Элементарная математика в современном изложении - Люсьенн Феликс

Название: Элементарная математика в современном изложении. 1967.
Автор: Люсьенн Феликс
Теоретико-множественные концепции, пронизывающие всю книгу Люсьенн Феликс, имеют в наши дни фундаментальное значение не только для теоретической математики, но и для многих физических, технических, биологических и иных научных дисциплин. Эти концепции используются не только при построении вершин науки и ее основ, но также и в педагогическом процессе. Вопросы перестройки математического образования сейчас волнуют педагогов и ученых во всем мире. Это вызвано в первую очередь стремлением приблизить содержание курса математики средней школы к установкам и устремлениям современной математической науки и к запросам практики.

   Вопросы перестройки математического образования сейчас волнуют педагогов и ученых во всем мире. Это вызвано рядом обстоятельств и в первую очередь стремлением приблизить содержание курса математики средней школы к установкам и устремлениям современной математической науки и к запросам практики. На международных конференциях по математическому образованию, в особенности после 1957 года, когда был запущен первый советский спутник Земли, проблема того, чему учить по математике школьников, является центральной. Традиционные курсы школьной математики сложились в определенных условиях под влиянием определенных общественных задач и требований, а также при определенном уровне математической науки. С тех пор наука сделала огромный скачок в своем развитии. Она стала непосредственной производительной силой общества. Все это нельзя игнорировать. Необходимо учесть и то, что первоначальный запас знаний и навыков, с которыми дети приходят в школу, резко отличен от того, с которым дети приходили раньше. Они свободно обсуждают в дошкольном возрасте не только особенности марок автомобилей, но и простейшие графики, с которыми они встречаются в повседневной жизни. Они знакомы с использованием электричества, свободно включают и выключают радиоприемники и телевизоры. Вот почему ни содержание школьных программ, ни построение курса математики не может оставаться неизменным. Время от времени все это следует пересматривать с позиции состояния науки, а также с позиции практики и тех требований, которые предъявляет жизнь сегодня или предъявит завтра. Таким образом, и в образовании то, что вчера было превосходно, а сегодня еще хорошо, завтра может оказаться неудовлетворительным. Школьное образование - живой организм, а потому обязано развиваться. Если не учесть этого обстоятельства, то можно жестоко поплатиться падением интереса к предмету, а упадок интереса порождает безразличие, что влечет за собой безделие и инертность.
ОГЛАВЛЕНИЕ
Общие обозначения 14
Первая книга
ОСНОВНЫЕ СТРУКТУРЫ
Первая глава Терминология и символы теории множеств Операции 17
§ 1 Первоначальные определения
§ 2 Отношения эквивалентности 19
§ 3 Отношение порядка 21
§ 4 Операции 22
Вторая глава Числа 25
§ 1 Натуральные числа 26
I Сложение
II Отношение порядка
III Вполне упорядоченные множества 28
IV Умножение 31
V Множество N натуральных чисел является архимедовым множеством 34
§ 2 Относительные числа Симметризация 35
I Понятие изоморфизма двух структур
II Расширение путем симметризации 36
§ 3 Дроби и рациональные числа 41
I Дроби 42
II Рациональные числа 44
III Множество рациональных чисел как расширение множества целых чисел 45
§ 4 Понятие о вещественных числах 48
I Введение квадратных корней 49
II Аксиома полноты 50
III Свойства множества вещественных чисел 52
IV Множество Q рациональных чисел как подмножество множества R вещественных чисел 53
Третья глава Векторные пространства 54
I Векторы Векторные операции
II Векторные пространства 57
III Точечное пространство как образ векторного пространства 62
Четвертая глава Отображение одного множества в другое Точечные преобразования Числовые функции 65
Алгебраическая точка зрения
§ 1 Общее понятие об отображении
I Определение -
II Группы отображений множества на себя 68
§ 2 Точечные преобразования (общие понятия) 70
I Терминология -
II Классификация точечных преобразований 71
III Трансформирование одного точечного преобразования другим
§ 3 Числовые функции одной переменной (общие понятия) 72
I Определение -
II Возрастание и убывание числовой функции в области ее
определения 75
Топологическая точка зрения
§ 1 Общие понятия: окрестности, пределы 76
I Окрестности
П Пределы 79
§ 2 Локальное исследование числовой функции 80
§ 3 Переход от локального исследования к глобальному 84
I Основные теоремы
II Приложения к непрерывным дифференцируемым функциям 87
III Расширение понятий окрестности и предела 90
IV Применение понятия непрерывности 91
Пятая глава Введение в метрическую геометрию
§ 1 Определение евклидовых метрических пространств
I Введение метрики 92
II Приложения к точечному двумерному пространству 95
III Метрическая геометрия в трехмерном пространстве 102
IV Ориентация метрических пространств двух и трех измерений 104
§ 2 Произведения векторов в трехмерном пространстве 105
I Скалярное произведение 106
II Векторное произведение (3-мерная геометрия) 108
III Тригонометрические обозначения ПО
§ 3 Углы 112
I Косинус и синус упорядоченной пары единичных векторов
II Конгруэнтность пар векторов Углы 113
§ 4 Пределы, связанные с тригонометрическими функциями
Радиан Вычисление числа л 116
I Углы и хорды
II Предел отношения длины хорды единичного круга к мере q> центрального угла 118
III Приближенное вычисление числа я 119
Шестая глава Булева алгебра множеств Меры Вероятность 121
§ 1 Алгебра множеств
§ 2 Меры 126
I Определения
II Естественная мера на вещественной прямой 127
III Меры в пространстве двух измерений 129
A Естественные меры в аффинной геометрии
B Приложения к метрической геометрии 132
1) Площади плоских фигур
2) Масса отрезка прямой Плотность 133
IV Меры в трехмерном пространстве 134
V Длины кривых Площади кривых поверхностей 135
§ 3 Введение понятия вероятности 137
I Меры на множестве событий
II Вероятности (случай конечных множеств) 139
III Непрерывные вероятности (случай бесконечных множеств) 142
Вторая книга
АРИФМЕТИКА И АЛГЕБРА
Первая часть Теория чисел
Первая глава Целые числа 145
§ 1 Евклидово деление
§ 2 Делимость Сравнения 147
§ 3 Кратные и делители Простые числа 150
I Кратные и делители целого числа
II Основная теорема 153
III Приложения Общие кратные и общие делители 154
§ 4 Изучение простых чисел 157
§ 5 Нумерация 159
I Позиционный принцип нумерации -
II Практические правила операций 160
III Признаки делимости 164
§ 6 Алгоритм Евклида Дробные величины 166
I Алгоритм Евклида во множестве натуральных чисел
II Алгоритм Евклида во множестве величин 170
Вторая глава Дроби Рациональные числа Десятичные дроби 175
I Дроби 176
II Десятичные дроби 177
III Кольцо десятичных дробей в поле рациональных чисел 178
Третья глава Вещественные числа 183
§ 1 Мощности подмножеств множества вещественных чисел
I Счетные подмножества 184
П Мощность континуума 185
III Дополнительные сведения о кардинальных (количественных) числах 188
§ 2 Логарифмы Обобщение понятия показателя степени 190
Вторая часть Алгебраические выражения Решение уравнений
Первая глава Многочлены Рациональные функции 196
I Определение многочлена -
II Числовые значения многочлена Делимость на х - а 201
III Деление в кольце многочленов 205
1 Точное частное
2 Евклидово деление многочленов 209
3 Деление многочленов, расположенных по возрастающим степеням 212
IV Рациональные дроби от одного неизвестного 213
V Многочлены и рациональные дроби от нескольких неизвестных 215
VI Замечание о применении тригонометрии к алгебраическим задачам 217
Вторая глава Решение уравнений 220
I Определения
II Равносильность (эквивалентность) уравнений 221
III Классические уравнения и системы 224
A Основные уравнения
B Уравнения, приводящиеся к предыдущим преобразованием неизвестных 226
Третья книга
АНАЛИЗ
Первая глава Локальное исследование числовой функции одной переменной 230
I Вычисление пределов 231
II Вычисление производных 234
III Бесконечные пределы Неопределенные выражения 242
Вторая глава Глобальное исследование числовой функции одной переменной 245
I Прямое исследование
II Следствия из локальных гипотез во всех точках интервала 246
Третья глава Графики 248
I Глобальное исследование
II Локальное исследование 249
III Исследование бесконечных ветвей 253
IV Понятие о дифференциальной геометрии плоских кривых Кинематика 256
Четвертая глава Приложения общих теорем 261
I Специальные виды функций
II Применение исследования функций к решению уравнений 269
Пятая глава Первообразные 272
I Общая первообразная некоторой функции
II Геометрическая интерпретация первообразных 275
III Существование первообразных Первообразная функция 1/х 277
Шестая глава Комплексные числа 279
I Исторические сведения 280
II Поле комплексных чисел 284
III Числовые функции комплексного переменного 289
A Топология в комплексной плоскости 290
B Изменение аргумента вдоль замкнутого контура Основная теорема алгебры (теорема Даламбера) 292
IV Обзор приложений комплексных чисел 294
Четвертая книга
ГЕОМЕТРИИ
Первая часть: Аффинная геометрия и проективная геометрия
Первая глава Аффинная геометрия 300
§ 1 Основные фигуры
I Геометрия плоскости (геометрия двух измерений)
II Геометрия трехмерного пространства R3 304
III Теория центра тяжести (барицентра) 306
§ 2 Аффинные точечные преобразования 309
I Общее аффинное преобразование
II Частные случаи аффинных преобразований 311
A Параллельный перенос
B Гомотетия 312
C Аффинитеты 319
D Проекция одной плоскости на другую параллельно направлению некоторой прямой 322
§ 3 Линейные преобразования Понятие о матрицах 324
Вторая глава Понятия проективной геометрии 333
I Перспективное отображение плоскости на плоскость 334
II Инвариант коллинеарных точек 337
III Введение координат в проективной геометрии 341
IV Проективные преобразования плоскости (коллинеации) 343
V Гармоническое деление Гармонические пучки 344
VI Очерк прямого аксиоматического введения проективной геометрии 348
Вторая часть Метрические геометрии
Первая глава Евклидова метрическая геометрия 355
§ 1 Метрические соотношения
I Соотношения между длинами
II Метрическая аналитическая геометрия на плоскости 358
III Метрические соотношения, содержащие тригонометрические функции 360
§ 2 Окружности Сферы 362
I Окружность и углы
II Степень точки относительно окружности 368
III Семейства окружностей 372
IV Понятие о преобразовании методом взаимных поляр 376
§ 3 Точечные преобразования метрической геометрии 377
I Аффинные преобразования в метрической геометрии 378
II Перемещения и антиперемещения 379
1) Введение
2) Внутреннее исследование перемещений и антиперемещений 382
а) Одномерное пространство
б) Двумерное пространство
с) Трехмерное пространство 388
д) Движение недеформируемой фигуры 395
III Подобие 398
Вторая глава Инверсия Элементы круговой геометрии 402
I Инверсия как преобразование в метрической геометрии
II Понятие о круговой геометрии 412
Третья глава Понятие о метрических неевклидовых геометриях 417
I Предварительные сведения 418
II Геометрия Лобачевского 424
III Модель Пуанкаре для геометрии Лобачевского (на плоскости) 433
IV Сферическая геометрия, модель геометрии Римана 437
Третья часть Конические сечения
I Определение конических сечений на конусе вращения 443 II Конические сечения в аналитической геометрии Степень уравнения 449
III Аффинные свойства центральных конических сечений 455
IV Конические сечения в проективной геометрии 457
V Тангенциальная точка зрения 459
Дополнения 461
Предметный указатель 486