ЕГЭ, Математика, Тригонометрические, показательные и логарифмические уравнения и неравенства, Севрюков П.Ф., Смоляков А.Н., 2008

ЕГЭ, Математика, Тригонометрические, показательные и логарифмические уравнения и неравенства, Севрюков П.Ф., Смоляков А.Н., 2008.

   При подготовке к сдаче Единого государственного экзамена по математике возникает необходимость систематизации знаний учащихся. Структура, логические и методические принципы построения данного пособия позволяют успешно использовать его для освоения методов решения тригонометрических, показательных и логарифмических уравнений и неравенств.
Большинство из рассматриваемых заданий были ранее опубликованы авторами в журнале «Математика в школе», приложении «Математика» и ранее изданных учебно-методических пособиях и получили высокую оценку учительской общественности.
Пособие также включает более трехсот тренировочных упражнений с методическими указаниями и ответами
Адресовано учителям математики и учащимся средних школ и других образовательных учреждений, абитуриентам ВУЗов
   Тригонометрическим называется уравнение, в котором неизвестное входит только под знак тригонометрических функций непосредственно или в виде функции неизвестного, причем над тригонометрическими функциями выполняются только алгебраические действия.
Простейшими тригонометрическими уравнениями называются уравнения вида
sinx = m,                                            (1)
cos x = т,                                           (2)
tgx = m,                                             (3)
ctgx = m,                                            (4)
где т - любое действительное число.
Решить простейшее тригонометрическое уравнение - значит, найти множество всех углов (дуг), имеющих данное значение тригонометрической функции.
Рассмотрим решение простейших тригонометрических уравнений.
ОГЛАВЛЕНИЕ
I. ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИЕ УРАВНЕНИЯ И НЕРАВЕНСТВА
1. Простейшие тригонометрические уравнения 5
2. Тригонометрические уравнения, содержащие тригонометрические функции одинакового аргумента 9
3. Однородные тригонометрические уравнения и уравнения, приводящиеся к ним 14
4. Уравнения вида a sin x + b cos х = с 17
5. Уравнения, рациональные относительно выражений sin х ± cos х и sin x cos x 22
6. Тождественные преобразования в решении стандартных тригонометрических уравнений 28
7. Тригонометрические функции тройного аргумента 36
8. О форме записи множества решений 40
9. Отбор корней в дробно-рациональных уравнениях 42
10. О сужении области определения уравнения в процессе преобразований 46
11. Решение тригонометрических уравнений возведением обеих частей уравнения в квадрат 54
12. Методы искусственных преобразований 61
13. Решение тригонометрических уравнений методом экстремальных значений 73
14. Решение тригонометрических уравнений с помощью скалярного произведения векторов 78
15. О решении уравнений вида sin x = sin у, cos x = cos у, tg х = tg у 80
16. Уравнения с ограничениями 82
17. Системы тригонометрических уравнений 88
18. Тригонометрические неравенства 97
19. Тригонометрические задачи со сложным аргументом 105
20. Уравнения, содержащие обратные тригонометрические функции 115
21. Решение задач с параметрами 124
22. Решение уравнений, содержащих логарифмические и тригонометрические функции 145
23. Применение тригонометрических подстановок в алгебраических уравнениях 148
II. ПОКАЗАТЕЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ И НЕРАВЕНСТВА
1. Решение уравнений вида af(x) = 1 172
2. Решение уравнений вида (q(x)f(x) =1 173
3. Решение уравнений вида af(х) = bf(х) 175
4. Решение уравнений вида af(х) = аq(х) 176
5. Решение уравнений вида а0mnx + с +а1mnx + с + ... + аnmnx + с = F 181
6. Решение уравнений вида mа2f(x)+ nаf(x) + р = 0 184
7. Применение подстановок при решении некоторых показательных уравнений 190
8. Решение уравнений вида m•а2f(х) + n•af(х)•bf(х) = 0 193
9. Нестандартные приемы решения уравнений 197
10. Решение систем показательных уравнений 200
11. Определение и свойства показательной функции. Решение показательных неравенств 206
12. Решение уравнений с применением свойств показательной функции 222
13. Решение показательных уравнений и неравенств с параметрами 225
III. ЛОГАРИФМИЧЕСКИЕ УРАВНЕНИЯ И НЕРАВЕНСТВА
1. Определение логарифма 236
2. Теоремы о логарифмах 241
3. Формула перехода от логарифма по одному основанию к логарифму по другому основанию 247
4. Несколько полезных логарифмических тождеств 253
5. Решение уравнений, основанное на определении логарифма 257
6. Уравнения, решаемые логарифмированием 262
7. Логарифмические уравнения, решаемые потенцированием 264
8. Решение уравнений вида f(logaq(x)) = 0, где f(х) — некоторая функция 270
9. Решение логарифмических уравнений с помощью формул перехода от одного основания логарифма к другому 275
10. Уравнения, содержащие неизвестные в основаниях логарифмов и показателях степеней 281
10.1. Рассмотрим уравнение (f(х))q(х) =1 281
10.2. Рассмотрим уравнение (f(x))q1(x) = (f(x))g2(x) 283
10.3. Уравнения, содержащие логарифм в показателе степени 284
10.4. Решение уравнений вида (f(x))p(x) =(q(x))p(x) 285
11. Решение уравнений, основанное на применении некоторых логарифмических тождеств 288
12. Системы логарифмических уравнений 294
13. Логарифмическая функция и ее свойства 305
14. Стандартные методы решения логарифмических неравенств 316
15. Решение логарифмических неравенств методом интервалов 323
16. Об одном способе решения логарифмических неравенств 329
17. О некоторых свойствах переменных, входящих в логарифмические неравенства 332
18. Решение логарифмических уравнений с использованием свойств функций 336
19. Несколько уравнений и неравенств с параметрами 338
20. Трансцендентные уравнения 344