Дополнительные главы линейной алгебры, Беклемишев Д.В., 1983

Дополнительные главы линейной алгебры, Беклемишев Д.В., 1983.
   Учебное пособие содержит следующие главы: Линейные отображения, теорема Жордана и функции от матриц, введение в численные методы, псевдорешения и псевдообратные матрицы, основные понятия линейного программирования. Элементарные факты из теории матриц и линейной алгебры не излагаются, а используются в том виде, как они изложены в книге автора "Курс аналитической геометрии и линейной алгебры". Книга призвана заполнить пробел, который существует между общим курсом линейной алгебры и приложениями этой дисциплины к научным и техническим задачам.

Аннулирующие многочлены.
Делимость многочленов. В этом пункте мы рассмотрим необходимые для дальнейшего элементарные свойства делимости многочленов от одной переменной. Напомним (см. К., п. 1 § 1 гл. VI), что многочлены с комплексными коэффициентами образуют комплексное (а многочлены с вещественными коэффициентами — вещественное) линейное пространство по отношению к обычным операциям сложения и умножения на число. Нулевой элемент этого пространства — многочлен, тождественно равный нулю, иначе говоря, такой, у которого все коэффициенты равны нулю. Ниже мы будем называть его нулевым или равным нулю многочленом.
Кроме линейных операций в множестве многочленов известна операция умножения. Отметим, что умножение на число совпадает с умножением на многочлен нулевой степени, свободный член которого равен этому числу.
Известно, что для многочленов не существует операции деления, обратной операции умножения. Определим деление многочлена на многочлен с остатком.
Рассмотрим многочлены q и р. Пусть найдутся такие многочлены h и r, что q = hp + r, и степень r меньше степени р. Тогда h называется частным от деления q на р, а r называется остатком.
Предложение 1. Каждый многочлен можно разделить с остатком на любой ненулевой многочлен. При этом частное и остаток однозначно определены.
Докажем это предложение методом, который позволяет найти частное и остаток, и носит название алгоритма деления с остатком.
Если многочлен р отличен от нуля, то его коэффициент при наибольшей степени переменной не равен нулю, поскольку мы считаем степенью многочлена максимальную степень переменной, входящую с ненулевым коэффициентом.
ОГЛАВЛЕНИЕ
Предисловие
Глава 1. Линейные отображения
§ 1. Сопряженное отображение
1. Ортогональность (7) 2. Определение сопряженного отображения (8). 3. Координатная запись (10). 4. Свойства сопряженных отображений (11). 5. Сопряженное преобразование (12). 6. Отображаемые пространства евклидовы (13). 7. Сингулярные базисы отображений (17). 8. Обобщение на комплексные пространства (19).
§ 2. Линейные преобразования в евклидовом пространстве
1. Экстремальные свойства собственных значений (22). 2. Полярное разложение (25). 3. Единственность полярного разложения (27). 4. Сингулярные числа и сингулярные базисы преобразований (28). 5. Обзор результатов для унитарных пространств (31).
§ 3. Линейные преобразования в унитарном пространстве
1. Перестановочные преобразования (32). 2. Приведение матрицы линейного преобразования к треугольному виду (32). 3. Нормальные преобразования (34). 4. Свойства нормальных преобразований (36).
§ 4. Нормированные пространства
1. Определение (38). 2. Примеры норм (40). 3. Эквивалентность норм (42). 4. Нормы матриц (44). 5. Наиболее употребительные нормы матриц (48). 6. Поэлементная сходимость (52).
Глава 2. Теорема Жордана. Функции от матриц
§ 1. Аннулирующие многочлены
1 Делимость многочленов (53) 2. Многочлены от преобразований (57). 3. Минимальный аннулирующий многочлен преобразования (59). 4. Нильпотентные преобразования (61).
§ 2. Жорданова нормальная форма
1 Корневые подпространства (62). 2. Жордановы цепочки (66). 3. Нахождение начальных векторов цепочек (67). 4. Разложение
корневого подпространства в сумму циклических (67). 5. Размерности циклических прямых слагаемых (69). 6. Вид матрицы нильпотентного преобразования а жордановом базисе (70). 7. Теорема Жордана (71). 8. Замечания и следствия (72). 9 Построение жорданова базиса (74).
§ 3. Функции от матриц
1. Введение (77). 2. Регулярные функции от матриц (77). 3. Исследование сходимости матричных степенных рядов (79). 4. Проектирование и отождествление (85) 5. Спектральное разложение (85). 6. Свойства компонентных матриц (88). 7 Вычисление компонентных матриц (90). 8. Сохранение тождеств (92). 9. Аналитическое продолжение (93). 10. Характеристические числа регулярной функции (95).
§ 4. Приложение к обыкновенным дифференциальным уравнениям 1. Матричные функции скалярного аргумента (96). 2. Системы линейных уравнений с постоянными коэффициентами (97). 3. Вычисление матрицы еtA (100).
§ 5. Локализация корней характеристического многочлена
1. Введение (101). 2. Оценки для модулей характеристических чисел (103). 3. Оценки для вещественных и мнимых частей характеристических чисел (104). 4. Локализационные круги (105). 5. Замечания и следствия (108).
Глава 3. Введение в численные методы
§ 1. Введение
1. Цель главы (111). 2. Ошибки округления (111). 3. Влияние неточности исходной информации (115). 4. Почти вырожденные матрицы (117). 5. Ограниченность памяти (119).
§ 2. Обусловленность
1. Верхняя оценка возмущения (122). 2. Число обусловленности (123). 3. Почти вырожденные матрицы (125). 4. Обусловленность задачи о нахождении собственных векторов и собственных значений (129).
§ 3 Прямые методы решения систем линейных уравнений
1. Метод Гаусса (134). 2. LU-разложения (138). 3- Выбор главного элемента (142). 4. Масштабирование (145). 5. Вычисления с двойной точностью и компактная схема (148). 6. Разложение на ортогональный и треугольный множители (151). 7. Метод вращений (156). 8. Применение процесса ортогонализации (157). 9. Сравнение методов и оценка их точности (158)
§ 4. Итерационные методы решения систем линейных уравнений
1. Введение (160) 2. Метод простой итерации (162). 3. Итерационное уточнение (166) 4. Метод Зейделя (167). 5. Метод верхней релаксации (168).
§ 5. Вычисление собственных векторов и собственных значений
1. Вводные замечания (170). 2. Степенной метод (171). 3. Обратный степенной метод (173). 4. Дальнейшее развитие степенного метода (177). 5. QR-алгоритм (180). 6. Приведение матрицы к почти треугольной форме (182). 7. Ускорение сходимости QR -алгоритма (184). 8. Апостериорные оценки точности вычислений (185).
Глава 4. Псевдорешения и псевдообратные матрицы
§ 1. Элементарные свойства
1. Вводные замечания (187). 2. Минимизация невязки (188). 3. Псевдообратная матрица (193).
§ 2. Псевдообратное отображение
1. Определение (200). 2. Запись в сингулярных базисах (201). 3. Псевдообращение при помощи предельного перехода (204).
§ 3. Методы вычисления
1. Нахождение псевдорешения при помощи сингулярного разложения (207). 2. Использование регуляризации (209). б. Вычисление псевдообратной матрицы (211). 4. Прямое получение скелетного разложения матрицы (212). 5. QR -разложение для прямоугольных матриц (213). 6. Метод переортогонализации (214). 7. Использование qR -разложения (217). 8. Вторая форма сингулярного разложения (2i8). 9. Использование сингулярного разложения (221). 10. Метод Гревиля (222).
§ 4. Метод наименьших квадратов
1. Задача приближения функции (226). 2. Линейная регрессия (229).
Глава 5. Системы линейных неравенств и линейное программирование
§ 1. Однородные системы линейных неравенств
1. Основные определения (235). 2. Строение выпуклого многогранного конуса (239). 3. Неравенства — следствия системы линейных неравенств (245). 4. Двойственные конусы (249). 5. Теорема отделимости (251). 6. Построение общего решения (251).
§ 2. Неоднородные системы линейных неравенств
1. Выпуклые множества в аффинном пространстве (255). 2. Множество решений неоднородной системы линейных неравенств (260). 3. Грани выпуклого многогранного множества (262). 4. Условия совместности (266). 5. Неравенства — следствия неоднородной системы линейных неравенств (269). 6. Принцип граничных решений (271).
§ 3. Основы линейного программирования
1. Введение (273). 2. Постановка задачи (275). 3. Существование решения (277). 4. Двойственная задача (279). 5. Функция Лагранжа (286).
§ 4. Симплекс-метол
1. Введение (286). 2. Каноническая форма задачи (286). 3. Задача, двойственная канонической (288). 4. Вершины и ребра многогранника канонической задачи (289). 5. Шаг симплекс-метода (293). 6. Элиминативная форма записи обратной матрицы (296). 7. Нахождение начального базиса (298) 8. Двойственный симплекс-метод (300). 9. Зацикливание (305).
§ 5. Приложения линейного программирования
1. Транспортная задача (306). 2. Задача о максимальном потоке (310). 3. Дискретное линейное программирование (315). 4. Матричные игры (317). 5. Гарантированные выигрыши (318). 6. Смешанные стратегии (320). 7. Применение линейного программирования (323). Добавление. Вычисление коэффициентов характеристического
многочлена Литература Предметный указатель.