Элементарная математика в современном изложении, Люсьенн Ф., 1967

Элементарная математика в современном изложении, Люсьенн Ф., 1967.
   Теоретико-множественные концепции, пронизывающие всю книгу Люсьенн Феликс, имеют в наши дни фундаментальное значение не только для теоретической математики, но и для многих физических, технических, биологических и иных научных дисциплин. Эти концепции используются не только при построении вершин науки и се основ, но также и в педагогическом процессе. Вопросы перестройки математического образования сейчас волнуют педагогов и ученых во всем мире. Это вызвано в первую очередь стремлением приблизить содержание курса математики средней школы к установкам и устремлениям современной математической пауки и к запросам практики.
   Советскому читателю предоставляется возможность ознакомиться с результатами многолетних размышлений интересного французского педагога относительно содержания курса школьной математики и построения стройной логической системы основ математических знаний. Люсьенн Феликс, ученица одного из крупнейших представителей французской математической мысли первых десятилетий нашего века Анри Лебега, довольно точно следует педагогическим идеям своего учителя. Эти идеи продолжают сохранять свежесть и в наши дни. Теоретико-множественные концепции, пронизывающие всю книгу Люсьенн Феликс, имеют в наши дни фундаментальное значение не только для теоретической математики, но и для многих физических, технических, биологических и иных научных дисциплин. Эти концепции используются не только при построении вершин науки и ее основ, но также и в педагогическом процессе. Скажу, например, что в курсах математической статистики, которые предназначены в США для агрономов и других специалистов сельского хозяйства, теоретико-множественным концепциям науки уделяется большое внимание, поскольку именно они позволяют глубже и свободнее взглянуть на реальные явления. Точно так же при построении основ теории надежности выяснилось, что без теоретико-множественного подхода не удается разумно осмыслить самые центральные ее понятия. В связи с этим в работах, предназначенных для инженеров, изложение приходится строить именно на этой базе (см., например, статью Б. В. Гнеденко и Я. Б. Шора «Надежность» в энциклопедии «Автоматизация производства и промышленная электроника», т. 2, М., 1963).
ОГЛАВЛЕНИЕ
Общие обозначения 14
Первая книга
ОСНОВНЫЕ СТРУКТУРЫ
Первая глава. Терминология и символы теории множеств. Операции 17
§1. Первоначальные определения —
§2. Отношения эквивалентности 19
§3. Отношение порядка 21
§4. Операции 22
Вторая глава. Числа 25
§1. Натуральные числа 26
I. Сложение —
II. Отношение порядка —
III. Вполне упорядоченные множества 28
IV. Умножение 31
V. Множество N натуральных чисел является архимедовым множеством 34
§2. Относительные числа. Симметризация 35
I. Понятие изоморфизма двух структур —
II. Расширение путем симметризации 36
§3. Дроби и рациональные числа 41
I. Дроби 42
II. Рациональные числа 44
III. Множество рациональных чисел как расширение множества целых чисел 45
§4. Понятие о вещественных числах 48
I. Введение квадратных корней 49
II. Аксиома полноты 50
III. Свойства множества вещественных чисел 52
IV. Множество Q рациональных чисел как подмножество множества R вещественных чисел 53
Третья глава. Векторные пространства 54
I. Векторы. Векторные операции —
II. Векторные пространства 57
III. Точечное пространство как образ векторного пространства 62
Четвертая глава. Отображение одного множества в другое. Точечные преобразования. Числовые функции 65
Алгебраическая точка зрения
§1. Общее понятие об отображении —
I. Определение —
II. Группы отображений множества на себя 68
§2. Точечные преобразования (общие понятия) 70
I. Терминология —
II. Классификация точечных преобразований 71
III. Трансформирование одного точечного преобразования другим —
§3. Числовые функции одной переменной (общие понятия) 72
I. Определение —
II. Возрастание и убывание числовой функции в области ее определения 75
Топологическая точка зрения
§1. Общие понятия: окрестности, пределы 76
I. Окрестности —
II. Пределы 79
§2. Локальное исследование числовой функции 80
§3. Переход от локального исследования к глобальному 84
I. Основные теоремы —
II. Приложения к непрерывным дифференцируемым функциям 87
III. Расширение понятий окрестности и предела 90
IV. Применение понятия непрерывности 91
Пятая глава. Введение в метрическую геометрию —
§1. Определение евклидовых метрических пространств —
I. Введение метрики 92
II. Приложения к точечному двумерному пространству 95
III. Метрическая геометрия в трехмерном пространстве 102
IV. Ориентация метрических пространств двух и трех измерений 104
§2. Произведения векторов в трехмерном пространстве 105
I. Скалярное произведение 106
II. Векторное произведение (3-мерная геометрия) 108
III. Тригонометрические обозначения ПО
§3. Углы 112
I. Косинус и синус упорядоченной пары единичных векторов —
II. Конгруэнтность пар векторов. Углы 113
§4. Пределы, связанные с тригонометрическими функциями. Радиан. Вычисление числа л 116
I. Углы и хорды —
II. Предел отношения длины хорды единичного круга к мере q центрального угла 118
III. Приближенное вычисление числа я 119
Шестая глава. Булева алгебра множеств. Меры. Вероятность 121
§1. Алгебра множеств —
§2. Меры 126
I. Определения —
II. Естественная мера на вещественной прямой 127
III. Меры в пространстве двух измерений 129
A. Естественные меры в аффинной геометрии —
B. Приложения к метрической геометрии 132
1) Площади плоских фигур —
2) Масса отрезка прямой. Плотность 133
IV. Меры в трехмерном пространстве 134
V. Длины кривых. Площади кривых поверхностей 135
§3. Введение понятия вероятности 137
I. Меры на множестве событий —
II. Вероятности (случай конечных множеств) 139
III. Непрерывные вероятности (случай бесконечных множеств) 142
Вторая книга АРИФМЕТИКА И АЛГЕБРА
Первая часть. Теория чисел
Первая глава. Целые числа 145
§1. Евклидово деление —
§2. Делимость. Сравнения 147
§3. Кратные и делители. Простые числа 150
I. Кратные и делители целого числа —
II. Основная теорема 153
III. Приложения. Общие кратные и общие делители 154
§4. Изучение простых чисел 157
§5. Нумерация 159
I. Позиционный принцип нумерации —
II. Практические правила операций 160
III. Признаки делимости 164
§6. Алгоритм Евклида. Дробные величины 166
I. Алгоритм Евклида во множестве натуральных чисел —
II. Алгоритм Евклида во множестве величин 170
Вторая глава. Дроби. Рациональные числа. Десятичные дроби 175
I. Дроби 176
II. Десятичные дроби 177
III. Кольцо десятичных дробей в поле рациональных чисел 178
Третья глава. Вещественные числа 183
§1. Мощности подмножеств множества вещественных чисел —
I. Счетные подмножества 184
П. Мощность континуума 185
III. Дополнительные сведения о кардинальных (количественных) числах 188
§2. Логарифмы. Обобщение понятия показателя степени 190
Вторая часть. Алгебраические выражения. Решение уравнений
Первая глава. Многочлены. Рациональные функции 196
I. Определение многочлена —
II. Числовые значения многочлена. Делимость на х — а 201
III. Деление в кольце многочленов 205
1 Точное частное —
2 Евклидово деление многочленов 209
3 Деление многочленов, расположенных по возрастающим степеням 212
IV. Рациональные дроби от одного неизвестного 213
V. Многочлены и рациональные дроби от нескольких неизвестных 215
VI. Замечание о применении тригонометрии к алгебраическим задачам 217
Вторая глава. Решение уравнений 220
I. Определения —
II. Равносильность (эквивалентность) уравнений 221
III. Классические уравнения и системы 224
A. Основные уравнения —
B. Уравнения, приводящиеся к предыдущим преобразованием неизвестных 226
Третья книга АНАЛИЗ
Первая глава. Локальное исследование числовой функции одной переменной 230
I. Вычисление пределов 231
II. Вычисление производных 234
III. Бесконечные пределы. Неопределенные выражения 242
Вторая глава. Глобальное исследование числовой функции одной переменной 245
I. Прямое исследование —
II. Следствия из локальных гипотез во всех точках интервала 246
Третья глава. Графики 248
I. Глобальное исследование —
II. Локальное исследование 249
III. Исследование бесконечных ветвей 253
IV. Понятие о дифференциальной геометрии плоских кривых. Кинематика 256
Четвертая глава. Приложения общих теорем 261
I. Специальные виды функций —
II. Применение исследования функций к решению уравнений. 269
Пятая глава. Первообразные 272
I. Общая первообразная некоторой функции —
II. Геометрическая интерпретация первообразных 275
III. Существование первообразных. Первообразная функция 1/х 277
Шестая глава. Комплексные числа 279
I. Исторические сведения 280
II. Поле комплексных чисел 284
III. Числовые функции комплексного переменного 289
A. Топология в комплексной плоскости 290
B. Изменение аргумента вдоль замкнутого контура. Основная теорема алгебры (теорема Даламбера). 292
IV. Обзор приложений комплексных чисел 294
Четвертая книга ГЕОМЕТРИИ
Первая часть: Аффинная геометрия и проективная геометрия
Первая глава. Аффинная геометрия 300
§1. Основные фигуры —
I. Геометрия плоскости (геометрия двух измерений) —
II. Геометрия трехмерного пространства R3 304
III. Теория центра тяжести (барицентра) 306
§2. Аффинные точечные преобразования 309
I. Общее аффинное преобразование —
II. Частные случаи аффинных преобразований 311
A. Параллельный перенос —
B. Гомотетия 312
C. Аффинитеты 319
D. Проекция одной плоскости на другую параллельно направлению некоторой прямой 322
§3. Линейные преобразования. Понятие о матрицах 324
Вторая глава. Понятия проективной геометрии 333
I. Перспективное отображение плоскости на плоскость 334
II. Инвариант коллинеарных точек 337
III. Введение координат в проективной геометрии 341
IV. Проективные преобразования плоскости (коллинеации) 343
V. Гармоническое деление. Гармонические пучки 344
VI. Очерк прямого аксиоматического введения проективной геометрии 348
Вторая часть. Метрические геометрии
Первая глава. Евклидова метрическая геометрия 355
§1. Метрические соотношения —
I. Соотношения между длинами —
II. Метрическая аналитическая геометрия на плоскости 358
III. Метрические соотношения, содержащие тригонометрические функции. 360
§2. Окружности. Сферы 362
I. Окружность и углы —
II. Степень точки относительно окружности 368
III. Семейства окружностей 372
IV. Понятие о преобразовании методом взаимных поляр 376
§3. Точечные преобразования метрической геометрии 377
I. Аффинные преобразования в метрической геометрии 378
II. Перемещения и антиперемещения 379
1) Введение —
2) Внутреннее исследование перемещений и антиперемещений 382
а) Одномерное пространство —
б) Двумерное пространство —
с) Трехмерное пространство 388
д) Движение недеформируемой фигуры 395
III. Подобие 398
Вторая глава. Инверсия. Элементы круговой геометрии 402
I. Инверсия как преобразование в метрической геометрии —
II. Понятие о круговой геометрии 412
Третья глава. Понятие о метрических неевклидовых геометриях 417
I. Предварительные сведения 418
II. Геометрия Лобачевского 424
III. Модель Пуанкаре для геометрии Лобачевского (на плоскости) 433
IV. Сферическая геометрия, модель геометрии Римана 437
Третья часть. Конические сечения
I. Определение конических сечений на конусе вращения 443
II. Конические сечения в аналитической геометрии. Степень уравнения 449
III. Аффинные свойства центральных конических сечений 455
IV. Конические сечения в проективной геометрии 457
V. Тангенциальная точка зрения 459
Дополнения 461
Предметный указатель 486