Элементарная геометрия - В 2-х частях - Стереометрия - часть 2 - Ж. Адамар

Название: Элементарная геометрия - В 2-х частях - Стереометрия - часть 2. 1951.
Автор: Ж. Адамар
    Настоящее второе издание второй часта книги существенно отличается от первого в двух отношениях. Прежде всего, из материала первого издания сохранены лишь разделы, посвященные непосредственно стереометрии вместе с её „дополнительными" главами (инверсия, теорема Эйлера, правильные многогранники и группы вращений): вопросы проективной и аналлагматической геометрии, а также синтетической теории конических сечений, входящие во вторую часть курса Адамара (и имеющиеся в первом издании второй части), в этом втором издании опущены. В то же время во втором издании книги помещены полные решения всех имеющихся в тексте задач.
Таким образом, содержание книги во втором издании приближено к запросам тех читателей, на которых книга рассчитана, студентов высших педагогических учебных заведений и преподавателей средней школы.
    Настоящее — второе — издание перевода второй части „Элементарной геометрии" Адамара   существенно отличается от первого в двух отношениях.
Прежде всего, из большого и разнообразного материала, содержащегося во второй части курса Адамара, в настоящее издание включено лишь около половины. При этом был отобран материал, непосредственно относящийся к стереометрии, включая и некоторые „дополнительные" её главы (инверсия, теорема Эйлера, правильные многогранники и группы вращений). Разделы, не включённые в настоящее издание, могли бы составить содержание третьей части книги, также представляющей собой законченное целое и посвященной элементарным методам высшей геометрии. Следует отметить, что такого рода отбор материала, при котором некоторые главы были опущены, не потребовал почти никаких изменений в оставшейся части текста: она оказалась почти совершенно независимой от тех частей книги, которые не вошли в настоящее издание. Существенные изменения пришлось внести лишь в изложение прибавления G.
Далее в настоящем издании помешены решения всех имеющихся в тексте задач. Мы полагаем, что весьма многие из помещённых в книге задач нельзя рассматривать только как темы для упражнений. Они содержат большой и интересный фактический материал, дополняющий содержание книги. Ряд этих задач мог бы по своему содержанию войти в „теоретическую" часть книги при условии увеличения её объёма. В то же время самостоятельное решение этих, по большей части трудных, задач потребовало бы от читателя весьма большого количества времени и значительных усилий. Таковы были те соображения, по которым в настоящем издании приводятся решения задач (как это-было сделано в последнем — 3-м — издании первой части).
СОДЕРЖАНИЕ
Предисловие ко 2-му русскому изданию.
Из предисловия автора к 7-му изданию.
КНИГА V. ПЛОСКОСТЬ И ПРЯМАЯ ЛИНИЯ.
Глава I. Пересечение прямых и плоскостей.
325. Плоскость. Взаимное расположение прямой и плоскости.
326—329. Элементы, определяющие плоскость.
330. Пересечение двух плоскостей.
331—332. Взаимное расположение двух прямых.
333—334. Пересечение трёх плоскостей.
Упражнения 423—428.
Глава II. Параллельные прямые и плоскости.
335—336. Параллельные прямые.
337. Параллельные прямая и плоскость.
338—341. Параллельные плоскости.
342—343. Углы с соответственно параллельными сторонами равны или дополнительны. Угол между двумя произвольными прямыми в пространстве.
344—345. Три параллельные плоскости отсекают на произвольных секущих пропорциональные отрезки.
346. Обзор свойств параллельных прямых и плоскостей.
Упражнения 429—440.
Глава III. Прямая и плоскость, перпендикулярные между собой.
347—350. Определение. Геометрическое место точек, равноудалённых от двух точек. Необходимое и достаточное условие перпендикулярности прямой и плоскости.
351—353. Плоскость, перпендикулярная к данной прямой и проходящая через данную точку. Прямая, перпендикулярная к данной плоскости и проходящая через данную точку.
354—355. Перпендикуляр и наклонные к плоскости. Расстояние точки от плоскости. Приложение к параллельным плоскостям.
356. Геометрическое место прямых, составляющих равные углы с двумя данными прямыми.
Упражнения 441—455.
Глава IV. Двугранные углы. Перпендикулярные плоскости.
357—358. Определение. Линейный угол двугранного угла.
359. Направление двугранного угла.
360—362. Сравнение двугранных углов.
363. Перпендикулярные плоскости.
364—365. Если две плоскости перпендикулярны, то всякий перпендикуляр к линии их пересечения, лежащий в одной из плоскостей, является перпендикуляром к другой плоскости.
366. Плоскость, перпендикулярная к данной плоскости и проходящая через данную прямую.
367—370. Двугранные углы дополнительные, вертикальные и с соответственно параллельными гранями.
371. Обзор свойств перпендикулярных прямых и плоскостей.
Упражнения 456—464.
Глава V. Проекция прямой на плоскость. Угол между прямой и плоскостью. Кратчайшее расстояние между двумя прямыми. Площадь проекции плоской фигуры.
372—373. Проекции. Проекции параллельных прямых.
374—375. Теоремы о проекции прямого угла и о трёх перпендикулярах.
376—378. Угол между прямой и плоскостью. Линия наибольшего уклона.
379. Отношение расстояний точки, лежащей в одной из граней двугранного угла, от другой грани и от ребра.
380. Кратчайшее расстояние между двумя прямыми.
381. Площадь проекции плоской фигуры.
Упражнения 465—480.
Глава VI. Первоначальные сведения из сферической геометрии.
382—383. Пересечение шара с прямой и с плоскостью. Большие круги.
384. Полюсы круга, лежащего на шаре.
385—386. Угол между двумя большими кругами.
387. Отыскание радиуса твёрдого тела, имеющего форму шара.
Глава VII. Многогранные углы. Сферические многоугольники.
388—389. Определения. Симметричные трёхгранные углы.
390. Во всяком многогранном угле любой плоский угол меньше суммы всех остальных.
391—392. Сферические многоугольники. Связь с многогранными углами.
393—394. Объемлющие и объемлемые многогранные углы и сферические многоугольники. Условия возможности построения трёхгранного угла по трём плоским углам.
395—396. Дополнительные трёхгранные углы. Полярные сферические треугольники.
397—399. Признаки равенства.
400—402. Равнобедренный трёхгранный угол и сферический треугольник. Сходство и различие между свойствами трёхгранных углов или сферических треугольников и свойствами треугольников на плоскости.
403—404. Перпендикулярные и наклонные дуги больших кругов.
405. Сферические координаты.
Упражнения 481—508.
Задачи (509—530) к пятой книге.
КНИГА VI. МНОГОГРАННИКИ.
Глава I. Общие понятия.
406. Определения.
407. Призма.
408. Боковаи поверхность призмы.
409. Параллелепипед.
410—412. Прямой и прямоугольный параллелепипеды.
413—416. Пирамида. Сечения пирамиды параллельными плоскостями. Боковая поверхность правильной пирамиды.
417. Всякий многогранник можно разложить на пирамиды.
Упражнения 531—550.
Глава II. Объём призмы.
418—419. Определение понятия объёма многогранника.
420—422. Объём прямоугольного параллелепипеда.
423. Всякая наклонная призма равновелика прямой призме, основанием которой служит перпендикулярное сечение, а высотой — боковое ребро данной призмы.
424—425. Объём прямого параллелепипеда и прямой призмы.
426—427. Объём произвольного параллелепипеда и произвольной призмы.
Упражнения 551—554.
Глава III. Объём пирамиды.
428. Две треугольные пирамиды, имеющие равновеликие основания и одну и ту же высоту, равновелики.
429. Объём пирамиды.
430. Объём усечённой пирамиды.
431. Объём усечённой призмы.
Упражнения 555—567.
Задачи (568—588) к шестой книге.
КНИГА VII. ПЕРЕМЕЩЕНИЯ. СИММЕТРИЯ. ПОДОБИЕ.
Глава I. Перемещения.
432—434. Условие равенства двух фигур. Вращение. Транспозиция относительно прямой.
435. Поступательные перемещения.
436. Винтовые перемещения.
437—440. Разложение произвольного перемещения на две транспозиции относительно двух различных прямых. Сложение перемещений. Две равные фигуры всегда можно совместить, если они имеют одну соответственно общую точку, с помощью вращения: в общем случае — с помощью винтового перемещения.
Упражнения 589—612.
Глава II. Симметрия.
441—443. Определении. Две фигуры, симметричные с третьей относительно каких либо точек или плоскостей, равны.
444—445. Всякая плоская фигура равна фигуре ей симметричной. Следствия.
446. Две симметричные фигуры имеют противоположное расположение.
447. Два симметричных многогранника равновелики.
448. Ось транспозиции, центр и плоскость симметрии данной фигуры.
Упражнения 613—621.
Глава III. Гомотетия и подобие.
449—450. Определение. Основная теорема.
451—452. Обратная теорема. Ось подобия трёх фигур; плоскость подобия четырёх фигур.
453—454. Подобные фигуры. Подобные многогранники.
455. Отношение объёмов подобных многогранников.
Упражнения 622—629.
Задачи (630—641) к седьмой книге ....".
КНИГА VIII. КРУГЛЫЕ ТЕЛА.
Глава I. Общие определения. Цилиндр.
456. Цилиндрические поверхности.
457. Прямые, касательные к поверхности. Случай цилиндрической поверхности.
458—459. Сечения цилиндрической поверхности. Цилиндры.
460—461. Конические поверхности. Конусы.
462. Поверхности вращения.
463—464. Цилиндр с круговым основанием. Боковая поверхносчь.
465. Объём цилиндра.
Упражнения 642-652.
Глава II. Конус. Усечённый конус.
466—467. Конус вращения. Боковая поверхность конуса вращения.
468. Объём конуса.
469. Боковая поверхность усечённого конуса вращения.
470. Объём усечённого конуса.
Упражнения 653—670.
Глава III. Шар и его свойства.
471—473. Шар как поверхность вращения.
474—475. Элементы, определяющие шар.
476—478. Конус и цилиндр, описанные около шара. Касательные плоскости к шару, проходящие через данную прямую.
479—481. Пересечение шаров.
482—483. Степень точки относительно шара. Шары, ортогональные между собой.
484—485. Радикальная плоскость, радикальная ось и радикальный центр.
486—491. Шары, гомотетичные между собой. Общие касательные плоскости.
Упражнения 671—715.
Глава IV. Поверхность и объём шара.
492. Поверхность, образованная вращением отрезка около оси, лежащей с ним в одной плоскости и его не пересекающей.
493—496. Поверхность шарового пояса. Поверхность шара.
497. Объём тела, образованного вращением треугольника около оси, лежащей в его плоскости, проходящей через его вершину и его не пересекающей.
498—499. Объём шарового сектора. Объём шара.
500—501. Объём шарового кольца. Объём шарового слоя и шарового сегмента.
Упражнения 716—732.
Задачи (733—747) к восьмой книге.
ДОПОЛНЕНИЯ КО ВТОРОЙ ЧАСТИ.
Глава I. Полюсы и полярные плоскости относительно шара. Инверсия в пространстве. Дополнения к сферической геометрии.
502—504. Полюсы и полярные плоскости относительно шара.
505. Взаимные поляры.
506. Взаимно-полярные фигуры.
507—510. Инверсия; её основные свойства.
511—513. Фигура, обратная плоскости или шару. Приложение к тетраэдру.
514—517. Фигура, обратная окружности. Антипараллельные сечения наклонного конуса.
518—519. Стереографическая проекция.
520. Шары, пересекающие два данных шара под равными углами.
521. Конусы, проходящие через две окружности, лежащие на одном шаре.
522—524. Задача о касании шаров.
525—526. Приложение инверсии к сферической геометрии.
527. Неизменяемость сложного отношения при инверсии.
528—530. Инверсия на шаре. Применение к задаче о касании окружностей.
Упражнения 748—823.
Глава II. Площади сферических многоугольников.
531—532. Выбор единиц измерения. Площадь двуугольника.
533. Ракновеликость двух симметричных сферических треугольников.
534. Площадь сферического треугольника или многоугольника.
535—536. Теорема Лекселля.
Упражнения 824—835.
Глава III. Теорема Эйлера. Правильные многогранники.
537—538. Предварительные замечания и ограничения.
539—540. Области, имеющие одинаковую связность.
541. Односвязные области.
542—543. Всякий выпуклый многогранник есть многогранник нулевого рода. Примеры многогранников не нулевого рода.
544. Теорема Эйлера.
545. Порядок связности многогранной поверхности.
546. Правильные многогранные углы.
547—550. Правильные многогранники; общие свойства.
551. Вращения и симметрии правильных многогранников.
552—556. Куб. Правильный тетраэдр.
557—558. Сопряжённые правильные многогранники.
559. Пример: октаэдр.
560—562. Существование только пяти типов правильных многогранников.
563. Построение правильных многогранников пяти типов.
564. Вычисление элементов правильных многогранников.
Упражнения 836—863.
ПРИБАВЛЕНИЯ.
Прибавление F. О понятии объёма.
565—570. Объем тетраэдра. Объём пирамиды.
571. Объём многогранника.
Прибавление G. О понятиях длины, площади и объёма для любых линий и поверхностей.
572—574. Длина дуги пространственной кривой.
575—576. Развертывающиеся поверхности.
577—585. Объёмы тел, ограниченных кривыми поверхностями.
586—591. Площадь кривой поверхности.
Прибавление H. О правильных многогранниках и группах вращений.
592—593. Группы перемещений.
594. Преобразование перемещений.
595—609. Конечные группы. Соответствующие правильные многогранники.
610—611. Фундаментальные области.
Прибавление К. Теорема Коши о выпуклых многогранниках.
612—613. Формулировка теоремы. Предварительные замечания.
614—615. Леммы I, II, III.
616—618. Доказательство теоремы Коши.
РЕШЕНИЯ УПРАЖНЕНИЙ И ЗАДАЧ.
Составлены Д.И.Перепёлкиным.
КНИГА ПЯТАЯ. ПЛОСКОСТЬ И ПРЯМАЯ ЛИНИЯ.
Упражнения.
Задачи.
КНИГА ШЕСТАЯ. МНОГОГРАННИКИ.
Упражнения.
Задачи.
КНИГА СЕДЬМАЯ. ПЕРЕМЕЩЕНИЯ. СИММЕТРИЯ. ПОДОБИЕ.
Упражнения.
Задачи.
КНИГА ВОСЬМАЯ. КРУГЛЫЕ ТЕЛА.
Упражнения.
Задачи.
ДОПОЛНЕНИЯ КО ВТОРОЙ ЧАСТИ.
Упражнения.
Указатель содержания задач