целью авторов было пояснить основные идеи математических методов и общие закономерности рассматриваемых явлений. Напротив, формальные доказательства, рассмотрение исключений и усложняющих факторов по возможности опущены. Взамен этого в некоторых местах авторы старались входить более подробно в физическую картину рассматриваемых процессов.

В задачах физики, техники и практических вычислений используются численные и графические методы, ряды. В книге содержатся полезные приемы таких вычислений. В наглядной форме даются основные сведения о комплексном переменном, линейных дифференциальных уравнениях, векторах и векторных полях и вариационном исчислении. Формальные доказательства в большинстве случаев заменены наводящими соображениями; за счет этого достигнуто упрощение и облегчено применение математических понятий. Подробно анализируются некоторые физические задачи, в частности относящиеся к оптике, механике, теории вероятностей.
ОГЛАВЛЕНИЕ
Предисловие 7
Глава 1. Некоторые численные методы 11
§ 1. Численное интегрирование  12
§ 2 Вычисление сумм при помощи интегралов 17
§ 3. Численное решение уравнений 25
Ответы и решения 33
Глава II. Математическая обработка результатов опыта 36
§ 1. Таблицы и разности 36
§ 2. Интегрирование и дифференцирование функции, заданных таблично 41
§ 3. Подбор формул по данным опыта по .методу наименьших квадратов 45
§ 4. Графический; способ подбора формул 51
Ответы и решения 58
Глава III. Дополнительные сведения об интегралах и рядах 61
§ 1. Несобственные интегралы 61
§ 2. Интегрирование быстроменяющихся функций 69
§ 3, Формула Стирлинга 77
§ 4. Интегрирование быстроколеблющихся функций 79
§ 5. Числовые ряды 82
§ 6 Интегралы, зависящие от параметра 93
Ответы и решения 97
Глава IV. Функции нескольких переменных 100
§ 1. Частные производные 100
§ 2. Геометрический смысл функции двух переменных 107
§ 3. Неявные функции 108
§ 4. Радиолампа 116
§ 5. Огибающая семейства липни 118
§ 6. Ряд Тейлора и задачи на экстремум .120
§ 7. Кратные интегралы 127
§ 8. Многомерное пространство и число степеней свободы 137
Ответы и решения 141
Глава V. Функции комплексного переменного 144
§ 1. Простейшие свойства комплексных чисел 144
§ 2. Сопряженные комплексные числа 147
§ 3. Возведение в мнимую степень. Формула Эйлера 150
§ 4. Логарифмы и корпи 154
§ 5. Описание гармонических колебании с помощью показательном функции от мнимого аргумента 157
§ 6. Производная функции комплексного переменного  164
§ 7. Гармонические функции 166
§ 8. Интеграл от функции комплексного переменного 168
§ 9. Вычеты 172
Ответы и решения 180
Глава VI. Дельта-функция Дирака 183
§ 1. Дельта-функция Дирака  183
§ 2. Функция Грина 188
§ 3. Функции, связанные с дельта-функцией 193
§ 4. Понятие об интеграле Стилтьеса 198
Ответы и решения 199
Глава VII. Дифференциальные уравнения 201
§ I. Геометрический смысл дифференциального уравнения первого порядка 201
§ 2. Интегрируемые типы уравнений первого порядка 204
§ 3. Линейные однородные уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами 212
§ 4. Простейшее линейное неоднородное уравнение второго порядка 217
§ 5. Линейные неоднородные уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами 224
§ 6. Устойчивые и неустойчивые решения 230
Ответы и решения  235
Глава VIII. Дальнейшие сведения о дифференциальных уравнениях 237
§ Ь Особые точки 237
§ 2. Системы дифференциальных  уравнений 239
§ 3. Определители и решение линейных систем с постоянными коэффициентами 242
§ 4. Устойчивость по Ляпунову состояния равновесия 247
§ 5. Построение приближенных формул для решения 250
§ 6. Адиабатическое изменение решения 258
§ 7. Численное решение дифференциальных уравнений 261
§ 8. Краевые задачи 269
§ 9. Пограничный слой 275
§ 10. Подобие явлений 276
Ответы и решения 280
Глава IX. Векторы 282
§ 1. Линейные действия над векторами 283
§ 2. Скалярное произведение векторов 287
§ 3. Производная от вектора 289
§ 4. Движение материальной точки 291
§ 5. Понятие о тензорах 295
§ 6. Многомерное векторное пространство 300
Ответы и решения 303
Глава X. Теория поля 306
§ 1. Введение 306
§ 2. Скалярное поле и градиент 307
§ 3. Потенциальная энергия н сила 311
§ 4. Поле скорости и поток 316
§ 5. Электростатическое поле, его потенциал и поток 320
§ 6. Примеры 323
§ 7. Общее векторное поле и его дивергенция  332
§ 8. Дивергенция поля скорости и уравнение неразрывности  336
§ 9. Дивергенция электрического поля и уравнение Пуассона 339
§ 10. Вектор площадки и давление 342
Ответы и решения 346
Глава XI. Векторное произведение и вращение 349
§ 1. Векторное произведение векторов 349
§ 2. Некоторые приложения к механике 353
§ 3. Движение в поле центральных сил 356
§ 4. Вращение твердого тела 363
§ 5. Симметрические и антисимметрические тензоры 366
§ 6. Истинные векторы и псевдовекторы 371
§ 7. Ротор векторного поля 373
§ 8. Оператор Гамильтона «набла» 379
§ 9. Потенциальные поля 382
§ 10. Ротор поля скорости 386
§ 11. Магнитное поле и электрический ток 388
§ 12. Электромагнитное поле и уравнения Максвелла 392
§ 13. Потенциал в многосвязной области 396
Ответы и решения 398
Глава XII. Вариационное исчисление 402
§ 1. Пример перехода от конечного числа степеней свободы к бесконечному 402
§ 2. Функционал 408
§ 3. Необходимое условие экстремума 411
§ 4. Уравнение Эйлера 414
§ 5. Всегда ли существует решение поставленной задачи? 419
§ 6. Варианты основной задачи 423
§ 7. Условный экстремум для конечного числа степеней свободы  425
§ 8. Условный экстремум в вариационном исчислении 428
§ 9. Задачи на экстремум с ограничениями 436
§ 10. Вариационные принципы. Принцип Ферма в оптике 438
§ 11. Принцип наименьшего действия 445
§ 12. Прямые методы  449
Ответы и решения 453
Глава XIII. Теория вероятностей 459
§ 1. Постановка вопроса 459
§ 2. Умножение вероятностей 462
§ 3. Анализ результатов многих испытаний 467
§ 4. Энтропия 478
§ 5. Радиоактивный распад. Формула Пуассона 483
§ 6. Другой вывод распределения Пуассона 487
§ 7. Непрерывно распределенные величины 488
§ 8. Случай весьма большого числа испытаний 493
§ 9. Корреляционная зависимость 500
§ 10. О распределении простых чисел 505
Ответы и решения 511
Глава XIV. Преобразование Фурье 516
§ I. Введение 516
§ 2. Формулы преобразования Фурье 520
§ 3. Причинность и дисперсионные соотношения 527
§ 4. Свойства преобразования Фурье 531
§ 5. Преобразование колокола и принцип неопределенности 539
§6. Спектральный анализ периодической функции 544
§ 7. Пространство Гильберта 548
§ 8. Модуль и фаза спектральной плотности 553
Ответы и решения  556
Глава XV. Электронные цифровые вычислительные машины 559
§ 1. Моделирующие вычислительные машины 560
§ 2. Цифровые вычислительные машины 561
§ 3. Запись чисел и команд в ЭЦВМ 563
§ 4. Программирование 568
§ 5. Пользуйтесь ЭЦВМ 574
Ответы и решения 581
Предметный указатель 584