Элементарная геометрия. Том 1. Планиметрия. Понарин Я.П. 2004

Название: Элементарная геометрия. Том 1. Планиметрия.
Автор: Понарин Я.П.
2004
  Данное пособие призвано возродить интерес к элементарным методам решения геометрических задач. В нем приведены яркие геометрические сведения, не вошедшие в современный школьный учебник. Например, формула Эйлера, окружность девяти точек, теорема Птолемея, геометрические неравенства и многое другое.
Книга адресована всем, кто желает расширить и углубить знания по элементарной геометрии, - от школьников средних классов до учителей математики и студентов педагогических ВУЗов.
   Геометрию считают трудным предметом. Л трудность ее в том. что по сравнению с алгеброй она мало алгоритмизировала. Почти каж/гую содержательную задачу можно решить несколькими способами, используя различные методы. Поэтому геометрия содержит в себе огромный потенциал для развития гибкости ума. пластичности мышления и конструктивных способностей учащихся, для воспитания у них чувства прекрасного.
В ходе реформы школьного математического образования, повлекшей за собой перестройку учебных планов и программ на математических факультетах педагогических институтов, допущены существенные просчеты и перегибы. Со страниц школьных учебных пособий но геометрии исчезли многие замечательные геометрические факты, своего рода геометрические «жемчужины», использовавшиеся при доказательствах теорем и решении задач. Новые же методы —векторный, координатный, метод преобразований — не заняли должного места в преподавании геометрии и им все меньше уделяется внимания. В этом, на мой взгляд, заключается одна из основных причин значительного понижения уровня теоретической и практической подготовки по геометрии выпускников средних школ.
В системе школьного математического образования геометрии отводится второе, если не третье, место. «Упрощение» геометрии идет по пути ее алгебраизации и изъятия геометрических жемчужин. Чисто геометрические методы постепенно отходят на второй план. Важнейший из таких методов — метод геометрических преобразований до сих пор не нашел своего места в школьном курсе геометрии. Его пытались изучать с самого начала, растянув на всю восьмилетнюю школу. Теперь предлагается заняться им в конце изучения планиметрии. Но по-прежнему ученики не владеют им даже на начальном уровне.
Оглавление
Предисловие 8
Часть I. Планиметрия
§1. Измерение углов, ассоциированных с окружностью 13
1.1. Угол с вершиной внутри окружности (13). 1.2. Угол между двумя секущими с вершиной вне окружности (13). 1.3. Угол между секущей и касательной (14).
§2. Пропорциональные отрезки 16
2.1. Свойство ряда равных отношений (16). 2.2. Пропорциональные отрезки на сторонах угла (17). 2.3. Пропорциональные отрезки на параллельных прямых (18). 2.4. Свойство биссектрис внутреннего и внешнего углов треугольника (18). 2.5. Секущие к окружности (19). 2.6. Среднее геометрическое (19). 2.7. Золотое сечение отрезка (21).
§3. Основные метрические соотношения в треугольнике 25
3.1. Теорема синусов (25). 3.2. Формулы проекций и их следствия (26). 3.3. Некоторые формулы площади треугольника (28). 3.4. Зависимость между косинусами углов треугольника и радиусами его вписанной и описанной окружностей (29). 3.5. Длина биссектрисы треугольника (30).
§4. Четыре замечательные точки треугольника 34
4.1. Центроид треугольника (34). 4.2. Центр вписанной в треугольник окружности (37). 4.3. Ортоцентр треугольника (38). 4.4. Связь между четырьмя замечательными точками треугольника (40).
§5. Вневписанные окружности треугольника 45
5.1. Существование вневписанных окружностей (45). 5.2. Отрезки касательных из вершин треугольника к его вневписанным окружностям (46). 5.3. Зависимость между радиусами вписанной, вневпи-санных и описанной окружностей треугольника (47).
§6. Окружность девяти точек треугольника 49
6.1. Существование окружности девяти точек (49). 6.2. Теорема Фейербаха (50).
§7. Вписанные и описанные четырехугольники 53
7.1. Критерии вписанного четырехугольника (53). 7.2. Критерии описанного четырехугольника (54). 7.3. Невыпуклый четырехугольник, ассоциированный с описанным четырехугольником (56).
§8. Теорема Симсона и теорема Птолемея 61
8.1. Теорема Симсона (61). 8.2. Теорема Птолемея (62).
§9. Теорема Чевы 68
9.1. Теорема Чевы (68). 9.2. Тригонометрическая (угловая) форма теоремы Чевы (69). 9.3. Изотомическое и изогональное соответствия (70).
§10. Классические теоремы о коллинеарности трех точек 75
10.1. Теорема Менелая (75). 10.2. Теорема Гаусса (76). 10.3. Теорема Дезарга (77). 10.4. Теорема Паскаля для треугольника (78). 10.5. Теорема Паскаля для вписанного шестиугольника (79).
§11. Метрические соотношения в четырехугольнике 82
11.1. Центроид четырехугольника (82). 11.2. Длины средних линий и расстояние между серединами диагоналей четырехугольника (83). 11.3. Зависимость между длинами сторон и диагоналей четырехугольника (85). 11.4. Теорема косинусов для четырехугольника (86). 11.5. Соотношение Бретшнайдера (87). 11.6. Следствия из соотношения Бретшнайдера (88).
§12. Площадь четырехугольника 91
12.1. Формулы площади четырехугольника общего вида (91). 12.2. Следствия из общих формул площади четырехугольника (92).
§13. Геометрические неравенства 97
13.1. Использование неравенств между сторонами и углами треугольника (97). 13.2. Неравенства как следствия тождественных равенств (99). 13.3. Использование ограниченности функций синуса и косинуса (101). 13.4. Использование неравенств для скалярного произведения векторов (102). 13.5. Применение алгебраических неравенств для средних величин двух положительных чисел (103). 13.6. Получение неравенств из известных тождеств и неравенств (105). 13.7. Использование чертежа, дополнительных построений (106).
§14. Геометрические экстремумы 110
14.1. Экстремальные свойства суммы и произведения положительных чисел (111). 14.2. Экстремальные значения синуса и косинуса (112). 14.3. Об эквивалентности задач на экстремумы (113). 14.4. Применение геометрических преобразований (113). 14.5. Экстремальные значения квадратного трехчлена (114).
§15. Экстремальные свойства правильных многоугольников 118
15.1. Изопериметрическая задача (118). 15.2. Общие свойства изо-периметрических фигур максимальной площади (119). 15.3. Две
подготовительные задачи (119). 15.4. Изопериметрическая теорема для многоугольников (121). 15.5. Экстремальное свойство правильного многоугольника из множества многоугольников, вписанных в данную окружность (123). 15.6. Экстремальное свойство правильного многоугольника из множества многоугольников, описанных около одной окружности (124).
§16. Радикальная ось и радикальный центр окружностей 126
16.1. Степень точки относительно окружности (126). 16.2. Радикальная ось двух окружностей (126). 16.3. Характеристические свойства точек радикальной оси окружностей (128). 16.4. Радикальный центр трех окружностей (129).
§17. Пучки окружностей 130
17.1. Определение пучка окружностей. Виды пучков (130).
17.2. Критерии пучка окружностей. Задание пучка (132). 17.3. Ортогональные пучки окружностей (133). 17.4. Задание окружности данного пучка (134).
§18. Полярное соответствие 136
18.1. Поляра точки относительно окружности (136). 18.2. Свойство взаимности поляр (138). 18.3. Автополярный треугольник. (138). 18.4. Полярное соответствие относительно окружности. Принцип двойственности (139).
Задачи общего содержания 143
Часть II. Преобразования плоскости
Введение. Отображения и преобразования множеств 157
Глава I. Движения плоскости
§1. Общие свойства движений 160
1.1. Определения движения и равных фигур (160). 1.2. Инварианты движений (160). 1.3. Конструктивное задание движения плоскости (162). 1.4. Движения первого и второго рода (163).
§2. Центральная симметрия 164
2.1. Определение и свойства центральной симметрии плоскости (164). 2.2. Решение задач (165).
§3. Осевая симметрия 169
3.1. Определение и свойства осевой симметрии плоскости (169).
3.2. Решение задач с помощью осевой симметрии (171).
§4. Перенос 175
4.1. Определение и свойства переноса (175). 4.2. Решение задач с помощью переноса (176).
§5. Поворот 179
5.1. Определение и свойства поворота (179). 5.2. Угол между лучом и его образом при повороте (180). 5.3. Два способа построения центра поворота (181).
§6. Решение задач с помощью поворота 181
§7. Композиции движений 187
7.1. Композиция центральных симметрии и переносов (187).
7.2. Композиция двух осевых симметрий с параллельными осями (188). 7.3. Представление переноса композицией осевых симметрий (189). 7.4. Композиция двух осевых симметрий с непараллельными осями (189). 7.5. Представление поворота композицией осевых симметрий (190). 7.6. Композиция двух поворотов (190). 7.7. Композиция поворота и переноса (191). 7.8. Переносная симметрия (191). 7.9. Композиция переноса и осевой симметрии (192).
7.10. Движения плоскости как композиции осевых симметрий (192).
§8. Решение задач с помощью композиций движений 193
§9. Координатные формулы движений плоскости 197
9.1. Формулы переноса и центральной симметрии (197). 9.2. Формулы поворота (198). 9.3. Формулы осевой симметрии (198). 9.4. Формулы движений I и II рода (199). 9.5. Решение задач с использованием координатных формул движений (200).
§ 10. Комбинирование метода преобразований и векторного метода решения задач 202
10.1. Движение вектора (202). 10.2. Решение задач с помощью поворота вектора (203).
§11. Применение движений к построению графиков функций 206 11.1. Перенос графиков (206). 11.2. Применение осевой симметрии (207).
Глава II. Подобия и аффинные преобразования
§12. Гомотетия 211
12.1. Определение гомотетии и его следствия (211). 12.2. Образ прямой при гомотетии (212). 12.3. Образы луча, полуплоскости и угла при гомотетии (213). 12.4. Задание гомотетии. Построение образа точки (213).
§13. Гомотетичность окружностей 214
13.1. Гомотетичные фигуры (214). 13.2. Гомотетичность двух окружностей (215).
§14. Решение задач с помощью гомотетии 216
§15. Композиция гомотетий 223
15.1. Композиция двух гомотетий (223). 15.2. Теорема Паппа (224). 15.3. Взаимное расположение центров гомотетий трех окружностей (225). 15.4. Теорема Менелая (226).
§16. Решение задач с помощью композиций гомотетий 227
§17. Преобразование подобия 230
17.1. Определение подобия и подобных фигур (230). 17.2. Представление подобия композицией гомотетии и движения. Инварианты подобий (231).
§18. Задание подобия плоскости 232
18.1. Теорема о задании подобия плоскости (232). 18.2. Два рода подобий. Построение образа точки при подобии (232).
§19. Классификация подобий плоскости 233
19.1. Классификация подобий первого рода (233). 19.2. Классификация подобий второго рода (235).
§20. Угол, центр и двойные прямые подобия 237
20.1. Угол подобия (237). 20.2. Центр подобия (237). 20.3. Два подобия с общим центром (238). 20.4. Двойные прямые подобия (238).
§21. Решение задач методом подобия 239
§22. Параллельное проектирование плоскости на плоскость 249
§23. Аффинные отображения 251
23.1. Определение и задание аффинного преобразования плоскости (251). 23.2. Частные виды аффинных преобразований плоскости (252). 23.3. Понятие об аффинной геометрии (253).
§24. Решение задач с помощью аффинных преобразований 254
Глава III. Инверсия
§25. Инверсия плоскости относительно окружности 259
25.1. Определение инверсии. Построение образа точки при инверсии (259). 25.2. Координатные формулы инверсии (260). 25.3. Образы прямых и окружностей при инверсии (260).
§26. Инвариантные окружности инверсии 262
26.1. Ортогональные окружности (262). 26.2. Инверсия как симметрия относительно окружности (262).
§27. Свойства углов и расстояний 264
27.1. Сохранение величин углов при инверсии (264). 27.2. Изменение расстояний при инверсии (264).
§28. Инверсия и гомотетия 265
§29. Применение инверсии к решению задач на построение и доказательство 266
Указания, ответы, решения 271
Литература 312
Предметный указатель 315