Дифференциальные уравнения, Курс лекций и практических занятий, Семенко Е.В., 2007

Дифференциальные уравнения, Курс лекций и практических занятий, Семенко Е.В., 2007.
 
  Предназначено для изучения курса "Дифференциальные уравнения и уравнения с частными производными" в педагогических институтах, а также для самостоятельного изучения данной дисциплины.

Постановка дополнительных условий, теорема существования и единственности.
Для определения двух констант необходимо, естественно, наложить два дополнительных условия на искомую функцию у(х). Обычно в теории дифференциальных уравнений используются условия двух видов. Один вариант - задать дополнительно значения искомой функции или ее производной в двух различных точках, скажем, у(х0) = у0, у(х1) = y1, х1 = x0. Такие условия называются краевыми, а уравнение с краевыми условиями -краевой задачей. К подобным задачам мы обратимся позже, при изучении дифференциальных уравнений с частными производными, в данном же разделе мы их рассматривать не будем. Отметим только, что для краевых задач может быть не выполнена теорема существования и единственности, т.е., в частности, краевая задача может иметь бесконечно много решений (см. и. 3.3 главы 2). Другой вариант - задать оба дополнительных условия в одной точке, в этом случае обычно задают значения искомой функции у(х0) = у0 и ее первой производной у'(х0) = у1. Такие условия называются начальными, а уравнение с начальными условиями задачей Коши.
Оглавление
Введение
Теоретический курс
Глава 1. Обыкновенные дифференциальные уравнения и системы
1. Обыкновенные дифференциальные уравнения первого порядка
1.1. Основные понятия
1.2. Некоторые классы уравнений, разрешимые в квадратурах
1.2.1. Уравнения в полных дифференциалах
1.2.2. Уравнения с разделяющимися переменными
1.2.3. Линейные уравнения
1.2.4. Однородные уравнения
1.2.5. Уравнение Бернулли
1.3. Теорема существования и единственности
2. Обыкновенные дифференциальные уравнения второго порядка
2.1. Постановка дополнительных условий, теорема существования и единственности
2.2. Виды уравнений, допускающие понижение порядка
2.3. Линейные уравнения
2.3.1. Однородные уравнения
2.3.2. Неоднородные уравнения. Метод вариации произвольных постоянных
2.4. Линейные уравнения с постоянными коэффициентами
2.4.1. Разложение дифференциального оператора
2.4.2. Решение уравнений первого порядка с постоянными коэффициентами и правой частью специального вида
2.4.3. Общее решение однородного уравнения
2.4.4. Решение неоднородного уравнения с правой частью специального вида
2.5. Уравнение колебаний
3. Обыкновенные дифференциальные уравнения высших порядков
3.1. Постановка дополнительных условий, теорема существования и единственности
3.2. Линейные уравнения n-ного порядка
3.2.1. Однородные уравнения
3.2.2. Неоднородные уравнения. Метод вариации произвольных постоянных
3.3. Линейные уравнения n-ного порядка с постоянными коэффициентами
3.3.1. Разложение дифференциального оператора
3.3.2. Решение уравнения с многократным корнем
3.3.3. Решение однородных уравнений
3.3.4. Решение неоднородного уравнения с правой частью специального вида
4. Использование степенных рядов для решения дифференциальных уравнений
5. Системы обыкновенных дифференциальных уравнений
5.1. Линейные однородные системы
5.2. Неоднородные системы. Метод вариации произвольных постоянных
5.3. Линейные однородные системы с постоянными коэффициентами
Глава 2. Дифференциальные уравнения с частными производными
1. Уравнения первого порядка
1.1. Термины, обозначения, дополнительные условия
1.2. Линейные уравнения
2. Уравнения с частными производными второго порядка
2.1. Термины, обозначения, классификация линейных уравнений
2.2. Характеристики. Общее решение некоторых уравнений второго порядка
3. Уравнение колебаний струны
3.1. Термины, обозначения, постановка задач
3.2. Решение задачи Коши
3.3. Решение начально-краевых задач. Метод Фурье
3.3.1. Задача с закрепленными концами
3.3.2. Задача со свободными концами
3.3.3. Обсуждение решений
3.4. Общее волновое уравнение
4. Уравнение теплопроводности
4.1. Термины, обозначения, постановка задач
4.2. Решение начально-краевых задач
5. Уравнение Лапласа
6. Интегральное преобразование Фурье
6.1. Термины, обозначения, свойства
6.2. Решение задачи Коши для уравнения колебаний струны с помощью преобразования Фурье
6.3. Решение задачи Коши для уравнения теплопроводности
7. Краткий исторический очерк
Курс практических занятий
Глава 3. Обыкновенные дифференциальные уравнения и системы
1. Обыкновенные дифференциальные уравнения первого порядка
1.1. Уравнения в полных дифференциалах
1.2. Уравнения с разделяющимися переменными
1.3. Линейные уравнения
1.4. Однородные уравнения
1.5. Уравнение Бернулли
1.6. Задачи
2. Обыкновенные дифференциальные уравнения второго порядка
2.1. Уравнения, допускающие понижение порядка
2.2. Линейные однородные уравнения с постоянными коэффициентами
2.3. Линейные неоднородные уравнения с постоянными коэффициентами
2.4. Неоднородные уравнения с правой частью специального вида
2.5. Задачи
3. Обыкновенные дифференциальные уравнения высших порядков
3.1. Линейные однородные уравнения с постоянными коэффициентами
3.2. Линейные неоднородные уравнения с постоянными коэффициентами и правой частью специального вида
3.3. Задачи
4. Системы обыкновенных дифференциальных уравнений
4.1. Однородные системы с постоянными коэффициентами
4.2. Неоднородные системы
4.3. Задачи
Приложения
1. Примерные варианты контрольных работ
2. Примерный список вопросов к экзамену
3. Учебная программа
Литература.