Элементарная математика для школьников, студентов и преподавателей. Иванов О. А. 2009

Название: Элементарная математика для школьников, студентов и преподавателей.
Автор: Иванов О. А.
2009
   Книга состоит из десяти глав, названия большинства из которых вполне традиционны для книг, предназначенных для факультативных занятий по математике. В книге приведены более трёхсот задач, большая часть которых предлагается читателю для самостоятельного решения. Однако в каждой из глав рассматриваются не только элементарные задачи, но и связанная с ними теория.
Для старшеклассников школ с углублённым изучением математики и их учителей, студентов математических факультетов университетов и их преподавателей, а также всех, кто интересуется математикой и её преподаванием.
   Для того чтобы книгу было интересно читать, в ней должен быть сюжет, даже в том случае, когда она посвящена математике. Более того, именно книга по математике для непрофессионалов должна быть написана так, чтобы даже профессионалу было интересно следить за развитием ее сюжета. Кроме того, такие книги должны обладать и литературными достоинствами. Всеми этими качествами обладает книга, которую вы сейчас держите в руках.
Она состоит из десяти математических глав-новелл, объединенных общими действующими лицами. К примеру, рассуждения «по индукции», обоснованию которых посвящена первая новелла, появятся и сыграют свою роль практических во всех последующих частях книги. С другой стороны, множество натуральных чисел — это первый пример так называемой числовой системы, развитию которых посвящены новеллы с номерами 3, 8 и 9. Такие внутренние взаимосвязи — обычное явление в этой книге.
Трудно определить жанр, в котором она написана. Это не задачник, не учебник, не «книга для чтения по математике». Более всего она напоминает хороший лекционный курс, из которого вдумчивый слушатель вынесет больше, чем ему было рассказано. Мне нравится, что каждая глава-новелла начинается с элементарных задач, служащих тем основанием, на котором строится дальнейшее изложение, и что автор всегда чувствует, когда ему следует остановиться при изложении теоретического материала. Мне нравится расположение и характер многочисленных упражнений, которые, с одной стороны, облегчают чтение книги, а с другой стороны — дают вдумчивому читателю возможность оценить свое понимание предмета.
Оглавление
Предисловие {А. С. Меркурьев) 7
Введение 9
ГЛАВА 1. Индукция 17
§1.1. Рассуждения «по индукции» 17
§1.2. Метод математической индукции 19
§1.3. Принцип математической индукции 23
§1.4. Аксиоматика Пеано 25
§1.5. Сложение, порядок и умножение 27
§1.6. Число элементов множества 31
Дополнительные задачи 33
Комментарии педагогического характера 34
Решения упражнений 36
ГЛАВА 2. Комбинаторика 40
§2.1. Элементарные задачи 40
§2.2. Числа сочетаний и рекуррентные соотношения 45
§2.3. Задача о перечислении графов 50
§2.4. Перестановки, размещения, сочетания 51
§2.5. Метод производящих функций 55
§2.6. Рекуррентные соотношения и свойства степенных рядов 57
§2.7. Теорема Эйлера 59
§2.8. Числа Каталана 64
§2.9. Число ячеек n-мерного пространства 66
Дополнительные задачи 69
Комментарии педагогического характера 71
Решения упражнений 72
ГЛАВА 3. Целые числа 79
§3.1. Элементарные задачи на делимость 79
§3.2. Алгоритм Евклида 83
§3.3. Сравнения по модулю и кольца вычетов 85
§3.4. Теоремы Ферма и Эйлера 88
§3.5. Распределение простых чисел 91
§3.6. Арифметические функции 93
§3.7. Алгебраические уравнения над кольцами вычетов 96
§3.8. Шифры с открытым ключом 99
§3.9. Множество целых чисел 100
§3.10. Кольца, поля, группы 102
Дополнительные задачи 106
Комментарии педагогического характера 107
Решения упражнений 107
ГЛАВА 4. Геометрические преобразования 113
§4.1. Параллельный перенос, поворот и симметрии в задачах 113
§4.2. Композиции в задачах 116
§4.3. Группа движений плоскости 121
§4.4. Алгебраические свойства геометрических фигур. 125
§4.5. Координатные представления геометрических преобразований 128
§4.6. Орнаменты 134
Дополнительные задачи 137
Комментарии педагогического характера 139
Решения упражнений 140
ГЛАВА 5. Неравенства 145
§5.1. Средние двух чисел 145
§5.2. Неравенства и тождественные преобразования 149
§5.3. Неравенство Коши—Буняковского 152
§5.4. Неравенство Коши 153
§5.5. Теорема Мюрхеда 155
§5.6. Различные доказательства неравенства Коши 159
§5.7. Неравенство Йенсена 163
§5.8. Классические неравенства и геометрия 166
§5.9. Нормы и шары в Шп 169
§5.10. Интегральные варианты классических неравенств 172
Дополнительные задачи 174
Комментарии педагогического характера 176
Решения упражнений 176
ГЛАВА 6. Графы 185
§6.1. Начало теории графов 185
§6.2. Понятия и определения 189
§6.3. Паросочетания 192
§6.4. Деревья 195
§6.5. Формула Эйлера и эйлерова характеристика 198
§6.6. Формула Пика 200
§6.7. Теорема Жордана 203
§6.8. Графы для самых маленьких 205
§6.9. Двоичные кучи 207
Дополнительные задачи 211
Комментарии педагогического характера 213
Решения упражнений 214
ГЛАВА 7. Принцип Дирихле 219
§7.1. Клетки и кролики 219
§7.2. Комбинаторные теоремы существования 222
§7.3. Плотные подмножества в R 225
§7.4. Лемма Минковского 229
§7.5. Суммы двух и четырех квадратов 231
Дополнительные задачи 234
Решения упражнений 235
ГЛАВА 8. Комплексные числа и многочлены 239
§8.1. Многочлены: делимость и разложения на множители 239
§8.2. Определение поля комплексных чисел 241
§8.3. Комплексные числа в задачах 245
§8.4. Комплексные числа и геометрия 248
§8.5. Доказательство Конна теоремы Морли 252
§8.6. Основная теорема высшей алгебры и «единственность» поля С 255
§8.7. Формула Эйлера 258
§8.8. Быстрое преобразование Фурье 260
Дополнительные задачи 263
Решения упражнений 265
ГЛАВА 9. Рациональные приближения 269
§9.1. Хорошие приближения числа уД 269
§9.2. Задача о саде и ряды Фарея 272
§9.3. Цепные дроби 277
§9.4. Квадратичные иррациональности 284
§9.5. Поле Q и поля частных 288
§9.6. Числа алгебраические и трансцендентные 290
Дополнительные задачи 296
Комментарии педагогического характера 297
Решения упражнений 297
ГЛАВА 10. Математика и компьютер 305
§10.1. Введение в предмет 305
§10.2. Визуализация математических фактов и методов 310
§10.3. Анализ результата, или: «Как сделать открытие» 316
§10.4. Хаос, хаос 321
Дополнительные задачи 326
Комментарии педагогического характера 327
Решения упражнений 327
Вместо заключения: обучение поиску решения задач, или фантазии в манере Пойа 332
Решения дополнительных задач 340
К главе 1 340
К главе 2 344
К главе 3 349
К главе 4 352
К главе 5 358
К главе 6 361
К главе 7 365
К главе 8 367
К главе 9 370
К главе 10 373
Список литературы 377
Именной указатель 379
Предметный указатель 380