Элементарная геометрия - в 2-х томах - том 2 - Стереометрия - Понарин Я.П.

Название: Элементарная геометрия - в 2-х томах - том 2 - Стереометрия. 2006.
Автор: Понарин Я.П.
     Пособие предназначено для учащихся старших классов школ с математической специализацией. Оно содержит углубленное и расширенное изложение геометрии. В нем изложена теория прямых и плоскостей, трехгранных углов, тетраэдров, сфер и других тел. Рассмотрены методы доказательства геометрических неравенств и нахождения экстремумов. Много внимания уделено преобразованиям пространства - движениям, подобиям и аффинным преобразованиям. Книга включает около 500 задач для самостоятельного решения с указаниями и ответами.
Книга может быть использована для внеклассной работы с учащимися, для самообразования учителей, для спецкурсов и спецсеминаров по элементарной геометрии в педагогических ВУЗах.
     Эта книга предназначена для учащихся школ, лицеев, гимназий с математической специализацией. Она является непосредственным продолжением учебного пособия [8] того же автора. Обе эти книги содержат углубленное изложение планиметрии и стереометрии для желающих знать больше школьного уровня и научиться лучше решать задачи. Их содержание находится, образно говоря, посредине между школьной и ВУЗовской геометриями.
К написанию книги автора побудило большое желание привлечь внимание педагогов-математиков к неиспользуемому стереометрическому арсеналу, обладающему значительным потенциалом в образовательном и воспитательном аспектах. Возрастающее стремление к «урезаниям» математического содержания среднего образования может иметь в будущем непоправимые негативные последствия. Не являясь сторонником «широкого охвата», автор хочет помочь желающим иметь возможность овладевать геометрическим богатством.
Оглавление
Предисловие 11
Часть I. Стереометрия
Глава 1. Прямые и плоскости
§1. Параллельные прямые и плоскости 15
1.1. Параллельность прямой и плоскости (15). 1.2. Параллельность двух плоскостей (16).
§2. Перпендикулярные прямые и плоскости 17
2.1. Перпендикулярность прямой и плоскости (17). 2.2. Перпендикулярность двух плоскостей (18).
§3. Скрещивающиеся прямые 19
3.1. Параллельные плоскости, заданные двумя скрещивающимися прямыми (19). 3.2. Описанный параллелепипед (19). 3.3. Общий перпендикуляр скрещивающихся прямых (20). 3.4. Построение и вычисление длины общего перпендикуляра векторным методом (22). 3.5. Пропорциональные отрезки на скрещивающихся прямых (22).
§4. Углы между прямыми и плоскостями 23
Угол между скрещивающимися прямыми (23). Угол между прямой и плоскостью (23). 4.3. Двугранный угол. Угол между двумя плоскостями (24). 4.4. О сущности стереометрической задачи на построение (25).
Задачи к главе 1 27
Глава 2. Трехгранный угол
§1. Смежные и вертикальные триэдры. Полярные триэдры 31 1.1. Трехгранный угол и его элементы (31). 1.2. Полярные триэдры (32).
§2. Неравенства для углов триэдра 32
2.1. Сумма плоских углов триэдра (32). 2.2. Аналог неравенства треугольника (33). 2.3. Сумма двугранных углов триэдра (33). 2.4. Сумма косинусов плоских углов триэдра (34).
§3. Теоремы косинусов и теорема синусов для триэдра 34
3.1. Две теоремы косинусов (34). 3.2. Теорема синусов для триэдра (35). 3.3. Следствия из теоремы синусов (36). 3.4. Необходимые и достаточные условия существования триэдра (36). 3.5. Применение теорем косинусов в решении задач (38).
§4. Замечательные прямые и плоскости триэдра 39
4.1. Медианные плоскости триэдра (39). 4.2. Ось вписанного кругового конуса (39). 4.3. Ось описанного конуса (40). 4.4. Высотные плоскости и ортоось триэдра (41).
§5. Плоскости, перпендикулярные осям описанного и вписанного
конусов триэдра 43
5.1. Плоскость перпендикулярная оси конуса, описанного около триэдра (43). 5.2. Плоскость, перпендикулярная оси вписанного в триэдр конуса (44).
§6. Начальные сведения о сферической геометрии 45
6.1. Основные понятия (45). 6.2. Связь геометрии трехгранного угла со сферической геометрией (46).
Задачи к главе 2 47
Глава 3. Ортогональное проектирование
§1. Свойства ортогонального проектирования 50
1.1. Ортогональное проектирование как частный вид параллельного проектирования (50). 1.2. Площадь ортогональной проекции плоской фигуры (51). 1.3. Формула проекций граней тетраэдра (53). 1.4. Пример задачи (54).
§2. Ортогональная проекция угла 54
2.1. Общая формула ортогональной проекции угла (54). 2.2. Частные случаи (55). 2.3. Сравнение величины угла и величины его ортогональной проекции (57). 2.4. Примеры решения задач (58).
§3. Ортогональная проекция вектора на плоскость 60
3.1. Вектор ортогональной проекции вектора (60). 3.2. Решение задач (61).
Задачи к главе 3 62
Глава 4. Геометрические места точек пространства
§1. Основные геометрические места точек пространства 65
1.1. Сущность задачи на нахождение ГМТ (65). 1.2. Простейшие ГМТ пространства (66).
§2. ГМТ пространства, задаваемые двумя скрещивающимися прямыми 68
2.1. Серединная плоскость скрещивающихся прямых (68). 2.2. Гиперболический параболоид (69).
§3. Три ГМТ пространства, аналогичные ГМТ плоскости 70
3.1. Окружность Аполлония и сфера Аполлония (70). ГМТ пространства, разность квадратов расстояний (72). ГМТ пространства, сумма квадратов расстояний (73).
§4. Метод ГМТ в стереометрических задачах на построение 74
Задачи к главе 4 75
Глава 5. Векторное и смешанное произведения векторов
§1. Определения векторного и смешанного произведений, их геометрический смысл 78
1.1. Ориентация упорядоченной тройки некомпланарных векторов (78). 1.2. Определение векторного произведения, его следствия (79). 1.3. Смешанное произведение трех векторов, геометрический смысл его знака и модуля (80). §2. Алгебраические свойства смешанного и векторного произведений 81
2.1. Алгебраические свойства смешанного произведения (81).
2.2. Алгебраические свойства векторного произведения (82).
§3. Произведения в декартовых координатах 83
3.1. Координатная формула векторного произведения (83).
3.2. Координатное представление смешанного произведения (83).
§4. Сложные произведения векторов 84
4.1. Двойное векторное произведение (84). 4.2. Скалярное произведение двух векторных произведений (85). 4.3. Векторное произведение двух векторных произведений (85). 4.4. Квадрат смешанного произведения (85).
§5. Некоторые геометрические приложения произведений векторов 86 5.1. Тригонометрия триэдра (86). 5.2. Теорема Менелая для триэдра (86). 5.3. Теорема Чевы для триэдра (87). 5.4. Выражение косинуса угла между противоположными ребрами тетраэдра через косинусы и синусы его двугранных углов (88).
Задачи к главе 5 88
Глава 6. Тетраэдр
§1. Медианы и бимедианы тетраэдра. Центроид 91
1.1. Бимедианы (средние линии) тетраэдра (91). 1.2. Медианы тетраэдра (92). 1.3. Свойства центроида тетраэдра (93).
§2. Площади граней тетраэдра 94
2.1. Теорема косинусов для тетраэдра (94). Сумма квадратов площадей граней тетраэдра (95). 2.3. Зависимость между косинусами двугранных углов тетраэдра (96).
§3. Объем тетраэдра и объем клина 97
3.1. Первая формула Штаудта (97). 3.2. Формулы Достора (97). 3.3. Формула Сервуа (98). 3.4. Теоремы синусов для тетраэдра (99). 3.5. Выражение объема тетраэдра через длины его ребер (формула Юнгиуса) (99). 3.6. Вторая формула Штаудта (100). 3.7. Объем клина (100).
§4. Барицентрические координаты точки 102
4.1. Определение (102). 4.2. Аффинный и метрический смысл барицентрических координат (103). 4.3. Расстояние между двумя точками, заданными относительно тетраэдра (103).
§5. Сферы, касающиеся плоскостей граней тетраэдра 105
5.1. Условия существования и число сфер, касающихся плоскостей граней тетраэдра (105). 5.2. Зависимость между радиусами вписанной и вневписанных сфер и высотами тетраэдра (107).
§6. Ортоцентрический тетраэдр 108
6.1. Высоты тетраэдра. Определение и критерий ортоцентрического тетраэдра (108). 6.2. Вектор ортоцентра (109). 6.3. Характеристические свойства ортоцентрического тетраэдра (110).
§7. Равногранный тетраэдр 112
7.1. Определение и характеристическое свойство равногранного тетраэдра (112). 7.2. Свойства углов равногранного тетраэдра (112). 7.3. Критерии равногранного тетраэдра (113). 7.4. Формулы для равногранного тетраэдра (114).
Задачи к главе 6 115
Глава 7. Вычисление объемов тел
§1. Формула Ньютона–Симпсона и ее применение 119
1.1. Вывод формулы Ньютона–Симпсона (119). 1.2. Объем пирамиды и усеченной пирамиды (120). 1.3. Объем клина (121).
§2. Объем шара и его частей 123
2.1. Объем шара и шарового сегмента (123). 2.2. Объем шарового сектора (124). 2.3. Объем шарового слоя и шарового кольца (125).
§3. Принцип Кавальери 126
3.1. Сущность принципа Кавальери (126). 3.2. Объем шара и шарового сегмента (127). 3.3. Объем тора (128).
§4. Объем тела вращения 129
4.1. Лемма о площади поверхности, образованной вращением отрезка (129). 4.2. Объем тела вращения треугольника (130). 4.3. Объем тела вращения центрально-симметричной фигуры (132). 4.4. Эквивалентная замена вращающейся фигуры (133). 4.5. Замена оси вращения (134).
Задачи к главе 7 136
Глава 8. Сфера
§1. Касательные плоскости и прямые. Малые окружности сферы 139 1.1. Касательные плоскости к сфере (139). 1.2. Малые окружности сферы (140). 1.3. Касательные прямые к сфере (141). 1.4. Пересечение двух сфер (142).
§2. Площадь сферы и ее частей 143
2.1. Площадь сферы (143). 2.2. Площадь сферического сегмента (143). 2.3. Площадь сферического пояса (144). 2.4. Площадь сферы, сферического сегмента и сферического пояса как поверхностей вращения (144). 2.5. Площадь сферического двуугольника и сферического треугольника (145).
§3. Радикальная плоскость, радикальная ось и радикальный центр сфер 146
3.1. Степень точки относительно сферы (146). 3.2. Радикальная плоскость двух сфер (147). 3.3. Радикальная ось трех сфер и радикальный центр четырех сфер (148). 3.4. Ортогональные сферы (148).
§4. Инверсия пространства относительно сферы 149
4.1. Определение инверсии и его следствия (149). 4.2. Образы плоскостей и сфер, прямых и окружностей при инверсии (150). 4.3. Инвариантность величины угла между кривыми при инверсии (151). 4.4. Вывод второй формулы Штаудта для объема тетраэдра (152). 4.5. Стереометрическое обобщение тождества Бретшнайдера (153).
§5. Стереографическая проекция 154
5.1. Определение и свойства стереографической проекции (154).
5.2. Координатные формулы стереографической проекции (155). Задачи к главе 8 156
Глава 9. Стереометрические неравенства и экстремумы
§1. Классические алгебраические неравенства, используемые для доказательства геометрических неравенств 159
1.1. Неравенство Коши (159). 1.2. Сравнение квадрата суммы и суммы квадратов действительных чисел (160). 1.3. Тождество Лагранжа и неравенство Коши–Буняковского (160).
§2. Получение неравенств из тождественных равенств 161
§3. Некоторые избранные неравенства 164
3.1. Неравенства для углов триэдра, тетраэдра и косого четырехугольника (164). 3.2. Неравенства для прямоугольного тетраэдра (165). 3.3. Неравенства для произвольного тетраэдра (167).
§4. Стереометрические экстремумы 168
4.1. Экстремумы как следствия нестрогих неравенств (168).
4.2. Экстремумы суммы и произведения положительных чисел (169). Сведение задачи к планиметрической (170).
§5. Точка Люилье тетраэдра 172
5.1. Задача Люилье (172). 5.2. Барицентрические координаты точки Люилье (173). 5.3. Точка Люилье — центроид ее тетраэдра проекций (173).
§6. Экстремальные свойства правильного тетраэдра 174
6.1. Тетраэдр минимальной площади поверхности с данным основанием и данной высотой (175). 6.2. Правильный тетраэдр — объект с экстремальными свойствами (176).
Задачи к главе 9 177
Часть II. Преобразования пространства
Глава 10. Движения пространства
§ 1. Перенос, центральная, осевая и зеркальная симметрии пространства 183
1.1. Определения движения и равных фигур (183). 1.2. Перенос (183). 1.3. Центральная симметрия (183). 1.4. Осевая симметрия (183). 1.5. Зеркальная симметрия (184). 1.6. Представление переноса композициями зеркальных и осевых симметрий (184).
§2. Общие свойства движений пространства 185
2.1. Два рода движений пространства (185). 2.2. Множества неподвижных точек движений пространства (185). 2.3. Инварианты движений пространства (186). 2.4. Признак зеркальной симметрии (188).
§3. Поворот пространства около оси 188
3.1. Поворот как частный вид движения (188). 3.2. Признак поворота (189). 3.3. Представление поворота композициями симметрий (189).
§4. Переносная и поворотная симметрии, винтовое движение 190 4.1. Переносная симметрия (190). 4.2. Поворотная симметрия (192). 4.3. Винтовое движение (192).
§5. Конструктивное задание движения пространства 193
5.1. Теорема о задании движения (193). 5.2. Следствия (195).
§6. Классификация движений пространства 195
6.1. Движения второго рода (195). 6.2. Движения первого рода (196).
§7. Координатные формулы движений пространства 197
7.1. Вывод формул движений (197). Матрица движения (198). 7.3. Формулы обратного движения (200). 7.4. О критериях частных видов движений (200). 7.5. Формулы частных видов движений при специальном выборе прямоугольной декартовой системы координат (201).
§8. Композиции движений пространства 202
8.1. Композиция поворота и переноса (202). 8.2. Композиция зеркальной и осевой симметрий (202). 8.3. Композиция двух поворотов (203). 8.4. Композиция трех зеркальных симметрий (203). 8.5. Композиция симметрий относительно трех попарно скрещивающихся прямых (205).
§9. Группы самосовмещений правильного тетраэдра и куба 205
9.1. Группа самосовмещений правильного тетраэдра (205).
9.2. Группа самосовмещений куба (207).
§10. Решение задач с использованием движений пространства 208
Задачи к главе 10 211
Глава 11. Подобия пространства
§1. Гомотетия пространства 219
1.1. Обзор теории (219). 1.2. Композиция гомотетии и переноса (220). 1.3. Гомотетия пространства в задачах (220).
§2. Преобразования подобия 222
2.1. Определение и инварианты подобий пространства (222). Координатные формулы подобий пространства (222). 2.3. Центр подобия пространства (223). 2.4. Построение центра подобия первого рода плоскости (223). 2.5. Классификация подобий пространства (224).
Задачи к главе 11 225
Глава 12. Аффинные преобразования
§1. Начала теории аффинных преобразований пространства 228 1.1. Определение аффинного преобразования пространства и его следствия (228). 1.2. Задание аффинного преобразования пространства (228). 1.3. Координатные формулы аффинного преобразования (229). §2. Изменение объемов тел при аффинном преобразовании 231 2.1. Выражение смешанного произведения векторов в аффинных координатах (231). 2.2. Зависимость между объемом тела и объемом его образа при аффинном преобразовании пространства (231).
§3. Родство 233
3.1. Определение и свойства родства (233). 3.2. Представление аффинного преобразования пространства композицией подобия и родства (234).
§4. Метод аффинных преобразований в геометрических задачах 234 4.1. Сущность метода аффинных преобразований (234). 4.2. Примеры решения задач методом аффинных преобразований (235).
Задачи к главе 12 236
Задачи общего содержания 238
Ответы, указания 243
Литература 254
Предметный указатель 255