Элементарная геометрия - В 2-х частях - Планиметрия - часть 1 - Ж. Адамар

Название: Элементарная геометрия - В 2-х частях - Планиметрия - часть 1. 1948.
Автор: Ж. Адамар
    Основой книги служит обыкновенный школьный курс геометрии, однако ее содержание выходит за рамки существующих программ. Это энциклопедия элементарной геометрии, стоящая на уровне современной науки и написанная выдающимся математиком. Существенным достоинством книги является наличие большого числа задач, многие из которых могут дать материал для творческой работы. В третьем издании книги помещены полные решения всех этих задач.
    Настоящее—третье — издание перевода первой части „Элементарной геометрии" Адамара существенно отличается от двух предыдущих тем, что в нём помещены решения всех имеющихся в первой части задач.
Несомненно, что самостоятельное решение этих, по большей части трудных, задач потребовало бы от читателя весьма большого количества времени и весьма значительных усилий. В то же время многие из этих задач представляют интерес не только как темы для упражнений, но и независимо от этого по самому их содержанию. Эти соображения и заставили нас приняться за составление решений задач, помещённых в курсе Адамара.
Содержание задач перепечатано здесь в основном без изменений. Исправлено, однако, несколько ошибок, вкравшихся в русский перевод (задачи 13, 49, 378, 406).- Далее в процессе решения задач выявилась необходимость исправить отдельные погрешности или уточнить редакцию ряда задач, данную Адамаром (№№ 9, 10, 41, 88, 191, 222, 223, 256, 260, 270, 276, 284, 339, 34/, 363,372, 399, 400); в задачах 220, 253а, 265, 308 и 419а мы позволили себе опустить имевшиеся там указания на путь решения. Само собой разумеется, что автор этих строк принимает на себя ответственность за внесённые изменения»
СОДЕРЖАНИЕ
Предисловие к третьему русскому изданию.
Предисловия автора к первому, второму и восьмому изданиям.
Введение.
1. Тела, поверхности, линии, точки.
1.a. Геометрические места.
2-2а. Математические предложения.
3. Равные фигуры.
4. Прямая линия.
5. Отрезки, их сравнение.
6. Плоскость.
7. Окружность.
8-8а. Дуги.
9. Диаметр.
КНИГА ПЕРВАЯ. ПРЯМАЯ ЛИНИЯ.
Глава I. Углы.
10-11. Сравнение углов.
12. Равенство вертикальных углов.
13. Дуги и углы.
14. Перпендикуляры. Через точку, лежащую на прямой, можно провести к этой прямой перпендикуляр и притом только один. Прямой угол.
15. Сумма углов, образованных несколькими полупрямыми, выходящими из одной точки.
15а. Биссектрисы четырёх углов, образованных двумя пересекающимися прямыми.
16. Углы острые, тупые, дополнительные и пополнительные.
17-18а. Измерение углов.
19. Через точку, взятую вне прямой, можно провести перпендикуляр к этой прямой и притом только один.
19.а. Симметрия относительно прямой.
20-20а. Направление вращения.
Упражнения 1-4.
Глава II. Треугольники.
21. Многоугольники вообще.
22-22а. Треугольники.
23. Свойства равнобедренного треугольника.
24. Признаки равенства треугольников.
25. Внешний угол треугольника. Во всяком треугольнике против большей стороны лежит больший угол, и обратно.
26. Прямолинейный отрезок короче любой ломаной линии, имеющей с ним общие концы.
27. Объемлющие и объемлемые ломаные линии.
28. Если два треугольника имеют по неравному углу, заключённому между соответственно равными сторонами, то против большего угла лежит и большая сторона.
Упражнения 5—15.
Глава III. Перпендикуляры и наклонные.
29-30. Перпендикуляры и наклонные.
31. Расстояние точки от прямой.
32-33. Геометрическое место точек, одинаково удалённых от двух данных точек.
Упражнения 16-18.
Глава IV. Признаки равенства прямоугольных треугольников. Свойство биссектрисы угла.
34-35. Признаки равенства прямоугольных треугольников.
36. Свойство биссектрисы угла.
Упражнения 19-20.
Глава V. Параллельные прямые.
37. Внутренние накрестлежащие, соответственные и внутренние односторонние углы.
38. Параллельные прямые.
39. Через точку, взятую вне прямой, можно провести прямую линию, параллельную этой прямой.
40. Через точку, взятую вне прямой, можно провести только одну прямую, параллельную этой прямой.
41-42. Теоремы, обратные предыдущим.
43. Углы с соответственно параллельными или перпендикулярными сторонами.
44. Сумма углов треугольника.
44а. Сумма углов произвольного многоугольника.
Упражнения 21-25.
Глава VI. Параллелограмм. Поступательные перемещения.
45-47. Параллелограмы.
48. Ромб, прямоугольник.
49. Квадрат.
50-51. Поступательные перемещения.
Упражнения 26-32.
Глава VII. Прямые в треугольнике, проходящие через одну точку.
52. Перпендикуляры, восставленные в серединах сторон.
53. Высоты.
54. Биссектрисы.
55-56. Медианы.
Упражнения 33-38.
Задачи (39-46) к первой книге.
КНИГА ВТОРАЯ. ОКРУЖНОСТЬ.
Глава I. Пересечение прямой с окружностью.
57. Окружность определяется тремя точками.
58. Пересечение прямой с окружносгью; касательная к окружности.
59. Общее определение касательной.
60. Нормаль.
60а. Угол между двумя окружностями.
Упражнения 47-49.
Глава II. Диаметры и хорды.
61. Диаметр есть ось симметрии окружности.
62. Хорда.
63-64. Расстояние точки от окружности.
65-66. Равные и неравные дуги и хорды.
67. Касательная имеет с окружностью две общие точки, слившиеся между собой.
Упражнения 50-54.
Глава III. Пересечение двух окружностей.
68-71. Исследование пересечения двух окружностей.
72. Две окружности, касающиеся друг друга, имеют две общие точки, слившиеся между собой.
Упражнения 53—39.
Глава IV. Свойства вписанного угла.
73. Измерение вписанного угла.
74. Измерение угла, образованного касательной и хордой, выходящей из точки касания.
75—76. Угол, образованный двумя секущими.
77—78. Геометрическое место точек, из которых данный отрезок виден под данным углом.
79—82. Угловые свойства четырёхугольника, вписанного в круг.
82а. Геометрическое место вершин равных и одинаково направленных углов, стороны которых проходят через две данные точки, есть окружность.
Упражнения 60—72.
Глава V. Построения.
83—84. Геометрические построения. Геометрические инструменты.
85. Построения 1—3. Перпендикуляры к данной примой. Биссектрисы.
86—87а. Построения 4—9. Углы и треугольники.
88. Построение 10. Прямая, проходящая через данную точку и параллельная данной прямой.
89. Употребление угольника.
90. Построения 11—14. Окружность.
91—92. Построения 15—17. Касательная к окружности.
93. Построение 18. Общие касательные к двум окружностям.
94. Построение 19. Окружности, касающиеся трех данных прямых.
Упражнения 73—91.
Глава VI. Перемещение фигур.
95. Равные фигуры, имеющие одинаковое направление вращения.
96—98. Поступательное перемещение, вращение.
99. Симметрия относительно точки.
100—101. Две равные фигуры, имеющие одинаковое направление вращения, могут быть получены одна из другой с помощью поступательного перемещения, сопровождаемого вращением. Угол между двумя фигурами.
102. Две равные фигуры, имеющие одинаковое направление вращения, получаются одна из другой с помощью поступательного перемещения или с помощью вращения.
l02a—10З. Другое доказательство (разложение перемещения на симметрии).
104. Мгновенный центр вращения.
Упражнения 92—97.
Задачи (98—123) ко второй книге.
КНИГА ТРЕТЬЯ. ПОДОБИЕ.
Глава I. Пропорциональные отрезки.
105—107. О пропорциях вообще.
108—110. Деление отрезка.
111—112. Гармоническое деление.
113. Основная теорема.
114. Прямая, параллельная основанию треугольника.
115. Свойства биссектрисы.
116. Геометрическое место точек, отношение расстояний которых от двух данных точек постоянно.
Упражнения 124—128.
Глава II. Подобие треугольников.
117. Лемма.
118—120. Признаки подобия.
121. Отрезки, отсекаемые на параллельных прямых прямыми пучка.
Упражнения 129—134.
Глава III. Метрические соотношения в треугольнике.
122. Проекция.
123—125. Прямоугольные треугольники. Теорема Пифагора.
126—127. Произвольные треугольники. Теорема Стюарта.
128—130. Вычисление длин замечательных линий треугольника.
130а. Радиус описанной окружности.
Упражнения 135—147.
Глава IV. Пропорциональные отрезки в круге. Радикальная ось.
131—135. Степень точки относительно окружности.
136—138. Радикальная ось.
139. Радикальный центр.
Упражнения 148—154.
Глава V. Гомотетия и подобие.
140. Определение гомотетии.
141—142. Общие свойства.
143. Случай двух окружностей.
144. Две фигуры, гомотетичные третьей, гомотетичны между собой.
145. Оси подобия трёх окружностей.
146—149. Подобие многоугольников.
150. Точка, сама себе соответствующая.
150а. Пантограф.
Упражнения 155—162.
Глава VI. Построения.
151. Построения 1—2. Пропорциональные отрезки.
152. Построения 3—За. Подобные многоугольники.
153—156. Построения 4—9. Среднее пропорциональное; отрезок х=?a2±b2; отрезки, определённые их суммой или разностью и их произведением; деление в среднем и крайнем отношении.
157. Построение 10. Точки, расстояния которых от данных прямых имеют данные отношения.
158. Построения 11—13. ОСщие касательные; радикальная ось; ортогональные окружности.
159. Построения 14—15. Окружности, касающиеся данной прямой или данной окружности и проходящие через две данные точки.
Упражнения 163—177.
Глава VII. Правильные многоугольники.
160—163. Определение прагильных многоугольников и их существование.
164. Звездчатые правильные многоугольники.
165—170. Построение правильных йногоугольников, вписанных в окружность; квадрат, шестиугольник, треугольник, десятиугольники, пятиугольники.
171—175. Пятнадцатиугольники.
176—178. Длина окружности. Отношение длины окружности к диаметру.
179—179а. Длина дуги окружности.
180—181. Вычисление ?. Метод периметров.
182—183. Вычисление ?. Метод равных периметров.
184. Результат вычислений.
Упражнения 178—189.
Задачи (190—216) к третьей книге.
ДОПОЛНЕНИЯ К ТРЕТЬЕЙ КНИГЕ.
Глава I. Знаки отрезков.
185—187. Соглашение о знаках; основное тождество.
188—189. Свойство гармонических точек.
190—191. Приложение к гомотетии и к степени точки относительно окружности.
Упражнения 217—222.
Глава II. Трансверсали.
192—193. Теорема о трансверсалях. Обратная теорема.
194—186. Приложения: середины диагоналей полного четырёхсторонника; гомологические треугольники; теорема Паскаля.
197—198. Отрезки, отсекаемые на сторонах треугольника прямыми, выходящими из вершин треугольника и проходящими через одну точку.
Упражнения 223—231.
Глава III. Сложное отношение. Гармонические четвёрки прямых.
199. Сложное отношение.
200. Основная теорема.
201. Гармонические четвёрки прямых.
202. Свойство полного четырёхсторонника.
203. Поляра точки относительно угла.
Упражнения 232—236.
Глава IV. Полюсы и поляры относительно окружности.
204. Определение поляры и её построение.
205. Теорема о сопряжённых точках.
206. Взаимно-полярные фигуры.
207—208. Приложение к гомологическим треугольникам и к теореме Брианшона.
209—210. Преобразование метрических свойств.
211. Новое определение поляры и её построение.
212. Сложное отношение точек, лежащих на окружности.
213. Приложение к сопряжённым хордам.
Упражнения 237—241.
Глава V. Взаимно обратные фигуры.
214—216. Определения. Окружность инверсии. Симметрия относительно прямой как предельный случай инверсии.
217—218. Направление и длина отрезка, соединяющего точки, обратные двум данным точкам.
219. Касательные к взаимно обратным кривым. Угол между кривыми, обратными данным.
220. Фигура, обратная прямой линии.
221. Фигура, обратная произвольной окружности.
222. Взаимно обратные окружности.
223—226. Антигомологические точки и хорды.
227—228. Окружности, пересекающие две данные окружности под одним и тем же углом.
Упражнения 242—257.х.
Глава VI. Задачи о касании окружностей.
229—231. Первое решение.
232—236. Решение Жерюнна.
Упражнения 258—268.х.
Глава VII. Свойства вписанного четырёхугольника. Инверсор Поселье.
237—238. Теорема Птоломея. Случай точек, лежащих на одной прямой.
239. Вычисление хорды дуги a±b по заданным хордам дуг a и b.
240—240а. Отношение диагоналей вписанною четырёхугольника; вычисление этих диагоналей и радиуса описанной вкружности.
241. Инверсор Поселье.
241а. Инверсор Гарта.
Упражнения 269—271а.
Задачи (272—286) к дополнениям к третьей книге.
КНИГА ЧЕТВЁРТАЯ. ПЛОЩАДИ.
Глава I. Измерение площадей.
242—246. Определения.
247. Площадь прямоугольника.
248. Площадь параллелограма.
249—251. Площадь треугольника.
252—252а. Площадь произвольного многоугольника; площадь трапеции.
253—254. Площадь правильного многоугольника; площадь многоугольного сектора; площадь описанного многоугольника.
255. Площадь вписанного четырёхугольника.
Упражнения 287—301.
Глава II. Сравнение площадей.
256. Отношение площадей двух треугольников, имеющих по равному углу.
257. Отношение площадей двух подобных многоугольников.
258. Квадрат гипотенузы.
Упражнения 302—311.
Глава III. Площадь круга.
259—260. Определение площади круга.
261—262. Формула для плошали круга. Площадь кругового сектора.
263. Площади фигур, ограниченных дугами круга.
Упражнения 312—318.
Глава IV. Построения.
264—266. Равновеликие треугольники и многоугольники.
267. Задача о квадратуре круга не разрешима с помощью циркуля и линейки.
Упражнения 319—323.
Задачи (324—342) к четвёртой книге.
ПРИБАВЛЕНИЯ.
Прибавление А. О методах, применяемых в геометрии.
a) Теоремы, предлагаемые для доказательства.
b) Геометрические места. Задачи на построение.
c) Методы геометрических преобразований.
Прибавление В. О постулате Эвклида.
Прибавление С. Задача о касании окружностей.
Прибавление D. О понятии площади.
Прибавление Е. Задача Мальфатти.
Смешанные задачи и задачи, предлагавшиеся на конкурсных экзаменах (343—422).
РЕШЕНИЯ УПРАЖНЕНИЙ И ЗАДАЧ.
Составлены Д.И.Перепёлкиным.
Книга первая. Прямая линия.
Упражнения.
Задачи.
Книга вторая. Окружность.
Упражнения.
Задачи.
Книга третья. Подобие.
Упражнения.
Задачи.
Дополнения к третьей книге.
Упражнения.
Задачи.
Книга четвёртая. Площади.
Упражнения.
Задачи.
Смешанные задачи и задачи, предлагавшиеся на конкурсных экзаменах.
Указатель содержания задач.