ЕГЭ, Математика, Подготовка к ЕГЭ, Вступительные испытания, Лаппо Л.Д., Попов М.А., 2013

ЕГЭ, Математика, Подготовка к ЕГЭ, Вступительные испытания, Лаппо Л.Д., Попов М.А., 2013.
   Предлагаемое пособие поможет выпускникам подготовиться к сдаче Единого государственного экзамена по математике. Книга содержит общие сведения о Едином государственном экзамене по математике, необходимый теоретический материал, тематические тестовые задания (более 1000 задач) по всем проверяемым элементам содержания, а также 38 вариантов типовых тестовых заданий, созданных по аналогии с заданиями ЕГЭ.

Уравнения и неравенства.
Уравнения
Определение. Уравнение — это равенство, содержащее символы неизвестных или переменных. Например, если f(x) и g(х) — функции, то равенство задает уравнение с одной переменной.
Определение. Область допустимых значений (ОДЗ) уравнения f(х) = g(x) — это множество тех значений переменной, при которых одновременно определены обе части уравнения f(x) и g(x).
Определение. Корень уравнения — это значение переменной, которое удовлетворяет ОДЗ и при котором уравнение обращается в верное числовое равенство, т.е. это такое число p ОДЗ, что
f(p) = g(p)
Решить уравнение означает найти все его корни или доказать, что корней нет.
Определение. Уравнения f(x) = g(x) и р(х) = h(x) называются равносильными, если совпадают множества их корней. Уравнение f(x) = g(x) называется следствием уравнения р(х) = h(x), если все корни уравнения р(х) = h(x) являются одновременно корнями уравнения
f(x) = g(x).
СОДЕРЖАНИЕ
Краткий теоретический курс 8
1. Алгебра 8
1.1. Числа, корни и степени 8
Свойства корня n-й степени 9
Свойства степени 10
1.2. Основы тригонометрии 10
Основное тригонометрическое тождество и следствия из него 11
Формулы приведения 11
Формулы сложения 12
Формулы двойного угла 12
Формулы тройного угла 12
Сумма и разность тригонометрических функций 12
Разложение произведения тригонометрических функций в сумму 13
Выражение тригонометрических функций через тангенс половинного угла 13
Формулы понижения степени 13
1.3. Логарифмы 14
Свойства логарифмов 14
1.4. Модуль числа 15
Свойства модуля 15
2. Уравнения и неравенства 16
2.1. Уравнения 16
Теоремы о равносильности уравнений 16
Методы решения уравнений 17
Квадратные уравнения 18
Решение квадратного уравнения 18
Рациональные уравнения 19
Системы уравнений с двумя неизвестными 21
2.2. Неравенства 23
Квадратные неравенства 23
Рациональные неравенства 25
Полезные соотношения при решении уравнений и неравенств 26
3. Функции 27
Линейная функция 29
Гиперболическая функция 29
Квадратичная функция 31
Степенная функция 32
Тригонометрические функции 34
Показательная функция 38
Логарифмическая функция 39
4. Начала математического анализа 40
4.1. Производная 40
Производные элементарных функций 40
4.2. Исследование функций 41
4.3. Первообразная и интеграл 42
Первообразные элементарных функций 42
5. Геометрия 45
5.1. Планиметрия 45
Признаки равенства треугольников 45
Признаки подобия треугольников 45
Трапеция 47
Правильные многоугольники 48
Окружность 48
Векторы 50
5.2. Прямая и плоскость в пространстве 51
Угол между прямой и плоскостью 51
Угол между плоскостями. Двугранный угол 51
Угол между скрещивающимися прямыми 52
Расстояние между скрещивающимися прямыми 52
Расстояние от точки до прямой 52
5.3. Многогранники 52
Призма 52
Пирамида 53
Правильные многогранники 54
5.4. Тела вращения 55
Прямой круговой цилиндр 55
Прямой круговой конус 56
Шар и сфера 56
Учебно-тренировочные тесты 59
Инструкция по выполнению работы 59
Вариант 1 60
Вариант 2 63
Вариант 3 66
Вариант 4 69
Вариант 5 72
Вариант 6 75
Вариант 7 78
Вариант 8 81
Вариант 9 84
Вариант 10 87
Вариант 11 90
Вариант 12 94
Вариант 13 98
Вариант 14 102
Вариант 15 106
Вариант 16 110
Вариант 17 114
Вариант 18 118
Вариант 19 122
Вариант 20 126
Вариант 21 130
Вариант 22 133
Вариант 23 136
Вариант 24 139
Вариант 25 142
Вариант 26 145
Вариант 27 148
Вариант 28 151
Вариант 29 154
Вариант 30 157
Вариант 31 160
Вариант 32 163
Вариант 33 166
Вариант 34 169
Вариант 35 172
Вариант 36 175
Вариант 37 178
Вариант 38 181
Сборник задач для подготовки к ЕГЭ 184
1. Алгебра 184
1.1. Числа, корни и степени 184
1.2. Основы тригонометрии 186
1.2.1. Тригонометрические функции произвольного угла 186
1.2.2. Синус и косинус двойного угла 187
1.2.3. Соотношения между тригонометрическими функциями 187
1.2.4. Тригонометрические функции суммы и разности двух углов 187
1.3. Логарифмы 188
1.4. Преобразование выражений 188
1.4.1. Выражения, включающие корни натуральной степени 188
1.4.2. Выражения, включающие операцию возведения в степень 190
1.4.3. Арифметические операции над выражениями, содержащими корни и степени 192
1.4.4. Тригонометрические выражения 194
1.4.5. Логарифмические выражения 198
1.5. Текстовые задачи 201
1.5.1. Проценты 201
1.5.2. Соотношения между величинами 205
2. Уравнения и неравенства 207
2.1. Уравнения 207
2.1.1. Иррациональные уравнения 207
2.1.2. Тригонометрические уравнения 208
2.1.3. Показательные уравнения 209
2.1.4. Логарифмические уравнения 210
2.1.5. Уравнения, содержащие модули 210
2.1.6. Смешанные уравнения 211
2.1.7. Параметрические уравнения повышенной сложности 214
2.2. Системы уравнений 215
2.2.1. Системы двух линейных уравнений с двумя неизвестными 215
2.2.2. Системы квадратных уравнений 217
2.2.3. Системы иррациональных уравнений 217
2.2.4. Системы тригонометрических уравнений 217
2.2.5. Системы показательных уравнений 217
2.2.6. Системы логарифмических уравнений 218
2.2.7. Смешанные системы уравнений 218
2.2.8. Параметрические системы уравнений повышенной сложности 220
2.3. Неравенства 221
2.3.1. Квадратные неравенства 221
2.3.2. Рациональные неравенства 221
2.3.3. Показательные неравенства 223
2.3.4. Логарифмические неравенства 224
2.3.5. Смешанные неравенства 224
2.3.6. Параметрические неравенства повышенной сложности 224
2.4. Системы неравенств 225
2.4.1. Системы рациональных неравенств 225
2.4.2. Смешанные системы неравенств 225
3. Функции 226
3.1. Область определения функции 226
3.2. Множество значений функции 228
3.3. Нули функции 229
3.4. Промежутки возрастания и убывания функции 230
3.5. Четность и нечетность функции 230
3.6. Наибольшее и наименьшее значение функции 233
4. Начала математического анализа 237
4.1. Производная функции 237
4.1.1. Производная суммы, разности, произведения, частного двух и более функций 237
4.1.2. Производная сложной функции 238
4.1.3. Физический смысл производной 240
4.1.4. Уравнение касательной к графику функции, геометрический смысл производной 242
4.1.5. Применение производной для нахождения экстремумов функции 245
4.2. Первообразная функции и интеграл 254
4.2.1. Нахождение первообразных функций 254
4.3. Геометрический смысл интеграла 256
5. Геометрия 258
5.1. Планиметрия 258
5.1.1. Треугольник 258
5.1.2. Параллелограмм, прямоугольник, ромб, квадрат 261
5.1.3. Трапеция 262
5.1.4. Окружность 263
5.1.5. Выпуклые многоугольники 264
5.1.6. Вписанные и описанные многоугольники 264
5.1.7. Окружность, вписанная и описанная около многоугольника 264
5.1.8. Разные задачи 265
5.2. Стереометрия 265
5.2.1. Многогранники 265
5.2.1.1. Правильные многогранники 265
5.2.1.2. Призма 266
5.2.1.3. Пирамида 269
5.2.1.4. Разные задачи 274
5.2.2. Тела вращения 274
5.2.2.1. Конус 274
5.2.2.2. Шар и сфера, их сечения 275
5.2.3. Комбинации тел 275
Решение тренировочных тестов 279
Решение варианта № 5 279
Решение варианта № 15 285
Решение варианта № 25 291
Решение варианта № 35 296
Решения к сборнику задач 303
Ответы к тренировочным тестам 315
Ответы к сборнику задач для подготовки к ЕГЭ 328.