Элементарная геометрия. Том 3. Треугольники и тетраэдры. Понарин Я.П. 2009

Название: Элементарная геометрия. Том 3. Треугольники и тетраэдры.
Автор: Понарин Я.П.
2009
   Пособие предназначено для учащихся старших классов школ с математической специализацией. Оно содержит разнообразные сведения о геометрии треугольника и тетраэдра. Представлен большой материал из богатого классического арсенала геометров прошлого.
Книга может быть использована для внеклассной работы с учащимися, для самообразования учителей, для спецкурсов и спецсеминаров по элементарной геометрии в педагогических ВУЗах.
   Эта книга является заключительной в серии моих книг по элементарной геометрии. Ее написание заранее я не планировал. Однако после выхода в свет первых двух томов [4] и [5) возникло и постепенно усиливалось чувство неудовлетворенности незавершенностью, несмотря на одобрительные отзывы коллег и читателей об их содержании и стиле изложения. В них имеется много материала по классической геометрии для почитателей этой древней красивой науки. Однако при сложившемся негативном отношении к геометрии есть опасность постепенно растерять имеющийся богатый арсенал, если не обеспечить его сохранность и развитие. Необходимо найти ему достойное применение.
Цель написания этого тома состояла не просто в изложении имеющегося здесь содержания, хотя и это важно. Сверхзадача состояла в том, чтобы дать пищу заинтересованному молодому читателю для решения предлагаемых задач и тех, что возникнут на основе прочитанного о достижениях геометров-классиков XVIII—XIX веков, не гнушавшихся браться за решение казалось бы "приземленных" задач элементарного характера. Содержание книги связано с именами многих выдающихся геометров прошлого: Аполлония, Птолемея, Менелая, Чевы, Дезарга, Гаусса, Мёбиуса, Плюккера, Шаля, Штейнера, Лемуана, Моижа, Эйлера и др.
Оглавление
Предисловие 9
Глава 1. Барицентрические координаты
§ 1. Барицентрические координаты точки и вектора на плоскости. 11 1.1. Определение барицентрических координат точки относительно данного треугольника (11). 1.2. Аффинный и метрический смысл барицентрических координат точки (13). 1.3. Барицентрические координаты вектора (14). § 2. Барицентрические формулы длины вектора и скалярного произведения векторов 14
2.1. Длина вектора (14). 2.2. Скалярное произведение векторов (15).
§3. Барицентрическое уравнение прямой на плоскости 16
3.1. Связь аффинного и барицентрического уравнений прямой (16). 3.2. Уравнения прямой при аффинных способах ее задания (17). 3.3. Критерий принадлежности трех прямых одному пучку (18). 3.4. Уравнение прямой по точке и нормальному вектору в канонической БСК (19).
§4. Барицентрические координаты замечательных точек треугольника 19
4.1. Две вспомогательные формулы (19). 4.2. Координаты ортоцентра треугольника (20). 4.3. Координаты центров вписанной и описанной окружностей (20). 4.4. Точка Жергона треугольника (21).
§ 5. Барицентрические координаты точки и вектора пространства 21 5.1. Обзор ранее изложенного (21). 5.2. Длина отрезка и скалярное произведение векторов пространства в Б-координатах (23).
§6. Барицентрическое уравнение плоскости 24
6.1. Связь аффинного и барицентрического уравнений плоскости (24). 6.2. Барицентрическое уравнение плоскости при аффинных способах ее задания (24). 6.3. Критерий принадлежности четырех плоскостей одной связке (26).
§ 7. Нормальный вектор плоскости 26
7.1. Координаты нормального вектора плоскости в канонической БСК (26). 7.2. Расстояние от точки до плоскости (27).
§8. Барицентрические уравнения описанной окружности треугольника
8.1. Уравнение описанной окружности (28). 8.2. Уравнение описанной сферы (29). 8.3. Б-коордниаты центра описанной сферы (29).
§9. Примеры решения задач методом барицентрических координат 30
Глава 2. Треугольники
§ 10. Точка Лемуаиа треугольника 35
10.1. Симедианы треугольника (35). 10.2. Точка Лемуаиа (35). 10.3. Теорема Шлёмильха (37).
§11. Гомологичные треугольники 37
11.1. Теорема Дезарга для треугольников пространства (37).
11.2. Гармоническая поляра точки относительно треугольника (39). 11.3. Теорема Плюккера (40). 11.4. Геометрическое место точек, (40).
§ 12. Ортологичсские треугольники 43
12.1. Определяющий признак ортологических треугольников (43). 12.2. Ортологическое свойство треугольника к прямой (44).
§ 13. Изотоническое и изогональное преобразования 46
13.1. Изотомичсскос преобразование (46). 13.2. Изогональное преобразование (47).
§ 14. Треугольник с двумя совпавшими вершинами 49
14.1. Вырожденный треугольник, его центроид и ортоцентр (49).
14.2. Непосредственное истолкование свойств вырожденного треугольника (51).
Глава 3. Косой четырехугольник
§15. Неравенства для косого четырехугольника 54
15.1. Сумма внутренних углов (54). 15.2. Неравенство Птолемея (55). 15.3. Сумма косинусов (55).
§ 16. Теоремы Менелая. Чевы и Гаусса для косого четырехугольника 56 16.1. Теорема Менелая (56). 16.2. Обобщенная теорема Гаусса (57). 16.3. Задача (58). 16.4. Теорема Чевы (59).
§ 17. Косой параллелограмм 60
17.1. Свойство углов косого параллелограмма (60). 17.2. Ось симметрии косого параллелограмма (63). 17.3. Другие признаки косого параллелограмма (64).
§ 18. Ортологические косые четырехугольники 65
§ 19. Плоскости-n косого четырехугольника
19.1. Определение плоскоети-n (66). 19.2. Свойства плоскости-0 и плоскости-1 (67). 19-3. Построение плоскости-(n + 1) по данной плоскостн-n (68).
Глава 4. Тетраэдры
§20. Гомологичные тетраэдры 71
20.1. Теорема Понселс (71). 20.2. Дезаргова тетраэдральная конфигурация (72). 20.3. Полярная плоскость точки относительно тетраэдра (73).
§21. Тетраэдр и точка 74
21.1. Теорема Чевы для тетраэдра (74). 21.2. Обобщенная теорема Ван-Обеля (75). 21.3. Теорема Жергона (76). 21.4. Две аффинные конструкции точки, прямых и центроидов граней тетраэдра (76).
§ 22. Тетраэдр и плоскость 78
22.1. Деление тетраэдра на две равновеликие части (78).
22.2. Теорема Менелая (79). 22.3. Изотомические плоскости (79). 22.4. Прямые Гаусса в гранях тетраэдра (80).
§23. Параллельное проектирование и равновеликие тетраэдры 81 23.1. Три задачи о равновеликих тетраэдрах (81). 232. Отношение объемов двух тетраэдров (86). 23.3. Тождество для проекций вершин тетраэдра (87). 23.4. Аналог теоремы Гаусса (87).
§24. Изотомичсскос и изогональное преобразования пространства. 89
24.1. Изотонические точки относительно тетраэдра (89).
24.2. Изотомическое преобразование (90). 24.3. Изогональное преобразование (90).
§25. Гиперболические четверки прямых 91
25.1. Определение и критерий гиперболической четверки прямых (91). 25.2. Аналитические критерии гиперболической четверки прямых (93). 25.3. Примеры гиперболических четверок прямых (94).
§26. Ортологические тетраэдры 96
26.1. Теорема Штейнера (96). 26.2. Косо ортологические тетраэдры (97).
§27. Полярное соответствие
относительно сферы 98
27.1. Полярная плоскость точки относительно сферы (98).
27.2. Автополярный тетраэдр (99). 27.3. Полярное соответствие относительно сферы (99).
§28. Гиперболоидальные тетраэдры
28.1. Теорема Шаля (100). 28.2. Полярно сопряженные тетраэдры (101).
§ 29. Тетраэдры Мёбиуса 102
§ 30. Тетраэдр и сфера 103
30.1. Аналог теоремы Паскаля (103). 30.2. Тождество для тетраэдра н его описанной сферы (105). 30.3. Антипараллельные сечения тетраэдра (105).
Глава 5. Метрические зависимости в тетраэдре
§31. Точка Лемуана тетраэдра 108
31.1. Определение точки Лемуана тетраэдра (108). 31.2. Свойства точки Лемуана (109). 31.3. Сопутствующая гиперболическая четверка прямых (110).
§32. Объем тетраэдра 110
32.1. Формула Монжа (ПО). 32.2. Формула величии одной грани (111). 32.3. Формула двенадцати величин (111). 32.4. Выражение объема тетраэдра в барицентрических координатах (113).
§ 33. Зависимости между углами, высотами и бивысотами 114
33.1. Углы между противоположными ребрами тетраэдра (114).
33.2. Длина бивысоты (115). 33.3. Зависимость между высотами к бивысотами (115). 33.4. Следствия (116).
§34. Свойства точки Люилье тетраэдра 117
34.1. Аналог теоремы Шлёмильха (118). 34.2. Точка Люилье и бивысоты (119).
§35. Избранные неравенства и экстремумы 119
Глава 6. Специальные тетраэдры
§36. Замечательные сферы ортоценттрического тетраэдра 124
36.1. Первая сфера Эйлера (124). 36.2. Вторая сфера Эйлера (125). 36.3. Третья замечательная сфера (125). 36.4. Расположение центров сфер Эйлера (126).
§ 37. Ортоцентрический тетраэдр с двумя совпавшими вершинами 126 37.1. Задание и элементы вырожденного ортоцентрического тетраэдра (126). 37.2. Высоты и ортоцентр (128).
§38. Свойства равногранного тетраэдра 130
§39. Замечательные сферы равпогранного тетраэдра 131
39.1. Лемма (131). 39.2. Сфера двенадцати точек (132). 39.3. Вне-вписанные сферы (132).
§40. Квазиописанный тетраэдр 134
40.1. Критерий существования сферы, касающейся ребер тетраэдра (134). 40.2. Свойства квязиописанного тетраэдра (136).
§41. Квазивневписанные сферы 137
§42. Изодинамический тетраэдр 138
42.1. Определение и характеристические свойства изодинамического тетраэдра (138). 42.2. Свойства точки Лемуана нзоднна-мического тетраэдра (139). 42.3. Построение изодннамического тетраэдра (140).
§43. Замечательные сферы изодннамического тетраэдра 141
43.1. Геометрическое место вершин изодннамического тетраэдра, три из которых заданы (141). 43.2. Сферы Аполлония (141). 43.3. Сферы Лемуана (143).
§44. Изогональный тетраэдр 143
44.1. Определение и характеристическое свойство изогонального тетраэдра (143). 44.2. Свойство точек касания вписанной сферы (145)
§45. Прямоугольный тетраэдр 147
45.1. Основные соотношения (147). 45.2. Описанная ссрера и первая сфера Эйлера прямоугольного тетраэдра (149)
§46. Прямой триэдр и сфера 150
46.1. Геометрическое место ортогональных проекций вершины прямого триэдра (150). 46.2. Инварианты вращения прямого триэдра (152)
§47. Ортогональная проекция тетраэдра 153
47.1. Связь между ортогональными проекциями вершин произвольного тетраэдра (153). 47.2. Вывод соотношения Гаусса (155). 47.3. Построение ортогональной проекции вершины тетраэдра по заданным проекциям трех других вершин прямоугольного и правильного тетраэдров (157)
Глава 7. Начала многомерной геометрии
§48. О понятии n-мерного пространства 162
§49. Аффинное n-мерное пространство Ап 164
49.1. Векторное пространство V (164). 49-2. Аффинное n-мерное пространство А" (166). §50. Взаимное расположение двух плоскостей в аффинном n-мерном пространстве 167
50.1. Общие направления, параллельность (167). 50.2. Пересечение и сумма двух плоскостей (168)
§51. Евклидово векторное пространство 171
51.1. Скалярное произведение векторов. Угол между векторами (171). 51.2. Ортогональная система векторов (172). 51.3. Ортогональные подпространства (173)
§52. Евклидово n-мерное пространство Еп 174
52.1. Длина отрезка. Уравнение (n — 1)-мерной сферы (175).
52.2. Координатное задание k-мерной плоскости (175). 52.3. Угол между прямой и k-плоскостью (175). 52.4. Об углах между плоскостями (176). 52.5. Расстояние от точки до гиперплоскости (178).
§ 53. Барицентрические координаты точки аффинного пространства относительно n-мерного симплекса 178
53.1. Определение (178). 53.2. Симплекс как геометрическое тело (179).
§54. Центроид симплекса и центроиды его граней 180
54.1. Центроид системы точек (180). 54.2. Зависимость центроидов подсистем с центроидом данной системы точек (180)
54.3. Центроид системы центроидов (181).
§55. Параллелепипеды 182
55.1. Полуплоскости и параллелепипеды (182). 55.2. Грани параллелепипеда (183). 55.3. Прямоугольный k-параллелепипед и k-куб (184).
§56. Ортогональная проекция точки и вектора на k-плоскость 184
Литература 189
Предметный указатель