Дифференциальные уравнения в частных производных, Масленникова В.Н., 1997

Дифференциальные уравнения в частных производных, Масленникова В.Н., 1997.
Учебник написан на основе лекций, читаемых автором на факультете физико-математических и естественных наук Российского университета дружбы народов.
В книге отражены следующие темы: выводы основных уравнений математической физики и гидродинамики; общая теория дифференциальных уравнений в частных производных, включая теорему Ковалевской, характеристики, классификацию уравнений и систем; даны основы теории обобщенных функций и пространств Соболева, с использованием которых изучены задачи Коши, краевые и начально-краевые задачи, в том числе задача на собственные значения для эллиптического уравнения второго порядка с переменными коэффициентами. Изложены приближенный метод Галеркина и свойства гармонических функций.

ОГЛАВЛЕНИЕ
Введение
ГЛАВА I. ПОСТАНОВКА КРАЕВЫХ ЗАДАЧ ДЛЯ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ В ЧАСТНЫХ ПРОИЗВОДНЫХ
§ 1. Введение. Основные определения
1. Суть предмета
2. Основные определения в теории уравнении с частными производными
3. Примеры уравнений в частных производных
4. Из истории предмета
§ 2. Некоторые математические модели физических процессов
1. Вывод уравнения теплопроводности; граничные и начальные условия
2. Вывод уравнения равновесия мембраны и граничных условий
3. Вывод уравнения колебаний мембраны. Начальные и граничные условия
4. Частная и полная производные вектора и скаляра. Вывод уравнения неразрывности сплошной среды
5. Уравнения движения сплошной среды
6. Вывод уравнения звуковых волн (волнового уравнения)
§ 3. О постановке краевых задач математической физики
ГЛАВА II. НЕКОТОРЫЕ ВОПРОСЫ ОБЩЕЙ ТЕОРИИ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ В ЧАСТНЫХ ПРОИЗВОДНЫХ
§ 1. Задача Коши. Теорема Ковалевской
1. Определение системы типа Ковалевской. Примеры. Постановка задачи Копта для общей нелинейной системы уравнений в частных производных типа Ковалевской
2. Определение аналитической функции многих действительных переменных. Формулировка теоремы Ковалевской о единственности и локальной разрешимости задачи Коши в классе аналитических функций для нелинейных систем типа Ковалевской
3. Доказательство теоремы Ковалевской для линейных систем первого порядка
а. Доказательство единственности аналитического решения
б. Мажоранты аналитической функции и их построение
в. Доказательство существования аналитического решения; неравенства между коэффициентами данной и мажорирующей систем; построение явного решения мажорирующей системы
4. Некоторые замечания к теореме Ковалевской
г. Об области существования аналитического решения
д. Пример уравнения теплопроводности, для которого не существует аналитического решения задачи Коши в окрестности точки .
е. Примеры локально неразрешимых уравнений.
§ 2. Задача Коши с начальными данными на произвольной поверхности. Возмоишость ее сведения к задаче Коши с начальными данными на гиперплоскости
§ 3. Характеристики и характеристические направления. Особенности постановки задачи Коши с начальными данными на характеристиках
1. Определение характеристической поверхности (характеристики) для уравнения в частных производных.
Примеры
2. Особенности постановки задачи Коши с начальными данными на характеристиках
3. Характеристические направления. Определение характеристик с помощью характеристических направлений. Примеры
4. Характеристики и характеристические направления для линейных систем произвольного порядка .
§ 4. Классификация уравнений и систем уравнений в частных производных. Определение эллиптических, гиперболических и параболических по Петровскому линейных уравнений и систем произвольного порядка. Системы эллиптические по Дугласу - Ниренбергу. Примеры .
§ 5. Приведение уравнения второго порядка от многих независимых переменных к каноническому виду в фиксированной точке. Классификация .
§ 6. Приведение уравнения второго порядка на плоскости к каноническому виду. Еще раз о типах уравнений
§ 7. Преобразования Фурье и Лапласа.
Определение пространства S. Преобразование Фурье функций из S .
§ 8. Определение корректности постановки задачи Коши
§ 9. Условие некорректной постановки задачи Кохпи в терминах корней характеристического многочлена. Лемма об экспоненциальном решении. Определение обобщенно однородного многочлена. Основная теорема. Примеры .
ГЛАВА III. ЗАДАЧА КОШИ ДЛЯ УРАВНЕНИЯ ТЕПЛОПРОВОДНОСТИ. ОБОБЩЕННЫЕ ФУНКЦИИ И ИХ ПРИМЕНЕНИЕ К ИССЛЕДОВАНИЮ РЕШЕНИЯ
§ 1. Решение задачи Кошн для уравнения теплопроводности методом преобразования Фурье с начальными данными из S.
Преобразование Фурье на L\(R ) и на L2(-Rn)
§ 2. Понятие обобщенной функции, ее физический смысл. Определение ^-функции Дирака. Пространство основных функций V и пространство обобщенных функций V
§ 3. Определение пространства обобщенных функций 5'. Преобразование Фурье обобщенных функций из 5' .
§ 4. Свертка двух функций: }{х) € 5, д(х) € С*. Теорема о свертке .
§ 5. Применение теоремы о свертке к решению задачи Кошн для уравнения теплопроводности. Вычисление ядра Пуассона
§ 6. Свойства ядра Пуассона .
§ 7. Решение задачи Кошн для уравнения теплопроводности с непрерывной ограниченной начальной функцией .
§ 8. Задача Кошн для неоднородного уравнения теплопроводности. Принцип Дюамеля
§ 9. Принцип максимума для решения уравнения теплопроводности .
1. Принцип максимума для ограниченной области. Следствия: единственность решения первой начально-краевой задачи и непрерывная зависимость его от краевых и начальных значений
2. Принцип максимума для полосы.
Следствия: единственность решения задачи Коти и непрерывная зависимость его от начальных данных. Корректность постановки задачи Коши для уравнения теплопроводности .
ГЛАВА IV. ЗАДАЧА КОШИ ДЛЯ ВОЛНОВОГО УРАВНЕНИЯ. ПРИМЕНЕНИЕ ОБОБЩЕННЫХ ФУНКЦИИ К ИССЛЕДОВАНИЮ РЕШЕНИЯ
§ 1. Вывод энергетического неравенства для волнового уравнения. Следствия: теорема единственности решения задачи Коши и непрерывная зависимость его от начальных данных; область единственности .
§ 2. Решение задачи Коши для волнового уравнения при начальных данных, принадлежащих пространству S
§ 3. Функция, сосредоточенная на сфере. Преобразование Фурье ^-функции, сосредоточенной на сфере. Теорема о свертке обобщенной функции из 5' с компактным носителем и функции из S .
§ 4. Вывод формулы Кирхгофа для решения задачи Коши для волнового уравнения в случае трех пространственных переменных
§ 5. Вывод формулы Пуассона для решения задачи Коши для волнового уравнения в случае двух пространственных переменных. Метод спуска.
Формула Даламбера для уравнения колебания струны .
§ 6. Корректность постановки задачи Коши для волнового уравнения.
§ 7. Решение задачи Коши для неоднородного волнового уравнения .
§ 8. Фундаментальное решение (функция Грина) задачи Коши для волнового уравнения .
§ 9. Качественные свойства решения задачи Коши для волнового уравнения. Распространение волн .
1. Область зависимости решения задачи Коши. Конечность скорости распространения возмущений. Область влияния
2. Распространение волн в случае трех пространственных переменных. Принцип Гюйгенса.
3. Распространение волн на плоскости и в случае одного пространственного переменного. Диффузия волн
ГЛАВА V. ОСНОВНЫЕ НАЧАЛЬНО-КРАЕВЫЕ ЗАДАЧИ ДЛЯ НЕСТАЦИОНАРНЫХ УРАВНЕНИЙ МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ФИЗИКИ. МЕТОД РАЗДЕЛЕНИЯ ПЕРЕМЕННЫХ (предварительные рассмотрения)
Введение.
§ 1. Начально-краевые задачи для гиперболического уравнения второго
порядка. Энергетические оценки. Интеграл энергии. Теоремы единственности и непрерывной зависимости
§ 2. Метод разделения переменных (метод Фурье) для уравнения колебания струны. Сходимость рядов, определяющих классическое решение
§ 3. Начально-краевые задачи для параболического уравнения второго порядка. Энергетическая оценка. Теоремы единственности и непрерывной зависимости
§ 4. Метод разделения переменных для решения первой начально-краевой задачи для уравнения теплопроводности; сходимость рядов, определяющих классическое решение
§ 5. Метод Фурье для уравнении с переменными коэффициентами. Предварительные рассмотрения .
§ 6. О линейных ограниченных и неограниченных опраторах в гильбертовом пространстве .
ГЛАВА VI. ОБОБЩЕННЫЕ ПРОИЗВОДНЫЕ, ПРОСТРАНСТВА СОБОЛЕВА, ОБОБЩЕННЫЕ РЕШЕНИЯ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ
§ 1. Обобщенные решения дифференциальных уравнений. Два способа введения обобщенного решения
§ 2. Обобщенные производные в смысле
Соболева и их основные свойства ,
§ 3. Пространство Соболева W\{Q) и его полнота.
§ 4. Пространство Соболева W'(J?).
§ 5. Пространство Соболева W\{ft) и его эквивалентная норшгровка. Неравенство Фридрихса.
§ 6. Средние функции, их свойства: бесконечная дифференцируемость, сходимость в норме L перестановочность операций дифференцирования и усреднения. Ядро усреднения и его свойства
§ 7. Граничные свойства функций из пространств Соболева W\(Q) в W}{f2). Формула интегрирования по частям
§ 8. Основные понятия о продолжения функций из пространств Соболева на более широкую область с сохранением класса
§ 9. Неравенство Пуанкаре
§ 10. Компактность вложения ограниченного множества из W% (Л) в Li(Q)
§ 11. Обобщенные решения основных краевых задач для эллиптического уравнения второго порядка
ГЛАВА VII. ЗАДАЧИ НА СОБСТВЕННЫЕ ЗНАЧЕНИЯ И МЕТОД ФУРЬЕ (продолжение) В ПРОСТРАНСТВАХ СОБОЛЕВА
§ 1. Задачи на собственные значения для эллиптического уравнения. Обобщенные собственные функции задач Дирихле, Неймана и третьей краевой задачи. Сведение задач на собственные значения к операторному уравнению с самосопряженным вполне непрерывным оператором .
§ 2. Свойства собственных значений и обобщенных собственных функций для эллиптического оператора. Основная теорема
§ 3. Вариационный принцип собственных значений и собственных функций. О точной постоянной в неравенстве Фридрихса
§ 4. Обоснование метода Фурье для гиперболического уравнения в пространстве Соболева
ГЛАВА VIII. МЕТОД ГАЛЕРКИНА ДЛЯ НАХОЖДЕНИЯ ПРИБЛИЖЕННЫХ РЕШЕНИЙ
§ 1. Метод Галеркина для приближенного обобщенного решения задачи Дирихле для уравнения Пуассона
§ 2. Метод Галеркина для приближенного решения первой начально-краевой задачи для уравнения теплопроводности. Теорема единственности обобщенного решения .
ГЛАВА IX. ФУНДАМЕНТАЛЬНЫЕ РЕШЕНИЯ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ И ФУНКЦИЯ ГРИНА
§ 1. Определение фундаментального решения для произвольного линейного дифференциального уравнения и его построение методом преобразования Фурье. Фундаментальное решение для оператора Лапласа
§ 2. Решение дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами во всем пространстве в виде свертки с помощью фундаментального решения
§ 3. Формула Грина для оператора Лапласа .
§ 4. Функция Грина в задаче Дирихле для
оператора Лапласа. Представление решения задачи Дирихле для уравнения Пуассона через функцию Грина. Ньютонов потенциал, потенциалы простого и двойного слоя. Свойства функции Грина
ГЛАВА X. ГАРМОНИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ И ИХ СВОЙСТВА
§ 1. Примеры и физический смысл
гармонических функций .
§ 2. Слабый принцип максимума для гармонических функций и его следствия
§ 3. Лемма Жиро (о знаке производной в граничной точке для гармонической в шаре функции)
§ 4. Строгий принцип максимума для гармонических функций и его следствия
§ 5. Теорема о знаке производной в граничной точке гармонической в области функции и ее следствия (теоремы единственности) .
§ 6. Дальнейшие свойства гармонических функций: теорема о потоке тепла, необходимое условие разрешимости задачи Неймана для уравнения Лапласа и Пуассона, теоремы о среднем по сфере и шару, бесконечная дифференцируемость гармонических функций внутри области
§ 7. Вывод формулы Пуассона для решения задачи Дирихле для уравнения Лапласа в шаре с непрерывной граничной функцией .
§ 8. Свойства гармонических функций: теорема Гарнака о равномерно сходящейся последовательности гармонических функций, неравенства Гарнака, теорема Лиувилля и теорема об устранимой особенности
§ 9. Внешние краевые задачи для уравнения Лапласа
1. Постановка внешней задачи Дирихле в случае п > 3, теорема единственности .
2. Постановка внешней задачи Дирихле в плоском случае .
3. Сведение решения внешней задачи Дирихле к решению задачи Дирихле для ограниченной области. Преобразование Кельвина ,
4. Внешняя задача Неймана
ГЛАВА XI. ДОПОЛНЕНИЕ. ОБЩИЕ ТЕОРЕМЫ ВЛОЖЕНИЯ ДЛЯ КЛАССОВ ДИФФЕРЕНЦИРУЕМЫХ ФУНКЦИЙ МНОГИХ ПЕРЕМЕННЫХ
§ 1. Основные определения и формулировка основных теорем вложения .
§ 2. Вспомогательные теоремы о продолжении функций с J на все А и о плотности
финитных функций С°°(ДП) в WfrRn) .
§ 3. Теоремы Вложения для дифференцируемых функций, заданных во всем пространстве R .
1. Формулировка теорем вложения
2. Бесселевы потенциалы
3. Доказательство теорем вложения для функции многих переменных, заданных во всем пространстве
§ 4. Доказательство теорем вложения для
функций, заданных в области .
Литература.
Предметный указатель
Классификация уравнений и систем уравнений в частных производных.Определение эллиптических, гиперболических и параболических по Петровскому линейных уравнений и систем произвольного порядка. Системы, эллиптичесикие по Дуглису - Ниренбергу.
Основные результаты по классификации уравнений высокого порядка и систем уравнений в частных производных принадлежит И.Г.Петровскому.
Классификация имеет большое значение для теории уравнений в частных производных, так как принадлежность уравнения к тому этого уравнения и постановке для него краевых задач.
Отметим, однако, что при классификации выделяются только три наиболее важных типа уравнений и систем: эллиптические, гиперболические и параболические. В то же время значительно большая часть уравнении и систем уравнений в частных производных не принадлежат ни к одному из этих трех типов. Таковыми, например, являются очень важные в приложениях системы гидродинамики, приведенные нами в § 2 главы I.